17.2 一元二次方程的解法-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（护科版）八年级下 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法、配方法 ☑基础进阶 (4)3x2-x-1=0. 1.方程2x2一2=0的根为 A.x1=1,x2=-1B.x1=√2，x2=-√2 C.x1=2,x2=-2D.x1=2W2,x2=-22 2.方程(x一3)2一25=0的根为 幻素能攀升 A.x1=8,x2=2B.x1=-8,x2=2 7.(2025·合肥庐阳期末)用配方法解一元二次 C.x1=-8,x2=-2D.x1=8,x2=-2 方程x2十2x一2=0时，原方程可变形为 3.(2025·合肥庐阳期末)用配方法解方程 (x十h)=k的形式，则h十k的值为() x2+4x=一1时，配方结果正确的是（ ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 8.已知甲方程为(x一4)2=9，乙方程为(x十 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 9)2=一4，则关于甲、乙两方程的解的情况， 4.(2025·贵州)一元二次方程x2一1=0的根 下列叙述正确的是 () 是 A.甲有两个不相等的解，乙无解 5.将2x2十x=1变形成(x十h)2=k的形式为 B.甲、乙都有两个不相等的解 C.甲有两个相等的解，乙无解 6.易错题用直接开平方法或配方法解下列 D.甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 方程： 9.(2025·合肥瑶海期中)关于x的一元二次方 (1)(x-2)2-6=0. 程a(x+h)2+k=0的两根分别为-5,1，则 关于x的方程a(2x+h一3)2+k=0(a≠0) 的两根分别为 () A.x1=-6,x2=-2B.x1=0,x2=-1 C.x1=-9,x2=-1D.x1=-1,x2=2 (2)x2+2x-15=0. 10.用配方法解关于x的方程x2十px十q=0 时，此方程可变形为 () A{+-9 (3)2x2+5.x=12. 玉(+)-如2 4 c(-)°-b9 D(-)°-g 18 第17章一元二次方程及其应用 11.(2025·合肥瑶海期中)将一元二次方程爸思维拓展 x2一2x十a=0配方后得到(x十b)2=2,则 17.新考法·阅读理解阅读材料： a++b= 把一个多项式进行配方可以解决 12.用配方法解方程号十x-号-0时，可配 5 求代数式的最大（或最小）值问题， 如：x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+ 方为号[(x十1)2十]=0，其中k= 1)2+2.(x+1)2≥0，∴.(x+1)2+2≥2. .代数式x2十2x十3有最小值，最小值 13.已知a2+b2一8a+4b+20=0,则关于x的 是2. 方程ax2-2hx一2b=0的根为 根据以上材料，解决下列问题： (1)求代数式x2一4x+5的最小值 14.新考法·新定义题我们定义：一个整式能表 (2)若代数式2x2+k.x十7的最小值为2，求 示成a2+b(a,b是整式)的形式，则称这个 k的值， 整式为“完全式”.例如：M=x2+2xy十 (3)如图，图①是一组邻边长分别为7,2a+ 2y2=(x十y)+y(x,y是整式)，则M为 5的长方形，面积为S1;图②是边长为a十6 “完全式”.若S=x2+9y2+4x-6y十k(x, 的正方形，面积为S2,且a>0.请比较S1与 y是整式，k为常数)为“完全式”，则当S=0 S2的大小，并说明理由. 时，y2一k的值为 a+6 2a+5 15.已知(2a+2b+1)(2a+2b-1)=35,求a+ S b的值. ② (第17题)》 16.