第17章 一元二次方程及其应用 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第17章整合拔尖 “答案与解析”见P13 知识体系构建 元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 有关概念 般形式：ax2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0) 元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 适用方程：形如(ax十b)2=n(a≠0，n≥0)或 (ax十b)2=(mx+n)2(a≠m≠0)的方程 直接开平方法 关键步骤：开平方 理论依据：完全平方公式 适用方程：所有的一元二次方程 配方法 关键步骤：配方，即先将二次项系数化为1，然后 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方 解法 适用方程：所有有解的一元二次方程 公式法 关键步骤：代入求根公式x=二b土二4c(a≠0,62-4c≥0) 2a 元 二次方 理论依据：若ab=0,则a=0或b=0 适用方程：一边是0，另一边可分解 因式分解法 成两个一次因式乘积的一元二次方程 及其应 关键步骤：分解因式 △>0→方程有两个不相等的实数根 根的判别式 △=0→方程有两个相等的实数根 △=b2-4ac △<0→方程没有实数根 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 根与系数的关系 为成那么无十名=一合，x=合 （韦达定理) 原有量×(1+平均增长率)y”=现有量(n为增长的次数) 变化率问题 原有量×(1一平均降低率”=现有量（为降低的次数） 数字问题 两位数=十位数字×10+个位数字 销售利润问题 利润=售价一进价 列一元二次 方程解决实 几何图形的面积公式：S三影=立×底×高，S长蒂=长×宽， 面积问题 S=πr(其中r为圆的半径) 际问题 传播问题 1十x十x(1十)=a(a为最终感染人数，x为每轮平均传染人数) 握手问题 握手总次数=n)一D(n为参与握手的人数) 2 40 第17章一元二次方程及其应用 91高频考点突破 考点一一元二次方程的解法 考点三一元二次方程根与系数的关系 典例1解方程 典例3已知关于x的一元二次方程x2一3x十 (1)x2-7x=-12. k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2十2x1十 2x2=1,则实数k= 提示 根据根与系数的关系，把两根之和与两根之积表 示出来，并代入已知条件中，得到关于k的一元一次 (2)(2025·安庆模拟)2.x2一4x+1=0. 方程，求出k的值，再根据根的判别式求得的取值 范围，最后判断求出的k的值是否符合题意即可. [变式]方程x2+5x一6=0的两个根分别为 x1x2,则x十x3= 考点四一元二次方程的实际应用 [变式](2025·安庆潜山期末)解方程： 典例4新考向·数学文化(2025·辽宁)我国古 (1)x(x-4)+5(x-4)=0. 代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长 多阔几何.”其大意是一块长方形田地的面积为 864平方步，只知道它的长与宽共60步，它的长 (2)x2+4x-1=0. 比宽多多少步？设这个长方形的宽为x步，则 根据题意，可列方程为 () A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 考点二一元二次方程根的判别式 D.2[x+(x+60)]=864 典例2(2025·兰州)若关于x的一元二次方 提示 设宽为x步，则长为(60一x)步，利用长方形面 程x2+2x十a=0有两个不相等的实数根，则a 积公式即可列出方程。 的值可以是 ( A.3 B.2 C.1 D.0 [变式]新情境·科技民生流行性感冒是一种由 一提示 流感病毒引起的传染病，人群普遍易感.若有一 根据一元二次方程的根的判别式，可得出关于a 人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人 的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围. 