精品解析：江苏连云港市赣榆实验中学2025-2026学年度第二学期第一次素养评价九年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期第一次素养评价九年级数学试卷 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 友情提醒：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其它区域答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分，请把你认为正确的选项代号填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算：①；②；③；④；正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 4. 如图，以正五边形的顶点为圆心，以边长为半径作圆，已知点是上一个动点，当点在正五边形的内部运动时，则的大小为（　　） A. B. C. D. 不能确定 5. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．将结果直接填写在答题卡上） 9. 若式子有意义，则的取值范围是________． 10. 因式分解______. 11. 如图，在数轴上A、B两点分别代表的数为a、b，化简 ________ 12. 若关于x的方程有实根，则的取值范围是______ 13. 已知实数x，y满足，则的最大值为_______． 14. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于_____． 15. 如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 16. 如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 三．解答题（本题有10小题，共102分．解答时在答题卡上写出必要的步骤、过程或文字说明） 17. 计算：． 18. 解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 19. 解分式方程： 20. 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台． （1）随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 ； （2）随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率． 21. 为了解学生对校园网站五个栏目的喜爱情况（规定每名学生只能选一个最喜爱的）．学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_______名． （2）将条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数； （4）若该校有1800名学生，估计全校最喜爱“校长信箱”和“名师导学”栏目的学生一共有多少名？ 22. 如图，是的直径，，是上两点，且，的半径为4．过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） （1）求两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 24. 某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． （1）___________． （2）求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； （3）桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 25. 综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 26. 在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 27. 【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 （1）如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 （2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 （3）如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次素养评价九年级数学试卷 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 友情提醒：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其它区域答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分，请把你认为正确的选项代号填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 科学记数法，将原数表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列运算：①；②；③；④；正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则计算后判断即可． 【详解】①，计算正确； ②，计算错误； ③，计算正确； ④，计算正确； ∴正确的是①③④， 故选：D． 4. 如图，以正五边形的顶点为圆心，以边长为半径作圆，已知点是上一个动点，当点在正五边形的内部运动时，则的大小为（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，圆周角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出正五边形的内角，再由圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， 故选：B． 5. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可 【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度， 设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得， 根据题意可列出的方程是， 故选：B． 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 6. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， 大正方形的对角线长为，面积为， 阴影部分的边长为， ， (该点取到阴影部分)， 故选：A． 7. 如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，取的中点F，连接，根据中位线的性质得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：连接，取的中点F，连接， ∵点M，N，F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 8. 如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设，则的中点为，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边中线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为， 的图象经过点， ，故①正确； ∵轴， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于， ，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴于点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ， ， ，故③错误； ，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题以反比例函数为载体，融合中点坐标、三角形面积、角度推导等考点，通过设参表示各点，逐一验证结论，考查数形结合与代数运算能力，体现函数与几何的综合应用． 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．将结果直接填写在答题卡上） 9. 若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 因式分解______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，在数轴上A、B两点分别代表的数为a、b，化简 ________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数及绝对值的化简，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键． 由数轴可知，，化简绝对值即可得到答案． 【详解】由数轴可知， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 若关于x的方程有实根，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的根，根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答即可得，掌握一元二次方程根的判别式，分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实根， ①方程为一元二次方程时， ， 解得：且． ②当方程为一元一次方程时，， 解得， 此时方程为：， ， 综上，时方程有实根． 故答案为：． 13. 已知实数x，y满足，则的最大值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 由，可得，则，然后求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为5， 故答案为：5． 14. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接MN．设小正方形的边长1．利用相似三角形的性质证明∠CPN=45°即可解决问题． 【详解】解：连接MN．设小正方形的边长1． ∵△MNF是等腰直角三角形， ∴∠FMN＝∠FNM＝45°， ∴∠AMN＝∠MNC＝135°， ∵MN＝，AM＝2．CN＝1， ∴＝＝， ∴△ANM∽△MCN， ∴∠MAN＝∠CMN， ∵∠NMF＝∠MAN+∠ANM＝45°， ∴∠CPN＝∠PMN+∠PNM＝45°， ∴cos∠CPN＝， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 15. 