新考法·阅读理解我们用配方法解一般形式 的一元二次方程时，要先把二次项系数化为 1,再进行配方.请阅读如下解方程的过程： 解方程：2x2一2√2x-3=0. 解：∵2x2-2√2x-3=0,∴.(2x)2 2√2x+1=3+1..(√2x-1)2=4. ∴.√2x-1=士2..x1= √23√2 2,2 2 仿照上述方法，解方程：3.x2一2√6x=2. 19 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第2课时公式法 自基础进阶 (2)3x2-7x+4=0. 1.(2025·合肥瑶海期中)用求根公式解一元二 次方程3.x2-2x=1时，a,b,c的值是() A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 C.a=3,b=-2,c=-1 (3)(x+1)(x-5)=-2. D.a=3,b=2,c=1 2.用公式法解方程2x2+4√3x=2√2时，求得 b2-4ac的值为 A.16 B.4 C.32 D.64 3.在用求根公式工=一b士a匹求一元二 2a 幻素能攀升 次方程的根时，小用正确地代入了a,b,c的 7.当方程(x-1)(x+3)=12化为ax2+bx十 值，得到x= 3±√(-3)-4×2×(-1 ,则 c=0的形式，且a为正数时，a,b,c的值分 2X2 别为 () 她求解的一元二次方程是 A.1,-2,-15 B.1,-2,15 A.2x2-3.x-1=0 C.1,2,-15 D.-1,2,-15 B.2x2+4x-1=0 8.易错题关于x的方程√2x2=3mx一√2m2 C.-x2-3x+2=0 (m>0)的两个根分别为 () D.3.x2-2x+1=0 4.一元二次方程(+多》(x-1)=2的根为 A,=2+m ② √2 &-2m,= 2m 5.已知关于x的方程x2十3m,x十m2=0的一 个根是x=1,则m= C.x1= 2+√2m2-√2m 42= 4 6.用公式法解下列方程： (1)-2x2+4x-1=0. D.x1=2m,x2=-√2m 9.利用公式法解得一元二次方程3x2一11x 1=0的两个根分别为m,n,且m>n,则m 的值为 () A.-11+/109 B.-11+/133 6 6 C. 11+√109 D 11+√133 6 6 20 第17章一元二次方程及其应用 10.若x=2士4-4X3X(-D 思维拓展 2×3 是一元二次方 15.新考法·阅读理解【阅读思考】我们 程a.x2+bx十c=0的根，则a十b一c的值 思考如何解决一个数学问题时，若 为 从某一个角度用某种方法难以奏 11.新考法·新定义题(2025·合肥庐阳期末)定 效，不妨换一个角度去思考，换一种方法去 义新运算：对于两个不相等的实数a,b,我 处理，这样有可能使问题迎刃而解.例如：解 们规定符号max{a,b}表示a,b中的较大 方程x3-2√2x2十2x-√2+1=0，这是一 值，如：max{1,3}=3,max{一1，-3}=-1.按 个高次方程，我们未学过其解法，难以求解 照这个规定，若ma{,一x=2-2x二1， 2 如果我们换一个角度(“已知”和“未知”互 则x的值是 换)，即将√2看成“未知数”，x看成“已知 12.已知2,3，a分别是等腰三角形三边的长，且 数”，那么原方程可整理成x·(√2)一 a是关于x的一元二次方程(k一1)x2一 (2x2+1)·√2+(x3+1)=0.a=x, x+k2+1=0的根，则k的值为 b=-(2x2+1),c=x3+1,.b2-4ac= 13.当a<0时，方程x|x|+|x|一x一a=0的 [-(2x2+1)]2-4x(x3+1)=4x2-4x+ 根为 1=(2x-1)≥0..易知x≠0，.√2= 14.观察下列四个方程：①x2一2x一2=0； ②2x2+3x-1=0;③2x2-4x+1=0; 2x2+1±√2z=1D解得2=x+1或 2x ④x2十6x十3=0.