患了流感，每轮传染中平均每人传染了x人，则 [变式](2025·内江)若关于x的一元二次方程 下列结论错误的是 () (a一1)x2十2x+1=0有实数根，则实数a的取 A.一轮后有(x+1)人患了流感 值范围是 ( B.两轮后有(x十1)x人患了流感 A.a≤2 B.a<2 C.依题意可得方程(x+1)2=100 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 D.经过三轮一共会有1000人感染 41 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 考点五利用整体思想求代数式的值 考点六一元二次方程配方法的应用 典例5整体思想(2025·合肥段考)若(a2十 典例6(2025·滁州凤阳三模)已知x,y是实 b2)2+5a2+5b2=6,则a2+b2的值为（) 数，且满足x2+y2=2x+4y一5.若m=3x+ A.-6 B.1 y,则m的值为 C.1或-6 D.1或6 A.5 B.6 C.7 D.8 提示 提示 设a2十b2=x,则原方程可化为x2十5.x=6,解 由x2+y2=2x+4y-5,得(x-1)2+(y 方程即可得到x的值，再结合x=a2十b2≥0，即可确 2)2=0,由非负性可得x,y的值，进而可得m的值. 定a2十b2的值 [变式]已知x,y满足条件|x|+|y|≤1，求 [变式]整体思想(2025·蚌埠段考)已知实数 x2-xy+y2的最大值. a,b满足(a2+b2)2-4(a2+b2)-12=0,则代 数式a2+b+1的值是 ( A.7 B.-1 C.7或-1 D.-5或3 划综合素能提升 1.(2025·安徽)下列方程中，有两个不相等的5.(2025·上海)已知一元二次方程2x2十x十 实数根的是 ( m=0没有实数根，则m的取值范围 A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 是 C.x2+x+1=0D.x2+x-1=0 6.(2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二 2.新情境·科技民生广东省统计局的相关数据 次方程x2一2025x+1=0的两个根，则(m+ 显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态 1)(n+1)= 势.某公司工业机器人在今年5月产值达到 7.(2025·六安金安段考)用适当的方法解 2500万元，预计7月产值将增至9100万元. 方程： 设该公司6,7两个月产值的月均增长率为 (1)x2-4x-3=0. x,则可列出方程为 A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2.x)2=9100 (2)(2x+1)(x-3)-4=0. 3.(2025·阜阳界首期末)已知m是一元二次 方程x2一x一3=0的一个根，则2019 m2十m的值为 () A.2023B.2016C.2020D.2019 4.(2025·达州)已知关于x的方程x2+mx 3=0的一个根是1，则m的值为 42 第17章一元二次方程及其应用 8.新情境·环保意识(2025·六安霍邱期末)某9.新情境·现实生活(2025·准北期中)某农场 商场销售一种环保节能材料，平均每天可售 要建一个饲养场（长方形ABCD),两面靠墙 出100盒，每盒利润是120元.由于市场调 (AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位 控，为了扩大销售量，商场准备适当降价.据 置的墙最大可用长度为15米)，另两边用木 调查，若每盒材料每降价1元，则每天可多售 栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及 出2盒.根据以上情况，请解答以下问题： 一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽 (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天 的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米， 可获利 元 (1)若饲养场（长方形ABCD)的一边CD长 (2)为了更多地让利于消费者，且保证每天 为8米，则另一边BC的长为 米 销售这种节能材料获利达14400元，则每盒 (2)若饲养场（长方形ABCD)的面积为 应降价多少元？ 