20.3 数据的离散程度-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第20章数据的初步分析 20.3 数据的离散程度 第1课时离差平方和与方差 “答案与解析”见P44 山基础进阶 幻素能攀升 1.新情境·现实生活(2025·泸州)某校七年级 4.有一组数据：1,1,1,1，m.若这组数据的方差 甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试， 是0，则m的值为 ( 每人10次跳绳成绩的平均个数及方差如 A.-4 B.-1 下表： C.0 D.1 甲 乙 丙 丁 5.(2025·烟台)求一组数据方差的算式为s2= 平均个数 205 217 208 217 1×[(6-x)2+8-x)+(8-x)2+ 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 (6一x)十(7一x)].由算式提供的信息，下 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发 列说法错误的是 () 挥稳定的同学参加比赛，应选择 ( A.甲 B.乙 A.n的值是5 C.丙 D.丁 2.(2025·上海浦东新区模拟)定义 B.该组数据的平均数是7 一组数据x1,x2,…,x的平均数为 C.该组数据的众数是6 D.若该组数据加入两个数7,7，则这组新数 x,那么称这n个数据与平均数x的 据的方差变小 差的平方和叫作这n个数据的离差平方和， 记作(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x,-x)2. 6.某校合唱团有90名成员，他们年龄的频数分 一组数据100,101,99,98,102的离差平方和 布如下表： 是 年龄/岁 13 14 15 16 17 3.新情境·现实生活甲、乙两支仪仗队队员的身 频数 17 29 26-x18 高（单位：cm)如下： 对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会 甲队：178,177,179,178,177,178,177,179， 发生改变的是 () 178,179. A平均数、中位数 乙队：178,179,176,178,180,178,176,178， B.平均数、方差 177,180. C.众数、中位数 你认为从身高来看，哪支仪仗队更为整齐？ D众数、方差 请说明理由. 7.若40个数据的平方和是56，平均数是 2,则 40个数据的方差是 8.新情境·现实生活在某校举办的学习强国演 讲比赛中，六位评委给小华的评分（单位：分） 分别为8,7.5,9.5,8.5,8.5,9，则小华此次 演讲比赛得分的离差平方和为 103 拔尖特训·数学（沪科版）入年级下 9.新考法·结论开放题如图所示为某市连续5天 (2) 队员在射击选拔赛中发挥得 的天气情况 更稳定.（填“甲”或“乙”） (1)利用方差判断该市这5天的日最高气温 (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数 波动大还是日最低气温波动大， 一样，推荐哪位队员参赛都可以.你认为他 (2)根据图中提供的信息，请再写出一个不 说得对吗？请说明理由.（写出一条即可） 同类型的结论， 5月5月5月5月5月 日期25日26日27日28日29日 ”》汝汝送 天气现象大雨中雨晴晴多云 最高气温23℃25℃23℃25℃24℃ 最低气温21℃22℃15℃15℃17℃ 空气质量良优优优良 (第9题) 缈思维拓展 11.已知A组数据为0,1，-2，-1,0，-1,3. (1)求A组数据的平均数： (2)从A组数据中选取5个数据，记这5个 数据为B组数据，要求B组数据满足以下 两个条件：①它的平均数与A组数据的平 10,★新考法·结论开放题(2025·甘肃)某校要 均数相等；②它的方差比A组数据的方差 从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比 大.你选取的B组数据是什么？请说明 赛.在最近10次的选拔赛中，他们的射击成 理由. 绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩数据 甲：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8. 乙：8,9,10,9,6,7,7,9,10,8. 信息二：甲、乙队员射击成绩数据的部分统 计量. 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m,n的值：m= 104 第20章数据的初步分析 第2课时用样本方差估计总体方差 “答案与解析”见P45 山基础进阶 对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益 1.从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为 活动次数的统计结果如下： 1,可以估计总体方差 ( 平均数 方差 A.-定大于1 B.约等于1 6.2 1.46 C.一定小于1 D.与样本方差无关 同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如 2.