有三个方程的一次项系 数有共同特点（数的奇偶性），请你用代数式 2=1+1故方程可转化为一个一元 表示这个特点，并推导出具有这个特点的一 一次方程√2=x十1和一个一元二次方程 元二次方程的求根公式 x2一x十1=√2x,从而不难求出这个高次方 程的根， 【解决问题】解方程：9r-3x2-3+子x+ 2x=0. 2 拔尖特训·数学（沪科版）入年级下 第3课时 因式分解法 自基础进阶 (3)x2-6x=-8. 1.易错题(2025·滁州天长期末)一元二次方 程x(x+4)=5(x+4)的根是 A.x=5 B.x=-4 C.x1=5,x2=-4 D.x1=-5,x2=-4 素能攀升 2.(2023·马鞍山花山期中)下列将一元二次方 6.(2025·安庆怀宁期中)解下列方程：①3x2 程x2-10x+21=0转化成两个一元一次方 27=0:②x2-3x-1=0;③(x+2)(x+ 程正确的是 4)=x+2;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的 A.x-3=0,x+7=0 方法是 () B.x+3=0,x+7=0 A.依次为直接开平方法，配方法，公式法，因 C.x-3=0,x-7=0 式分解法 D.x+3=0,x-7=0 B.依次为因式分解法，公式法，配方法，直接 3.新考法·新定义题给出一种运算：对于函数 开平方法 y=x”,规定y=n·x”-1.例如：若函数y C.①用直接开平方法，②③用公式法，④用 x4,则y=4x3.已知函数y=x3,则关于x 因式分解法 的方程y=6x的根是 D.①用直接开平方法，②用公式法，③④用 4.已知公式ax2十bx+c=a(x-x1)(x-x2) 因式分解法 (Q≠0)可用来进行因式分解，其中x1,x2是7.在平面直角坐标系中，点A(x2+2x,1)与点 方程ax2十bx+c=0的两根，试分解因式： B(一3,1)关于y轴对称，则x的值为() 2x2-x-1= A.1 B.3或1 5.用因式分解法解下列方程： C.-3或1 D.3或-1 (1)x(x-1)=2-2x. 8.(2025·合肥庐阳期末)△ABC的三边长都 是方程x2一3x+2=0的根，则△ABC的周 长是 () A.4 B.5 C.3或5或6 D.3或4或5或6 (2)x2-4x-5=0. 9.若方程x2一3x+2=0较小的根为p,方程 3y一2y一1=0较大的根为q,则p+q的值为 () A.23 B.3 C.2 D.1 22 第17章一元二次方程及其应用 10.(2025·淮北濉溪期末)若(a十5b)(a+ (1)计算：(-2)￥3. 5b+6)=7,则a+5b= (2)若（一x)￥2的值为1，求x的值. 11.(2025·安庆宜秀段考)若实数x y满足(x2+y2)(x2+y2+3)=4 则x2+y2的值为 12.(2023·六安金寨期中)用适当的方法解下 列方程： (1)7x2=21x. 思维拓展 14.新考法·阅读理解为解方程(x2一1)2一 5(x2一1)十4=0，我们可以将x2一1看成 一个整体，然后设x2一1=y,则原方程可化 (2)(x+1)(x+3)=15. 为y2-5y+4=0,解此方程得y1=1, y2=4. 当y=1时，x2-1=1,解得x=土√2. 当y=4时，x2-1=4,解得x=土√5. ∴.原方程的根为x1=√2，x2=一√2，x3= √5，x4=-√5. 以上解方程的方法叫作换元法，利用换元法 达到了降次的目的，体现了数学的转化思 (3)9(x-2)2=4(x+1)2. 想.运用上述方法解下面的方程： (1)(x2-x)(x2-x-4)=-4. (2)x4+x2-12=0. 13.新考法·新定义题(2025·合肥段考)对于任 意实数a,b(a≠0)规定一种新运算：a￥b= a+ab一2.例如：3￥2=32+3×2-2=13. 请根据上述定义解决以下问题： 23(2)去括号，得8一x2=9十6x+x2. 移项，合并同类项，得2x2十6x十 1=0. .二次项系数为2，一次项系数为6， 常数项为1. m2-4=0, 7.(1)由题意，得 解得 m-2≠0， m=-2. (2)由题意，得m2-4≠0，∴.m≠ 土2. 