19.1 多边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第19章 四边形 19.1多边形 第1课时 多边形的内角和 >“答案与解析”见P22 白基础进阶 幻素能攀升 1.下列图形中，不属于凸多边形的是 7.(2025·合肥庐阳三模)如图，正六边形 FGHIJK内有一个正五边形ABCDE.其 中，ABFG,DE的延长线交FK于点L,则 B ∠ELF的度数为 () 2.(2025·北京)若一个六边形的每个内角都是 x°，则x的值为 ( A.60 B.90 C.120 D.150 3.(2025·扬州)若多边形的每个内角都是 (第7题) 140°，则这个多边形的边数为 A.72° B.96°C.108°D.120 4.(2025·六安金安一模)若过n边形的一个 8.已知从n边形的一个顶点出发的对角线将该 顶点可以画出5条对角线，则n的值是 多边形分成7个三角形，则该多边形的对角 线一共有 ) 5.(2025·合肥庐阳期末)如图， A.14条 B.18条 在六边形ABCDEF中，若 C.20条 D.27条 ∠A+∠B+∠C+∠D= 9.*已知一个多边形被截去一个角后，形成的 490°，∠DEF与∠AFE的平 (第5题) 另一个多边形的内角和是1620°，则原来这 分线交于点G,则∠G的度数 个多边形的边数是 ) 为 A.10 B.11 6.已知一个n边形的每一个内角的度数都 C.12 D.以上都有可能 为150°. 10.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C,点E (1)求这个n边形的内角和. 在边AB上，∠AED=60°，则一定有() (2)从这个n边形的一个顶点出发，可以画 A.∠ADE=20° 出几条对角线？ B.∠ADE=309 C.∠ADE=2∠ADC D∠ADE-吉∠ADC 11.(2025·合肥包河期中)已知两个多边形的 内角总和为1080°，且边数之比为2：3，则 这两个多边形的边数分别是 58 第19章四边形 12.已知n边形的内角和0=(n一2)×180°. 笱思维拓展 (1)甲同学说：“0能取360°.”而乙同学说： 14.新考法·探究题(2025·池州四模 “0也能取630°.”甲、乙两名同学的说法对 数学兴趣小组开展探究活动，主题 吗？为什么？ 是“四边形内n个点可把四边形分 (2)若n边形变为(n十x)边形，发现内角和 割成不重叠三角形的个数”.指导老师将学 增加了360°，用列方程的方法求x的值 生的发现进行整理，部分信息如下表： 示意图 n的值 2 3 不重叠 三角形 4 6 8 的个数 (1)把上面的表格补充完整 (2)四边形内n个点把四边形分割成不重 13.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC= 叠三角形的个数可用含n的代数式表示 180°，CE平分∠BCD,交AB于点E,连 为 接DE. (3)小组同学灵活运用数学知识，探究归纳 (1)若∠A=50°，∠B=85°，求∠BEC的 出了m(m≥3)边形内部的n个点，把m边 度数 形分割成不重叠三角形的个数的一般规律， (2)若∠A=∠1，求证：∠CDE=∠DCE 过程如下： ①m(m≥3)边形内部的n个点，把m边形 分割成不重叠的x个三角形： ②三角形的内角和为180°，x个三角形的 (第13题) 总内角和可以表示为180°x; ③m边形的内角和可以表示为 ④m边形内部的每个点都对应一个周角， n个点对应n个周角，其度数可以表示为 ⑤这x个三角形正好拼成了内部有n个点 的m边形，则这x个三角形的总内角和又 可以看成是m边形的内角和加上n个周角 的和，即 ⑥综上可得，x= 请你将过程填写完整. 59 拔尖特训·数学（沪科版）入年级下 第2课时 多边形的外角和 “答案与解析”见P23 自基础进阶 (2)在一个各内角都相等的多边形中，每一 1.新考法·新定义题(2025·六安霍邱期末)完 个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个 美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个 多边形的内角和. 平面的凸五边形.如图，五边形ABCDE是完 美五边形，其中∠5=35°，则∠1+∠2十 ∠3十∠4的度数为 A.180°B.360° C.325°D.145 E (第1题) (第3题) 幻素能攀升 2.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是 7.下列用木条钉成的支架中，不容易变形的是 外角和的4倍，则该多边形的边数为( ) A.10B.11 C.12 D.13 3.(2025·眉山)如图，直线1与正五边形 ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则 B. D ∠1+∠2的度数为 () 8.(2025·凉山)已知一个多边形的内角和是它 A.216°B.180° C.144°D.120° 外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点 4.