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷 下统计分析 树中各选了5棵，每个品种产量的平均数x 【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时 及方差s2如下表： 间内参加公益活动次数如下：9,8,6,10,8,8， 品种 甲 乙 丙 7,3,6,7,7,5,8,4,8,5,7,6,8,6. x/kg 45 45 42 【整理数据】结果如下表： s2 1.8 2.3 1.8 次数x分组 画记 频数 若明年准备从这三个品种中选出一种产量既 2<x≤4 T 2 高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种 4<x≤6 正 6 是 6<x≤8 正正 10 3.从甲、乙两种玉米苗中各取10株，分别测得 8<x≤10 它们的高度（单位：cm)如下： 【分析数据】数据的平均数是6.8，方差是 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42. 2.76. 乙：26,14,44,26,43,15,39,39,15,39. 【解决问题】解答下列问题： (1)请说明哪种玉米苗的平均高度较高， (1)请补全频数分布表和频数直方图， (2)这两种玉米苗高度的方差分别是多少？ (2)请估计该校八年级学生在此段时间内参 哪种玉米苗长得更整齐？ 加公益活动次数超过6的人数， (3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比 较该校七、八年级学生在此段时间内参加公 益活动次数的情况 频数 12 10 幻素能攀升 6 4 2 4.新情境·现实生活(2025·湖南)为了 0 246810次数 解某校七、八年级学生在某段时间 (第4题) 内参加公益活动次数的情况，从这 两个年级中各随机抽取20名学生进行调查， 已知这两个年级的学生人数均为200. 1059:0×9x1+10X1+1X 6+12×4+13×2+15×2+16×2+ 19×1+20×1)=13, '.这一天20名工人生产的零件的平 均个数为13. (2),生产零件个数的中位数为 12+1卫=12，众数为11， 2 .当定额为13个时，有8人达标， 6人获奖，不利于提高工人的积极性： 当定额为12个时，有12人达标，8人 获奖，不利于提高大多数工人的积极 性：当定额为11个时，有18人达标， 12人获奖，有利于提高大多数工人的 积极性， 因此，当定额为11个时，有利于提高 大多数工人的积极性. 10.(1)84:86:30.解析：七年级学 生成绩在C,D组的人数为20× (10%+25%)=7.把七年级20名学 生竞赛成绩从小到大排列，排在中间 的两个数据分别是84,84，∴.a= 84+84=84:b=86:m%=1- 2 (10%+25%- 7 20/ =30%,即 m=30. (2)七年级学生的航天知识竞赛成绩 较好 理由：：两个年级的平均数相同，但 七年级学生的中位数大于八年级， '·七年级学生的航天知识竞赛成绩 较好（合理即可） (3)560×30%+500×20 5 =293(人)， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛 成绩不低于90分的学生人数共 是293. 第4课时用样本平均数 估计总体平均数 1.B2.108 3.(1)(4.4+4.0+5.0+5.6+ 3.4+4.8+3.4+5.2+4.0+4.2)÷ 10=4.4(千瓦·时)， ,∴.这10户居民的平均日用电量为 4.4千瓦·时. (2)7.8一4.4=3.4（千瓦·时）， 3.4×200=680(千瓦·时)， ∴.估计这天与去年同一天相比，该小 区200户居民这一天共节约用电 680千瓦·时 4.1500解析：由题意，得该地区七 年级2000名男生中BMI等级为正常 5=1500. 的人数是2000×10 5.(1)该店本周的日平均营业额为 7560÷7=1080(元) (2)不合理 星期一到星期日的营业额中，星期 六、星期日的营业额明显高于其他五 天的营业额， ∴.去掉星期六、星期日的营业额对平 均数的影响较大 '.用该店本周星期一到星期五的日 平均营业额估计当月的营业总额不 合理！ 方案：用该店本周星期一到星期日的 日平均营业额估计当月的营业总额. 当月的营业总额约为30×1080= 32400(元). 20.3数据的离散程度 第1课时离差平方和与方差 1.B解析：由表知，乙、丁跳绳成绩 的平均个数大于甲、丙，乙、丁两名 同学的成绩好.又，乙跳绳成绩的方 差小于丁，∴.乙同学成绩好且发挥 稳定」 2.10解析：100,101,99,98,102的 平均数=100+101+99+98+102 5 100,.离差平方和=(100-100)2+ (101-100)2+(99-100)2+(98 100)2+(102-100)2=10. 44 3.甲仪仗队更为整齐 理由：云甲=×(3×17+4× 1 178+3×179)=178(cm),xz=10Y (2×176+177+4×178+179+2× 80)=178(cm),s=0×[3X (177-178)2+4×(178-178)2+3× ×[2× (179-178)2]=0.6,2=0 (176-178)2+(177-178)2+4× (178-178)2+(179-178)2+2× (180-178)2]=1.8, ∴x甲=x乙，s<s吃· .