8.A9.B10.A 11.A解析：由a(x-2)2+bx 2b-2,得a(x-2)2+b(x-2)+2= 0.:关于x的一元二次方程a.x2十 bx+2=0(a≠0)有一根为x=2024, .x-2=2024,解得x=2026..关 于x的一元二次方程a(.x一2)2十 bx=2b一2必有一根为x=2026. 12.B解析：把x=a代人方程，得 2a2+a-4=0,则2a2+a=4. ∴.6a2+3a9=3(2a2+a)-9= 12-9=3. 13.1解析：由题意，得b2一ab十b 0,b≠0，.b-a+1=0..a-b=1. 14.士√2解析：，方程(m十2)· xm+(m-1)x-2=0是关于x的一 {m2=2, 元二次方程，. 解得m= m+2≠0， 士√2 15.0解析：，m,n是关于x的一 元二次方程2.x2一x十k=0(k<0)的 两根，∴.2m-m十k=0,2n2一n十 k=0,即2m2-m=-k,212-n= -k.∴.m*m-n*n=m(2m-1) n(2n-1)=(2m2-m)-（222 n)=一k-(-k)=0. 16.将方程化为一般形式为x2+ (5-m)x+3m=0, .二次项系数为1，一次项系数为 5一m,常数项为3m. .1+(5一m)+3m=2,解得m= -2. 17.,'x=a是方程x2-2024x+ 1=0的一个根 ∴.a2-2024a+1=0. 易知a≠0， 4-2024+1=0,a2=2024a-1, a a2+1=2024a. ∴.a十 1=2024 ∴.原式=2(2024a-1)-4047a+ 2024 1+ =4048a-2-4047a+1+ 2024a 1=a+1-1=2024-1=2023. 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法、配方法 1.C2.D3.A4.x1=1, x2=-1 5.(+）=是 6.(1)整理，得(x2)2=6. 开平方，得x-2=士√. .原方程的根为x1=2十√6，x2= 2-√6. (2)整理，得x2+2x=15. 配方，得x2+2.x+1=15+1,即(x+ 1)2=42 开平方，得x+1=土4. ∴.原方程的根为x1=3,x2=一5. (3)将二次项系数化为1，得x2+ 号=6 配方，得2+号x+(）》 =6+ ()即(+》器 开平方，得x+三=士山 4 Γ4 六原方程的根为x1=之x=一4， (4)将二次项系数化为1，得x2一 11 3x-3=0. 移项，得x2-x=1 3x=3 5 配方，得x2- 3x+()=3+ (传》(）》-是 开平方，得x一 =士 6 6 ·原方程的根为x,=+区 6 1-√/13 x2= 6 ·易错警示 配方时易出现的错误 (1)移项时忘记变号；(2)二 次项系数化为1时漏项：(3)方程 两边没有同时加上一次项系数一 半的平方， 7.D8.A 9.D解析：由题知，将一元二次方程 a(x+h)2+k=0中的“x”用“2x-3” 替换，可得方程a(2x十h一3)2十k= 0.:一元二次方程a(x十h)+k=0 的两根分别为一5,1，.2x一3=一5 或2x-3=1,解得x=-1或x=2, 即方程a(2.x十h-3)2十k=0(a≠0) 的两根分别为x1=一1，x2=2. 10.A11.-212.-6 13.x1=x2=-2 解析：a2十 b2-8a+4b+20=0,∴.(a-4)2+ (b+2)2=0..a-4=0,b+2=0. ∴a=4,b=-2..关于x的方程 ax2一2hx2b=0为4x+4x+19 0,即(2x+1)2=0,解得x1=x2= 1 2 解析：x2十4x十4十 9y2-6y+1=(x+2)2+(3y-1)2, .x2+4x十4十9y2-6y+1是“完全 式”.∴.S=x2+9y2+4x-6y十k为 “完全式”时，k=5.当S=0时，(x十 2)2+(3y-1)2=0,∴.x+2=0,3y- 1=0=-2y=3则，2-6 (传)°-5=号 15.:(2a+2b+1)(2a+2b- 1)=35, ∴.(2a+2b)2-1=35,即(2a+ 2b)2=36. ..2a+2b=±6. ∴.a十b=3或-3. 16.原方程可化为(5.x)2-2× √3xX2+(2)2=2+(√2)2， .(W5x-2)2=4. .√5x-√2=士2. 3,=6+2 3 x,=6-25 3 17.(1).x2-4x+5=(x-2)2+ 1,且(x-2)2≥0， .(x-2)2+1≥1. ∴.代数式x2-4x+5的最小值为1. 2):2x+x+7=2(e2+号)十 1=2(+)》+7 k 8 当2(+)广=0时，代数式 2x2十kx十7的值最小，为7-8 ,代数式2x2十x+7的最小值 为2， 7 8 =2,解得k=±2√0. (3)S2≥S1 理由：由题意可得，S1=7(2a十5) 14a+35,S2=(a+6)2=a2+ 12a+36, .S2-S1=a2+12a+36-(14a+ 35)=a2-2a+1=(a-1)2≥0. .S2≥S1… 第2课时公式法 1.C2.D3.A 4.x=1+ 2z,=1-3 4 4 -3±√5 5. 2 6.(1)a=-2,b=4,c=-1, .'.b2-4ac=42-4X(-2)× (-1)=8 -4土√8-2±√2 ∴.x=2X(-2) 一2 2+√22-√2 .x1 2x2 2 (2):a=3,b=-7,c=4, .b2-4ac=(-7)2-4×3×4=1. t= 7土√/T 2X3 4 x1=1x2=3 (3)整理成一般式，得x一4x一 3=0. a=1,b=-4,c=-3, x=-b±V0-4ac-4±27 2a 2 2±√7. ∴.x1=2十√7，x2=2-√7. 7.C 8.B解析：原方程整理，得√2x2一 3mx+√2m2=0..a=√2，b= -3m,c=√2m2.∴.b2-4ac= (-3m)2-4√2X√2m2=m2>0. x=3m士m ..x1=2m, 2X√2 2m. 易错警示 用公式法解一元二次方程时，因 没把方程化为一般形式而致错 本题易因没把原方程化为一 般形式而致错，实际上，在用公式 法解一元二次方程时，必须先把方 程转化为一般形式，再确定a,b,c, 并计算b2-4ac的值，最后代入公 式求解。 9.D解析：3x2-11x-1=0, .a=3,b=-11,c=-1..b2 4ac=(-11)2-4×3×(-1)=133> 0..x=1±33=1±13 2×3 6 :一元二次方程3x2-11x-1=0的 6 两个根分别为m,n,且m>,∴.m 的值为1+133 6 10.2 11.5+2或-1解析：当x>0时， max(r.-)-t:2-1= 2 x,解得x1=-√5+2，x2=√5+2. x1=-√5+2<0，.x取5+2： 当x<0时，max{x,-x}=-x, :2-21=-,解得x1=1, 2 x2=-1..x1=1>0,.x取一1. ∴.x的值是5+2或-1. 12-5或559支6 2 解析：，2,3，a分别是等腰三角形三 边的长，.a=2或3.当a=2,即x= 2时，由题意，得4(k-1)-2+2+ 1=0,解得k1=-5,k2=1(不合题 意，舍去).当a=3,即x=3时，由题 意，得9(k-1)-3十k+1=0,解得 -55-9,b=55-9.综上所 k3= 2 2 述，k的值为-5或一55-9 2 或6-9 2 13.x=一1一√1一a解析：当a<0 时，显然x≠0.若x>0,则方程变为 x2-a=0,即x2=a,无解.若x<0, 则方程变为一x2一2x一a=0,即 x2十2x十a=0,解得x= -2±√4-4a=-1士√-a: 2 a<0,.√-a>l.∴.-1+ √1-a>0,-1-√-a<0. '.x=-1-W1-a. 14.方程①③④的一次项系数为偶数 2(n是整数). 设一元二次方程a.x2十bz十c=0,其 中b2-4ac≥0，b=2,n为整数. b2-4ac≥0，即(2n)2-4ac≥0， .'