新情境·现实生活如图，伸缩晾衣架利用的原 处可以引出的对角线的数量为 () 理是四边形的 A.6条B.7条C.8条D.9条 9.(2025·邯郸一模)如图所示为正n边形纸片 的一部分，其中只有∠B,∠C和BC边是完 整的，直线L与破损的边AB,CD相交.若 (第4题) a十3=90°，则n的值为 ( 5.(2025·长春)如图①所示为一个正十二面 A.6 B.7 C.8 D.9 体，它的每个面都是正五边形，其表面展开图 如图②示，则∠α的度数为 D (第9题) (第10题) ① ② (第5题) 10.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2√3， 6.(1)一个多边形的内角和比它的外角和的 则它的边长为 （) 3倍少180°，求这个多边形的边数. A.1B.2 C.√5 D.2 60 第19章四边形 11.(2025·永州祁阳模拟)如图，小明 思维拓展 从点A出发，前进10m后向右转 14.新考法·探究题☐已知在正三角形 20°，再前进10m后又向右转20°， ABC、正四边形ABCM、正五边形 这样一直下去，直到他第一次回到出发点A ABCMN中，点E在CB的延长线 为止，他所走的路径构成了一个多边形.小 上，点D在另一边的延长线上，且BE= 明一共走了 m. CD,DB的延长线交AE于点F. U20 (1)如图①，求∠AFB的度数， 0 (2)如图②，∠AFB的度数为 ;如 (第11题) 图③，∠AFB的度数为 12.每个外角都为36的多边形共有 条 (3)若将条件“正三角形、正四边形、正五边 对角线 形”改为“正n边形”，其他条件不变，请用含 13.新考法·探究题如果一个多边形的各边都 n的代数式表示∠AFB的度数 相等，且各内角也都相等，那么这个多边形 叫作正多边形.如图所示为一组正多边形， 观察每个正多边形中∠α的度数变化情况， 解答下列问题， ② (1)将表格补充完整： (第14题) 正多边形的边数 3 5 6 ∠a的度数 (2)是否存在这样一个正n边形，使得 ∠α=20°？若存在，求出n的值；若不存在， 请说明理由. (3)是否存在这样一个正n边形，使得 ∠a=21°？若存在，直接写出n的值；若不 存在，请说明理由. (第13题) 6122+92=152, .CD2+AD2=AC2 ∴.△ACD是直角三角形，∠D=90° ·.四边形ABCD的面积为号×8X 15+号×12×9=114 [变式]B 典例4D解析：当长为a的边是直 角边时，a=√4-3=√7：当长为a 的边是斜边时，a=√+3=5.综 上所述，a的值是5或√7. [变式] 常或 [综合素能提升] 1.A2.B3.45°4.15cm 5.如图，连接AC :∠ADC=90°，AD=4m,DC= 3m, ∴.AC=√AD2+DC=√4+32= 5(m). ,BC=12m,AB=13m, ∴.AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形，且 ∠ACB=90°. 1 ∴.S四边形AID=S△ABC一S△Ax= 12×5-2×4×3=24(m2),即该花 圃的面积为24m2. 12m B C D。3h 13m 4m (第5题) 6.(1)在△ACD中，AC2=25, CD2=1,AD2=26, .AC2+CD2=AD .△ACD是直角三角形，且 ∠C=90. BD=4, .'.BC=BD+CD=4+1=5. .在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB=√AC+BC=5√2. (2)AC=BC=5,∠C=90°， '.△ACB是等腰直角三角形，且 ∠B=45, .当△BDE是直角三角形时，有两 种情况： ①当∠BDE=90时， ∠B=45, .'BD=DE=4. ∴.在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE=√BD+DE=4W2 .∴.AE=AB-BE=5W2-4√2=√2」 ②当∠BED=90时， ∠B=45, .BE=DE. 设BE=DE=x 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE2+DE2=BD2,2=42, 解得x=2W2(负值舍去). ∴.BE=DE=22 '.AE=AB-BE=5√2-2W2= 32」 综上所述，当△BDE是直角三角形 时，AE的长为√2或3√2. 第19章四边形 19.1多边形 第1课时多边形的内角和 1.A2.C3.94.85.65 6.(1)由题意，得150°n=(n一2)× 180°，解得n=12. .这个n边形的内角和为12× 150°=1800° (2)从这个边形的一个顶点出发， 可以画出12一3=9（条）对角线， 7.B解析：由题意知，正六边形 FGHIJK每个内角的度数为 180°×(6-2) 6 =120°，正五边形 ABCDE每个内角的度数为 180×(5-2=108.如图，延长BA, 交FK于点M.·∠BAE= ∠AED=108°，∴.∠MAE= 22 ∠AEL=72..AB∥FG, .∠LMA=∠F=120°. .