180平方米，求边CD的长， (3)在本次销售活动中，该商场每天销售这 (3)饲养场（长方形ABCD)的面积能达到 种材料的利润能否达到15000元？请说明 210平方米吗？若能达到，请求出此时边CD 理由， 的长；若不能达到，请说明理由， E HG (第9题) 43(5k+b=950 k=一50， 得 解得 {6k+b=900, b=1200. “公司以不低于成本价且不超过每 卷7元的价格销售， '.4x7 .y与x之间的函数表达式为y= -50x+1200(4x7). (2)根据题意，得(x一4)（一50x十 1200)=1800. 整理，得x2-28x+132=0,解得 x1=6,x2=22(不符合题意，舍去) ∴·公司将该贴纸每卷售价定为6元 时，每天销售该贴纸的利润可达到 1800元. 4.(1)设这条短信要求收到短信的 人必须转发给x人。 由题意得，1十x十x2=91,解得x1 9,x2=一10（不合题意，舍去）， '.这条短信要求收到短信的人必须 转发给9人. (2)1+9+92+93=820(人)， ∴从小王开始计算，三轮后会有 820人有此短信 5.(1)设每轮传染中平均一人传染 了x人 根据题意，得1+x+x(1十x)=81, 解得x1=8,x2=-10(不合题意， 舍去)， .每轮传染中平均一人传染了8人」 (2)81+81×8=729(人)， '.经过三轮传染后共有729人患了 流感 6.设参加比赛的足球队有x支 依题意，得x(x-1)=132,解得x1= 12,x2=一11（舍去） .参加比赛的足球队有12支 7.(1)按赛制应该进行5X(5-D 2 10(局)比赛 (2)小哲说得有道理 设有x名参赛者， 由题意，得(x一1) 2 =70. 整理，得x2一x一140=0，解得x= 1±√56I 2 :x的值不是正整数， ∴.方程的解不符合实际，即小哲说得 有道理 (3)设有一人比赛了n局后退出 比赛。 由题意及(2)，得x-Dx-2十 2 1=70. 整理，得x2一3.x十21一138=0，解得 3±√/561-82 x= 2 当n=4时，x=13符合题意， ∴.报名本次比赛的人数为13. 第17章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)整理，得x2-7x+ 12=0. 因式分解，得(x-4)(x-3)=0. ∴.x-4=0或x-3=0,解得x1=4, x2=3. (2).a=2,b=-4,c=1, ∴.△=(-4)2-4×2×1=8>0. -(一4)士√82士√2 .x= 2×2 2 221-2 ·x=1+ 2 [变式](1)，x(x-4)+5(x- 4)=0, .(x+5)(x-4)=0. ∴.x十5=0或x一4=0，解得x1= -5,x2=4. (2)移项，得x2十4x=1. 配方，得x2+4x+4=5,即(x+2)2=5. .'.x十2=士√5，解得x1=一2一√5， x2=一2+√5. 典例2D [变式]C解析：关于x的一元 二次方程(a-1)x2+2x十1=0有实 a-1≠0， 数根， {△=22-4×(a-1)×1≥0， 13 解得a2且a≠l. 典例3一5解析：：x1,x2是一元 二次方程x2-3x十b=0的两个实数 根，.x1十x2=3,x1·x2=k. x1x2十2x1+2x2=1,.k+2× 3=1,解得k=一5.·方程有两个实 数根，∴.△=（一3）2一4k≥0，解得 k<是k=-5符合题意 [变式]37解析：：方程x2十 5x-6=0的两个根分别为x1,x2, .x1+x2=-5,x1·x2=-6. .x12+x22=(x1十x2)2-2x1c2= 25-2×(-6)=37. 典例4A [变式]B解析：每轮传染中平均 每人传染了x人，则第一轮后共有 (x十1)人患了流感，故A正确，不符 合题意；第二轮传染中，这些人中的每 人又传染了x人，第二轮又增加(x十 1)·x人患了流感，则两轮后共有 [1+x+x(x+1)]人患了流感，故B 错误，符合题意；依题意，得1十x十x· (x+1)=100,即(x+1)2=100,故C 正确，不符合题意；解方程，得x1=9, x2=一11（舍去）..每轮传染中平均 每人传染了9人.∴.