.n2-ac≥0. :由公式法，可知方程的根为x -b士√Bc=一2士√c 2a 2a -2,±2Wn2-ac=-n±√nac 2a ∴.一元二次方程a.x2十2x十c=0 (n2-ac≥0，n为整数)的求根公式为 x=-1±√n-ac 15.将3看成“未知数”，x看成“已知 数”，则原方程可整理成x·3 x2+13+(+)=0, 1 a=x,b=-(z2+1,c=4x3+ 22, .b2-4ac=[-(x2+1)]2-4x· (仔r+)=1>0 :易知x≠0， 3=出，解得3=号或 2.x 3=22+2 2x 当3=号时，解得x=6: 当3=十2时，解得x,=3-7, x3=3十√7.经检验，x2=3一√7 x3=3十√7都是所列分式方程的根. 综上所述，原方程的根为x1=6,x2= 3-√7，x3=3+√7. 第3课时因式分解法 1.C 易错警示 在方程两边同时除以含有 未知数的式子导致失根 本题易出现方程的两边同时 除以(x+4),得x=5的错误. 等式两边不能同时除以0，方 程的两边不能同时除以含未知数 的式子. 2.C3.x1=0,x2=2 42x-D(e+2） 5.(1)原方程化为x(x一1)十2(x 1)=0. 把方程左边分解因式，得(x一1)(x十 2)=0. .x一1=0或x+2=0,解得x1=1, x2=-2. (2)把方程左边分解因式，得(x 5)(x+1)=0. .x一5=0或x+1=0,解得x1=5, x2=-1. (3)将原方程化为一般形式，得x2 6x+8=0. 把方程左边分解因式，得(x一2)(x一 4)=0. .x一2=0或x一4=0，解得x1=2, x2=4. 6.D7.C 8.C解析：解方程x2一3x+2=0, 得x1=1,x2=2.当三边长为1,1,1 时，1+1>1，符合题意，∴.周长为1十 1+1=3:当三边长为2,2,2时，2十 2>2,符合题意，∴.周长为2十2十2= 6当三边长为1,2,2时，1十2>2，符 合题意，∴.周长为1十2+2=5：当三 边长为1,1,2时，此时1+1=2，不能 构成三角形，不符合题意.综上所述， △ABC的周长是3或5或6. 9.C解析：解方程x2-3.x十2=0， 得x1=2,x2=1,.p=1.解方程 3y2-2y-1=0,得y1=1,y2= 、1 -39=1.p+q=2. 10.1或-7 11.1解析：设a=x2十y2,则 a(a+3)=4,即(a+4)(a-1)=0,解 得a1=-4,a2=1.x2+y2≥0， .x2+y2=1. 12.(1)将原方程化为7x2一21x=0. 把方程左边分解因式，得7x(x 3)=0. 7 ∴.7x=0或x-3=0,解得x1=0, x2=3. (2)将原方程化为x2十4x一12=0. 把方程左边分解因式，得(x一2)(x十 6)=0. .x-2=0或x十6=0，解得x1=2, x2=一6. (3)开平方，得3(x一2)=士2(x+1). ∴.3(x-2)=2(x+1)或3(x- 2)=一2(x十1)，解得x1=8, 4 x25 13.(1)(-2)￥3=(-2)3+(-2)× 3-2=-16. (2).(一x)￥2=（一x)2-2x-2= x2-2x-2, .x2-2x-2=1,即x2-2x-3=0, 解得x1=一1，x2=3. 14.(1)设x2一x=a,则原方程可化 为a2-4a十4=0，解得a1=a2=2. 当a=2时，x2-x=2,即x2-x 2=0. 把方程左边分解因式，得(x一2)(x十 1)=0,解得x1=2,x2=一1. .原方程的根为x1=2,x2=一1. (2)设x2=y,则原方程化为y2十 y-12=0. 把方程左边分解因式，得(y一3)(y十 4)=0,解得y1=3,y2=-4. 当y=3时，x2=3,解得x=士5. 当y=-4时，x2=-4,方程没有实 数根. .原方程的根为x1=5,x2=一√. 17.3一元二次方程根的 判别式 1.A2.C3.m>-44.3 5.(1)关于x的方程x2-(m+1) x十4m2=0没有实数根， 1 ∴.△=[-(m+1)]-4×1× 子m㎡2<0，解得m<- 1