如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 由折叠，得：，，，，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠知：， 是等边三角形，且， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合折叠性质、菱形与等边三角形判定、解直角三角形，通过线段比例推导边长关系，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想． 16. 如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 三．解答题（本题有10小题，共102分．解答时在答题卡上写出必要的步骤、过程或文字说明） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：原式， ， ； 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，准确结合二次根式的性质，零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 18. 解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：7，8，9 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 所以该不等式组所有整数解为：7，8，9． 19. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 20. 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台． （1）随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 ； （2）随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式，列表法求概率，掌握概率公式及会列表或画树状图是解题的关键． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【小问1详解】 解：∵共台机器人，B型号分拣机器人3台 ∴随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中同一型号机器人的结果有8种， ∴抽取到同一型号机器人的概率为 21. 为了解学生对校园网站五个栏目的喜爱情况（规定每名学生只能选一个最喜爱的）．学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_______名． （2）将条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数； （4）若该校有1800名学生，估计全校最喜爱“校长信箱”和“名师导学”栏目的学生一共有多少名？ 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为108° （4）估计全校最喜爱“校长信箱”和“名师导学”栏目的学生一共有990名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据喜爱栏目A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出喜爱栏目C的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用360度乘以B组所占的比例即可得出答案； （4）根据样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 本次被调查的学生有：（人）， 【小问2详解】 本次被调查的C栏目的有：（人）， 补全的条形统计图如图所示， 【小问3详解】 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 ， 所以估计全校最喜爱“校长信箱”和“名师导学”栏目的学生一共有990名． 22. 如图，是的直径，，是上两点，且，的半径为4．过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等，再根据等边对等角得，即可得，然后说明，则此题可解； （2）先证明，可求出，再连接，再根据“直径所对的圆周角是直角”证明，进而得出，接下来根据特殊角的三角函数值求出，进而求出，再求出，最后根据得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵，的半径是4， ∴， 解得． 连接， ∵是的直径，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） （1）求两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【答案】（1）海里 （2）甲货轮先到D港，说明见解析 【解析】 【分析】（1）作，可得再结合题意说明，然后求出，进而求出，最后根据得出答案； （2）作，由题意得，进而得出，再根据求出，然后求出，，接下来求出和，比较得出结论即可． 【小问1详解】 解：作于点E，如图所示，则 由题意， 得海里， ∴， ∴． 在中，（海里），（海里）， ∴（海里）， 所以两港之间的距离是海里； 【小问2详解】 解：甲货轮先到，说明如下： 作于点F，如图所示，则， 由题意，得， 由（1）得（海里）， ∴， ∴． ∵，即， 解得， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）,（海里）． ∵，甲，乙两艘货轮的速度相同（停靠B，C两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达D港． 24. 某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． （1）___________． （2）求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； （3）桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】（1）25 （2） （3）43.25或44.25或48 【解析】 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【小问1详解】 解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； 【小问2详解】 解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； 【小问3详解】 解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 25. 综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【答案】（1）， （2）符合要求，理由见详解 （3）每平方米草莓的月利润应该下调48元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）根据图示，结合题意列式即可； （2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米； （2）符合要求，理由如下， ， 整理得，， 解得，，， ∵道路宽度不超过14米，且不小于7米， ∴，即道路设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵让客户得到实惠， ∴每平方米草莓的月利润应该下调48元． 26. 在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得，再求出解可得二次函数关系式，然后配方得出答案； （2）先表示出抛物线的对称轴和顶点坐标，再分两种情况：当时，，y有最小值，其最小值为，可得方程，求出解；当时，时，y有最小值，其最小值为，并得到方程，求出解； （3）先根据抛物线的对称轴得，再根据可得，再求出当时，，然后分两种情况讨论：当4在对称轴左边时，要使，需要满足，求出解集；当4在对称轴右边时，要使，需要满足即，求出解集并得出答案． 【小问1详解】 解：∵，它的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得或． ∵， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为． 当时， y有最小值为． 当时，，y有最小值，其最小值为， ∴， 解得． ∵， ∴； 当时，时，y有最小值，其最小值为， ∴y有最小值，其最小值为， 解得，不符合题意． 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵点都在这个二次函数的图象上， ∴对称轴是． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵， ∴， 解得； 当时，，对称轴是， ∴时，． 当4在对称轴左边时，要使，需要满足，即 解得； 当4在对称轴右边时，要使，需要满足即， 解得， 综上所述：或． 27. 【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 （1）如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 （2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 （3）如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； （2）以为直径作圆，点E的轨迹是，当O，G，E三点共线时，有最大值，根据勾股定理即可解答； （3）过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，根据度角的性质及勾股定理得到，同（1）证明，根据得到点E在上运动，可知当过点G时的值最大，过点G作于点N，过点F作于点K，可知四边形、是矩形，得到，根据勾股定理求出，即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：补全缺失的证明过程如下： 如图1，过点C作，过点E作，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ； 【小问2详解】 解：， ∴点E在上运动； 如图2，作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是， 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得：， ， 即的最大值是； 【小问3详解】 解：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点E在上运动， 可知当过点G时的值最大， 如图4，过点G作于点N，过点F作于点K， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵ ∴， ， ∴由勾股定理得：， ， 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $