精品解析：山东省淄博市周村区第二中学2021-2022学年七年级下学期开学数学试卷（五四学制）

2021-2022学年山东省淄博市周村二中七年级（下）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共8小题，共24分） 1. 已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（　　） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 3. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）． A. 169 B. 25 C. 49 D. 64 4. 如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列各式①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则点（k，﹣b）在第（　　）象限内． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，共12分） 9. 一个两位数，个位数字是x，十位数字是y，将个位和十位数字对调后，所得到新的两位数，与原两位数相加的和是110，可以列方程为__________． 10. 已知：，则．理由是_________． 11. 将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号） 12. 如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M=119°，则∠A=______°． 三、解答题（本题共5小题，共38分） 13. 解方程组 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 14. 已知二元一次方程． （1）写出它所有的正整数解：________________________________． （2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 15. 某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元． （1） 、两种奖品每件各多少元？ （2）学校决定购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？ 16. 如图所示，在中，平分交于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数； （3）猜想与的关系，并说明理由． 17. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． （1）求证：； （2）求DF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年山东省淄博市周村二中七年级（下）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共8小题，共24分） 1. 已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的坐标变换规律，直接利用规律即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于y轴对称的规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，的相反数为，纵坐标保持不变， ∴点关于轴的对称点坐标为． 2. 如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（　　） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得∠C＝∠AFE，由外角的性质可求解． 【详解】解：在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠C＝∠AFE， ∵∠AFB＝∠FAC+∠C＝∠AFE+∠EFB， ∴∠BFE＝∠FAC＝40°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键． 3. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）． A. 169 B. 25 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 在中，先根据勾股定理求出的长，然后用大正方形的面积减去4个小三角形的面积即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， 则阴影部分的面积是， 故选：C． 4. 如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 5. 如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC交BC于E点，交CD于P点，过P作PQ⊥AC交AC于Q点，此时AP+PQ的值最小，由三角形的面积求出BC边上的高即为所求． 【详解】解：过A作AE⊥BC交BC于E点，交CD于P点，过P作PQ⊥AC交AC于Q点， ∵CD平分∠ACB， ∴PQ=PE， ∴AP+PQ=AP+PE=AE，此时AP+PQ的值最小，最小值为AE， ∵△ABC的面积是20，BC=10， ∴BC边上的高是4， ∴AE=4， ∴AP+PQ的值最小为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键． 6. 下列各式①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据一次函数的定义进行逐一分析即可得出答案． 【详解】解：①是一次函数； ②是反比例函数； ③自变量次数不为1，故不是一次函数；； ④是二次函数； ⑤是一次函数． ∴一次函数有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 7. 一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则点（k，﹣b）在第（　　）象限内． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据数轴上直线的位置得：k<0，b<0， ∴﹣b>0， 则以k、﹣b为坐标的点（k，﹣b）在第二象限内． 故选：B． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与系数的关系，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键． 8. 我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据这个班有y名同学，x本图书，结合题意可得：总图书数=人数×6+40，总图书数=人数×8-50，据此列方程组． 【详解】解：设这个班有y名同学，x本图书， 根据题意可得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，根据设出的未知数，找出图书总数的等量关系，列方程组． 二、填空题（本题共4小题，共12分） 9. 一个两位数，个位数字是x，十位数字是y，将个位和十位数字对调后，所得到新的两位数，与原两位数相加的和是110，可以列方程为__________． 【答案】10x+y+10y+x=110 【解析】 【分析】先根据题意列出等量关系以及个位数字与十位数字对调后新的两位数+原两位数=110，列出方程解答即可． 【详解】解：一个两位数，个位数字是x，十位数字是y； 这原两个数为10y+x, 个位数字与十位数字对调后新的两位数为:10x+y 则根据题意有10x+y+10y+x=110． 故答案为：10x+y+10y+x=110． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 10. 已知：，则．理由是_________． 【答案】平行于同一条直线的两直线平行． 【解析】 【分析】根据平行于同一条直线的两直线平行即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴（平行于同一条直线的两直线平行） 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行． 【点睛】此题考查的是平行线的判定，掌握平行于同一条直线的两直线平行是解题关键． 11. 将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°， ∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2， ∴mn，故①符合题意； ∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠2=2∠1，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm， ∴∠3=∠4， ∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5， ∴∠1=∠5， ∴ECn， ∴mn，故④符合题意； ∵∠ABC=∠2-∠1， ∴∠2=∠ABC+∠1， ∴mn，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12. 如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M=119°，则∠A=______°． 【答案】58 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出∠MBC+∠MCB=61°，再利用角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB=122°，可得结论． 【详解】解：∵∠M=119°， ∴∠MBC+∠MCB=180°-119°=61°， ∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB=2（∠MBC+∠MCB）=122°， ∴∠A=180°-122°=58°， 故答案为：58． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本题共5小题，共38分） 13. 解方程组 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】用代入法或加减法解方程组即可. 【小问1详解】 解： ， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 故原方程组的解是：； 【小问2详解】 解：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； 【小问3详解】 解：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； 【小问4详解】 解：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； 【小问5详解】 解：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； 【小问6详解】 解：， 得：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：． 14. 已知二元一次方程． （1）写出它所有的正整数解：________________________________． （2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 【答案】（1）或或 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【小问1详解】 解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 【小问2详解】 解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 15. 某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元． （1） 、两种奖品每件各多少元？ （2）学校决定购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？ 【答案】（1）种奖品每件元，种奖品每件元 （2）元 【解析】 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：奖品价格奖品价格，奖品价格奖品价格，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【小问1详解】 解：设种奖品每件元，种奖品每件元， 依题意得： ， 解得：， 答：种奖品每件元，种奖品每件元； 【小问2详解】 解：由题意得：（元）， 答：总费用是元． 16. 如图所示，在中，平分交于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数； （3）猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由三角形外角的定义及性质可得，结合角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）由三角形外角的定义及性质可得，结合角平分线的定义得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：平分，， ∴， 是的外角， ∴； 【小问2详解】 解：是的外角，， ∴， 平分，平分， ，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 是的外角， ∴， 平分，平分， ，， ∴， ∵， ∴， 即． 17. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． （1）求证：； （2）求DF的长． 【答案】（1） 证明：∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED=∠CED=90°， 在Rt△ADE中，∠AED=90°， ∴AD2=AE2+DE2=82+42=80， 同理：CD2=20， ∴AD2+CD2=80+20=100， ∵AC=AE+CE=8+2=10， ∴AC2=100， ∴AD2+CD2=AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC=90°； （2）DF的长为5． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC=10， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF=AB=5． ∴DF的长为5． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $