第17章 专题特训二 灵活选用一元二次方程的解法-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

m2≥0 .-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 7.A8.A9.C 10.C解析：设关于x的一元二次方 程x2+bx+c=0的两个实数根为 x1,x1+1,则x1十x1+1=-b,即 2x1+1=-b①，x1(x1+1)=c,即 x+x1=c②.由①得，x1=二b1 2 将其代入®，得(。+ 一b1=.化简，得62-4c=1. 11.10解析：将x=a代人原方程， 得2a2-6a-1=0,.2a2-6a=1. 一元二次方程2x2-6.x一1=0的 两根为a,3,∴.a十3=3.∴.2a2 3a+33=(2a2-6a)+3(a+3)=1+ 3×3=10. 12.2p+q=0 13.(1)由条件，得△=(-6)2-4× 1×(2m-1)≥0，解得m≤5. (2)一元二次方程x2一6x+2m 1=0有x1,x2两个实数根， x1十x2=6, {x1·x2=2m-1. ·(x1-1)(x2-1)=6 二5，即 x1x2一(x1十x2)+1= m-51 ..2m-1-6+1= m-5,即m2 6 8m+12=0,解得1=2，m2=6. 又.m5且m一5≠0， .m=2. 14.D解析：①当力=-专时，方程 为x+子x十号=0，解得x 4 4 2=-1,3= 4 34 x2-13 x,<x2<0,1≤≤3，该方程 ℃2 是“友好方程”.故①正确.②解方程 x2+(1-p)x-p=0,得x1=-1, x2=p或x1=p,x2=一1.该方程 是“友好方程”，.该方程有两个不相 等的实数根..△=（1+p)2>0. ,p≠-1.当x1=一1，x2=p时， :1≤4≤3,1≤21≤3，解得 一1≤b≤-3，此时整数p不存在： 当x=p=-1时，1<号<3，解 得-3≤p≤-1，又p≠-1，.此 时满足要求的整数力的值只有 一3，一2两个，故②错误， 15.(1)此方程总有两个实数根， 理由：△=[-(2m+1)]-4m· 2=(2m-1)2≥0， .此方程总有两个实数根」 (2)由题意，易知m≠0. 设方程的两个根为x1,x2,则x1十 x,=2m士=2+ 2 m·x=m ,此方程的两个实数根都是整数， .m的值为士1. ∴符合条件的整数m的值的和为0. (3)x1,x2是方程mx2-(2m十 1)x+2=0的两个实数根， .∴.m.x号-(2m+1)x1+2=0,m.x (2m+1)x2+2=0. .'.m,x-(2m+1)x+2x=0①， mx3-(2m+1)x+2x=0②. ①+②得，m(x+x)-(2m+1)· (x+x)+2(x3+x3)=0. 专题特训二灵活选用一元 二次方程的解法 1.(1)整理方程，得x2=25. 开平方，得x=土5. .x1=5,x2=-5. (2)整理方程，得(x十2)=3. 开平方，得x+2=士√3. .x1=-2十√5，x2=-2-√5 2.(1)移项，得x2+8x=-3. 配方，得x2+8.x+16=16一3，即 (x+4)2=13. 9 ∴.x十4=±√13. .x1=√13-4，x2=-√/13-4. (2)原方程化为x2-8.x=-11. 配方，得x2-8.x十16=-11+16，即 (x-4)2=5. 开平方，得x一4=士√5. ∴.x1=4+5,x2=4-√5. 3.(1)把方程左边分解因式，得(x十 3)(x-4)=0. ∴.x十3=0或x-4=0,解得x1= -3,x2=4. (2)原方程化为x(x一6)+3(x 6)=0. 把方程左边分解因式，得(x一6)(x十 3)=0. .x-6=0或x十3=0，解得x1=6, xg=-3. 4.(1)原方程整理，得x2十4x一 3=0. a=1,b=4,c=-3, ∴.△=16+12=28>0. x=二4±2级 2 ∴.x1=-2十√7，x2=-2-√7 (2)“a=1,6=-3,c=-9 4 ·△=(-5)2-4X1×(-） 12>0. :x=B±厘±25 2 2 x,=3 8= 5.(1)设y=x2-x,则原方程化为 y2-5y十4=0，解得y=4或y=1. 当y=4时，x2-x=4,解得x1= 1+√17 1-√17 2x2= 2 当y=1时，x2-x=1,解得x3= 1+51-5 2 21 六原方程的根是，=1+亚 2 2= 1-√71+51-√5 2 -,x3= 2x4= 2 2)令1=立-，则原方程可化为 3t2+5t-2=0. 把方程左边分解因式，得(31一1)(t十 2)=0. .3t一1=0或t+2=0,解得t1= 312=-2. -女=或-=一2解得 .1 15 x1=6x2=2 6.(1)7:2:-4:-10. (2):(x-5)(x+7)=12, ∴.[(x+1)-6][(x+1)+6]=12. .(x+1)2-36=12. .(x+1)2=48. .x+1=45或x+1=一4√3，解得 x1=-1+45,x2=-1-45. 7.分两种情况：①当x+1≥0，即 x≥一1时，原方程化为x2一(x十 1)-1=0,解得x1=2,x2=-1: ②当x+1<0,即x<-1时，原方程 化为x2+(x+1)-1=0,解得x3= 0(舍去)，x4=一1（舍去）. 综上所述，原方程的根是x1=2, x2=-1. 专题特训三一元二次方程 与动点问题 1.设运动时间为ts. 由题意，得AP=2tm,CQ=3tm,0 t25, .PC=(50-2t)m. 1 六Sarm=2·PC·CQ=300,即 260-21)·31=300,解得1=20 t2=5. .当运动时间为5s或20s时， △PCQ的面积是300m, 2.设运动时间是ts,则0≤t≤5， PB=(10-2t)cm,BQ=t cm. :Saw=2BP·BQ, 21(10-21)=6,解得4=2， t2=3. ∴.当运动时间是2s或3s时，△BPQ 的面积是6cm, 3.①当，点P在BC上，即0<110 时，BP=t厘米，PC=(10一t)厘米， QC=1厘米， 'S△A5P=S△cPQ' 1 2AE·BP=2PC·QC,即 6.4t=(10一t)t,解得t1=0(不合题 意，舍去)，t2=3.6. ②当点P在CD上，即10<t≤20 时，PC=(t-10)厘米，QD=(t- 10)厘米， :S△AEP=S△(pQ' 2×6.4×10=2(1-10)(1 10),解得t3=18,t4=2(不符合题意， 舍去). 综上所述，t的值为3.6或18时， S△A5P=S△(pQ. 4.4或6解析：如图，过点A作 AE⊥BC于点E,则易知四边形 ADCE为长方形..DC=AE, ∠DAE=∠AEB=90°.∴.∠BAE= ∠BAD-∠EAD=45°.又 ∠AEB=90°，∴.∠ABE=45. .DC=AE=BE.设DC=AE BE=x米，则AD=CE=(15 2x)米.∴.梯形空地ABCD面积 2AD+BC)·CD=215-2x+ 15-x)·x=(15x-2x)平方米. 由题意，得15x-号2=36，解得 x1=4,x2=6..当CD的长为4米 或6米时，梯形空地的面积为36平 方米. 10 35 B E (第4题)》 5.(1)14. (2)由题意，可知当甲、乙第二次相遇 时，运动的路程和为3×21=63(cm). 宁2+子1十41=63，解得1，=7， t2=一18（不合题意，舍去）. ∴.甲、乙从开始运动到第二次相遇时 运动的时间为7s 17.5一元二次方程的应用 第1课时利用一元二次方程 解决变化率、数字问题 1.B2.10x+(x+3)=(x+3)2 3.设这个三位数的百位数字是x(x 为正整数)，则十位数字是x十3，个位 数字是2x+3. 由题意，得100x十10(x+3)+(2x+ 3)=5(2x+3)2+12, 整理，得5.x2-13.x十6=0，解得x1= 2,=子（舍去）。 .x+3=5,2x+3=7. ∴.这个三位数是257. 4.B5.C 6.C解析：由题意，得100(1一 x)2=64,64(1+y)2=100.整理，得 (1-x)2=0.64,(1+y)2=1.5625, 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合 题意，舍去)，y1=0.25=25%, y2=一2.25（不合题意，舍去. 20%25%,.x<y. 7.56解析：设较小的一个数为x, 则另外一个数为x十1.依题意，得 x2+(x十1)2=113.整理，得x2+ x-56=0,解得x1=7,x2=一8（舍 去)..x十1=8..这两个数的积为 7×8=56. 8.(1)设乙种商品每件进价的年平 均下降率为x.拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 专题特训二灵活选用一元二次方程的解 类型一形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程一般 类型三一边为0，另一边可分解因式的方程， 用直接开平方法 一般用因式分解法 1.解方程： 3.解方程： (1)3.x2=75. (1)x(x+3)-4(x+3)=0. (2)3(x+2)2-9=0. (2)(2025·滁州全椒期末)x2一6.x=3(6一x). 类型四易化为一般形式，且没有明显数字特 类型二二次项系数为1，一次项系数为偶数的 征的方程，一般用公式法 方程，一般用配方法 4.解方程： 2.解方程： (1)(2025·池州青阳期末)x2-4x=3-8x. (1)(2025·合肥瑶海期中)x2+8x+3=0. (2)(x-3)2=2(x-1). 2)x-6x￥-0 28 第17章一元二次方程及其应用 类型五有明显的整体特征的方程，可用换元法 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 5.解方程： (1)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0. (2)请用“平均数法”解方程：(x一5)(x+ 7)=12. 2)3号-x-5(-》-2=0 类型七解含绝对值的一元二次方程 7.新考法·阅读理解阅读下面的材料，并解答 问题 解含绝对值的方程：x2-3x|一10=0. 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为x2一3x一10=0， 解得x1=5,x2=-2(舍去)； ②当x<0时，原方程化为x2+3x一10=0， 解得x3=-5,x4=2(舍去). 类型六新定义法 综上所述，原方程的根是x=5或x=一5. 6.新考法·新定义题小明在解一元二次方程时， 请参照上述方法解方程：x2一|x+1|一 发现有这样一种解法.如：解方程x(x十 1=0. 4)=6. 解：原方程可变形为[(x+2)一2][(x+2)十 2]=6,则(x+2)2-2=6,即(x+2)2=10. 直接开平方并整理，得x1=一2十√10， x2=-2-√/10】 我们称小明这种解法为“平均数法” (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x十 5)(x+9)=5的解答过程. 解：原方程可变形为[(x十a)一b][(x十a)+ b]=5,则(x+a)2-b2=5,即(x+a)2=5+ b.直接开平方并整理，得x1=c,x=d(其 中c>d). 29