∠ELF=360°- ∠LMA- ∠MAE-∠AEL=96. G (第7题) 8.D解析：从n边形的一个顶点 可引出(n一3)条对角线，得到(n 2)个三角形，∴.n-2=7,解得n=9 “该多边形的对角线一共有2×9× (9-3)=27(条). 9.D解析：设这个多边形被截去一 个角后，形成的另一个多边形的边数 是，则(n-2)·180°=1620°，解得 n=11.∴.内角和是1620°的多边形 的边数是11.一个多边形被截去一 个角后，形成的另一个多边形的边数 比原来多边形的边数少1或多1或与 原来多边形的边数相等，∴.原来这个 多边形的边数是12或10或11. 方法归纳 从多边形中截去一个角的 三种情况 (1)如图①，过多边形的一条 对角线截去一个角，则新多边形的 边数比原多边形的边数少1. (2)如图②，只过多边形的一 个顶点截去一个角，则新多边形的 边数与原多边形的边数相等 (3)如图③，不过多边形的顶 点截去一个角，则新多边形的边数 比原多边形的边数多1. (① ② ③ 10.D解析：如图，在△AED中 ∠AED=60,.∠A=180° ∠AED-∠ADE=120°-∠ADE ,在四边形DEBC中，∠DEB= 180°-∠AED=180°-60°=120°， ·∠B=∠C=2(360-∠DEB ∠BC)=120-2∠EDC.:∠A ∠B,∴.120°-∠ADE=120° 1 2∠EDC.·∠ADE=Z∠EDC. N∠AIDC=∠ADE+∠EDC, ∠ADE=∠AC (第10题) 11.4,6 12.(1)甲同学的说法对，乙同学的说 法不对 当0=360°时，(n一2)×180°=360°， 解得n=4. 当0=630时，(n-2)×180°=630°， 解得0=号 n为大于或等于3的整数， .0不能取630 (2)由题意，得(1+x-2)×180°- (1-2)×180°=360°，解得x=2. .x的值是2. 13.(1)∠B+∠ADC=180, ∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360, .∠A+∠BCD=360°-180°=180°. :∠A=50°， ∴.∠BCD=180°-∠A=130. ,CE平分∠BCD, 六∠CE-号∠D= ∠B=85, .∠BE℃=180°-∠BCE ∠B=30° (2)由(1)，知∠A+∠BCD=180°， '.∠A+∠BCE+∠DCE=180° :∠CDE+∠DCE+∠1=180， ∠1=∠A, .'.∠BCE=∠CDE ,CE平分∠BCD, ∴.∠DCE=∠BCE, ∴.∠CDE=∠DCE 14.(1)10. (2)2m+2. (3)③180°(m-2):④360°n: ⑤180°(m-2)+360°n:⑥m+ 21-2. 第2课时多边形的外角和 1.C2.A3.C4.不稳定性 5.36 6.(1)设这个多边形的边数为. 由题意，得(n一2)×180°=3×360° 180°，解得n=7. .这个多边形的边数为7. (2)设这个多边形的一个外角的度数 为α，则与其相邻的内角的度数为 3a+20. 由题意，得(3a+20)+a=180°，解得 a=40° 又，多边形的外角和为360°，且每个 外角都相等， .这个多边形的边数为360°÷ 40°=9. '.这个多边形的内角和为(9一2)× 180°=1260°」 7.B8.B 9.C解析：如图，∠1=3，∠2= a,∴.∠1+∠2=a十3=90°.：多边 形是正n边形，∴.∠B=∠C.四 边形BCFE的内角和为(4一2)X 180°=360°，.∠1+∠2+∠B+ ∠C=360°.∴.∠B=135.∴.与∠B 相邻的多边形的一个外角为180° 135°=45°.正n边形的外角和为 360°，∴.n=360°÷45°=8. 23 D B (第9题) 10.D解析：过点B作BG⊥AC于 点G.在正六边形ABCDEF中， :AB=C,ABC=G×(G-2)X 180°=120°，BG⊥AC,∴.∠BAC= ∠BCA=(180°-∠ABC)÷2=30°， AG=号AC=E,在R△ABG中， :∠BAC=30,.BG=2AB.由 勾股定理，得AG+BG2=AB, .()2+ (合AB)'=AB. .AB=2.∴.正六边形的边长为2. 11.18012.35 13.(1)60;45:36:30,7 180° (2)存在. 由1)，得180=20，解得1=9. (3)不存在. 理由：若存在这样一个正边形，使得 ∠a=21,则80-21，解得n=8 n是正整数， ∴.不存在这样一个正n边形，使得 ∠a=21 14.(1)在正三角形ABC中， AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°， .∠ABE=180°-∠ABC=120°， ∠BCD=180°-∠ACB=120. ∴.∠ABE=∠BCD. 又，BE=CD, .△ABE≌△BCD. .∠E=∠D 又∠FBE=∠CBD, ∴.∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+ ∠CBD=∠ACB=60°. (2)90°：108 (3)∠AFB=180°-360