经过三轮一共会 有103=1000（人）感染，故D正确，不 符合题意 典例5B解析：设a2十b2=x≥0， 则x2十5.x-6=0,解得x1=1, x2=一6（不符合题意，舍去）..a十 b2=1. [变式]A解析：设x=a2十b≥ 0,则x2-4x-12=0,解得x=-2 (舍去)或x=6..原式=6十1=7. 典例6A [变式]由题意，得x2-xy十y2= +0+-y0 又x+y|≤x|+|y≤1，x- y≤x+y1, .(x+y)21,(x-y)21. 2-ty2=+0+ 4 当且仅当x,y中有一个为0，另一个 为1时，等号成立 .x2一y+y2的最大值为1. [综合素能提升] 1.D2.A3.B4.2 5.m>g 解析：一元二次方程 2.x2十x+m=0没有实数根，..△= 12-4×2×m=1-8m<0,解得 、1 m78 6.2027解析：，m,n是关于x的 一元二次方程x2-2025x+1=0的 两个根，∴.m+n=2025,m=1. .(m+1)(n+1)=mm+m+n+ 1=1+2025+1=2027. 7.(1)移项，得x2一4x=3. 配方，得x2一4x十4=3+4，即(x 2)2=7. .x一2=士√7，解得x1=2+√7， x2=2-√7. (2)整理，得2x2-5.x-7=0. 方程左边因式分解，得(x十1)(2x 7)=0. .x十1=0或2x-7=0,解得 x1=-1,x2=2 8.(1)14000. (2)设每盒应降价x元，则每盒的利 润为(120一x)元，平均每天可售出 (100十2x)盒. 根据题意，得(120一x)(100十2x) 14400. 整理，得x2一70.x十1200=0，解得 x1=30,x2=40. ·要更多地让利于消费者， ∴.x=40,即每盒应降价40元. (3)不能 理由：假设在本次销售活动中，该商场 每天销售这种材料的利润能达到 15000元 设每盒降价y元，则每盒的利润为 (120-y)元，平均每天可售出(100+ 2y)盒 根据题意，得(120-y)(100+2y)= 15000. 整理，得y2-70y+1500=0. :△=(-70)2-4X1×1500= -1100<0 .原方程没有实数根 '.假设不成立，即在本次销售活动 中，该商场每天销售这种材料的利润 不能达到15000元. 9.(1)24. (2)设CD=x(0<x15)米，则 BC=45-x-2(x-1)+1=(48 3x)米 依题意，得x(48一3.x)=180. 整理，得x2-16x十60=0，解得x1= 6,x2=10. 当x=6时，48-3.x=48-3×6=30, 30>27,不合题意，舍去： 当x=10时，48-3x=48-3×10= 18,18<27,符合题意. .边CD的长为10米， (3)不能. 理由：设CD一y(0<y15)米，则 BC=45-y-2(y-1)+1=(48 3y)米. 依题意，得y(48-3y)=210. 整理，得y2-16y+70=0. :△=(-16)2-4×1×70= -24<0, .该方程没有实数根 '.饲养场（长方形ABCD)的面积不 能达到210平方米. 第18章勾股定理 及其逆定理 18.1勾股定理 第1课时勾股定理 1.B 14 2.D解析：如图，连接AC. ∠ADC=∠ABC=90°，∴.由勾股 定理，得AC=AB十BC=S2十 S3=98,AC2=AD2+CD2=S1+ S4=S1+62..S1+62=98..S1= AD2=36..AD=6. D (第2题) 3.B解析：由题意，得OC=OB.由 勾股定理，得OB=√AO+AB2= √+2=√29，∴.点C表示的无 理数是√29 4.由题图，可知S大正方形=4× Sg三能十S证=4X号b十(6 a)2=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2, S大正方形=c2, ∴.a2+b2=c2」 5.C解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E.∠C=90°，AC=8, BC=6,.DC⊥BC,AB= √AC2+BC=√82+6=10. BD平分∠ABC,.DE=DC.设 DE=DC=x.:'S△ABD+S△cD= 1×10x+ SA. +×6r=× 8X6,解得x=3.∴.CD=3..BD= √BC+CD=√62+32=35. D E (第5题) 6.D解析：根据三角形的面积公式 可以得出斜边（史丹结合勾股定 理，得a2+b2=c2.a2+62=6 2. 两边同除以a6,得时+行是