甲仪仗队更为整齐。 4.D 5.C解析：这组数据为6,6,7,8， 8,∴.n的值是5，故选项A说法正确， 不符合题意；该组数据的平均数是 6×2+7+8×2=7,故选项B说法正 5 确，不符合题意；众数为6,8，故选项C 说法错误，符合题意：若该组数据加入 两个数7,7，则这组新数据的方差变 小，故选项D说法正确，不符合题意 6.C 70.9解析：由题意，得= 2 ·方差为[，-2)十(： +…+(红w-2)]=[十 x+…+x。+40x2-2x(x1+ ,++2小=(++…叶 x+40元2-2×40z2)=40(x号+ ++)-云-62-0.9 402 8.2.5解析：小华此次演讲比赛的 平均得分为。×(8+7.5十9.5十 8.5十8.5+9)=8.5（分），小华此次演 讲比赛得分的离差平方和为(8一 8.5)2+(7.5-8.5)2+(9.5 8.5)2+(8.5-8.5)2+(8.5 8.5)2+(9-8.5)2=2.5. 9.(1),这5天的日最高气温和日 最低气温的平均数分别是x最高 (23+25+23+25+24)÷5=24(℃)， x最低=(21+22+15+15+17)÷5 18(0,方差分别是a=吉× 「(23-24)2+(25-24)2+(23 24)+(25-24)2+(24-24)2] 0.8s=号×[21-182+(22 18)2+(15-18)2+(15-18)2+ (17-18)2=8.8, ∴.s高<s最低，即该市这5天的日最 低气温波动大 (2)25日、26日、27日的天气现象依 次为大雨、中雨、晴，空气质量依次为 良、优、优，说明下雨后空气质量改善 了（合理即可） 10.(1)8.5:8.解析：乙运动员的成 缋数据按照从小到大排列是6,7,7， 8,8,9,9,9,10,10,m=8+9 2 8.5.甲运动员成绩数据中8出现的次 数最多，.n=8. (2)乙.解析：甲的方差是2.01 乙的方差是1.61,1.61<2.01，∴.乙 队员在射击选拔赛中发挥得更稳定. (3)他说得不对. 理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均 数一样，但是乙的方差比甲的小，说明 乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳 定，∴.应该推荐乙队员参赛（合理 即可) 方法归纳 方差在数据分析中的作用 方差是用来描述一组数据中 每一个数据与这组数据的平均数 的偏离程度的量，在实际生活中经 常用方差来判断数据的稳定性.方 差越大，波动越大，数据越不稳定： 方差越小，波动越小，数据越稳定 1.)A组数据的平均数为子× (0+1-2-1+0-1+3)=0. (2)答案不唯一，如1，一2，一1， -1,3. 理由：由(1)，知xA=0,则s后=7× [2×(0-0)2+(1-0)2+(-2 0yP+2x(-1-0)+(8-0]-9. 又：m=日×1-2-1-1+3) 0=号×[1-02+(-2-02+ 2×(-1-02+(3-0)2]=1 6 .IA=ZB ,SA<SB ∴.选取的B组数据符合题意 第2课时用样本方差估计 总体方差 1.B2.甲 3.(1):x甲=(25+41+40+37+ 22+14+19+39+21+42)÷10 30(cm),xz=(26+14+44+26+ 43+15+39+39+15+39)÷10= 30(cm), 这两种玉米苗的平均高度一样. (2),s=[(25-30)2+(41 30)2+(40-30)2+(37-30)2+ (22-30)2+(14-30)2+(19 30)2+(39-30)2+(21-30)2+ (42-30)2]÷10=104.2,s2=[(26 30)2+(14-30)2+(44-30)2+ (26-30)2+(43-30)2+(15 30)2+(39-30)2+(39-30)2+ (15-30)2+(39-30)2]÷10= 134.6, x甲=x乙，s南<s2、 .甲种玉米苗长得更整齐 4.(1)补全频数分布表如下： 次数x分组 画记频数 2x≤4 入 2 4x6 正 6 6<x8 正正 10 8x10 T 2 45 补全频数直方图如图所示 (2)200×10+2 20 =120(人)，估计该校 八年级学生在此段时间内参加公益活 动次数超过6的人数为120. (3)从平均数来看，八年级学生参加 公益活动次数的平均数比七年级大， 八年级学生参加公益活动比七年 级学生积极.（答案不唯一） 频数 12 10 6 4 0 246810次数 (第4题) 20.4四分位数和箱线图 第1课时四分位数 1.B解析：数据共12个，从小到大 排列后，第3个数和第4个数的平均 数为第一四分位数，即3十5=4. 2 2.C解析：数据个数为12，第一四 分位数是4500十500=4750， 2 3.-221.54.910.512 5.B 6.B解析：30℃大于28℃且小于 32℃，∴.该气温处于第一四分位数和 第三四分位数之间 7.(1)22(2)168.(1)162113 (2)130134144 9.(1)健身次数在10和18之间的会 员占比为50%， .估计健身次数在10和18之间的 会员人数为200×50%=100. (2)健身次数超过18的会员占25%， 200×25%=50(人)，50>10， .10份奖励不够 第2课时箱线图 1.B解析：由箱线图得，这组数据的 第一四分位数是4，第三四分位数是