精品解析：2025年江苏省连云港市赣榆初级中学　延安中学中考一模联考数学试卷

2025年江苏省连云港市赣榆&延安中学一模联考数学试卷 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节，是中国“春节”申遗成功后首个农历新年．连云港市各大旅游景区人流如潮，文旅市场呈现出“年味浓、人气旺、消费热”的繁荣景象．2025年春节期间，连云港全市接待游客约2390000人次．数据2390000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 5. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设牧童的人数是人，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，若,则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的立方根是______． 10. 分解因式：x2-16= ________________． 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ． 12. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm． 图1 图2 13. 如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则______度． 14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为_______． 三、解答题（本大题共11 小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 解方程：． 20. 为了宣传航天知识，某校举行了：：微重力物理，：空间材料科学，：空间生命科学，：航天医学，：航天技术，共五类知识的展览，展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了以“我最喜欢的展览”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次共调查了_____________名同学，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为_____________； （3）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数． 21. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 22. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图，作垂直平分线，交于点E，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形是菱形； （3）若，，，求菱形的周长． 23. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 25. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 （1）求该抛物线表达式； （2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 27. 【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， 为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省连云港市赣榆&延安中学一模联考数学试卷 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，熟练掌握运算性质和运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项符合题意； 故选：． 3. 2025年春节，是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年．连云港市各大旅游景区人流如潮，文旅市场呈现出“年味浓、人气旺、消费热”的繁荣景象．2025年春节期间，连云港全市接待游客约2390000人次．数据2390000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，数据2390000用科学记数法表示为， 故选：B 4. 我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的概念，即可解答，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 【详解】解：重新排序得到：25，26，27，28，29，30，30． 根据题意可得中位数为，众数为， 故选：C. 5. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设牧童的人数是人，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了一元一次方程实际应用．设牧童的人数是人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设牧童的人数是人，根据题意得： ． 故选：A 6. 如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 7. 如图，长方形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 设，则，进而得出，根据题意和勾股定理得出方程即可得解． 【详解】解：设，则， 四边形为长方形， 由折叠性质可得， ， ， ， ， 在中， ， 又在中， ， ， 即， 解得，， 即． 故选：C． 8. 已知二次函数的图象经过点，若,则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，，得出，则点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为， 令，则， 解得：或， ∴当或当时，， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点离对称轴要比点离对称轴远，， ∴， ∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边， ∴， 解得：， 综上所述，， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数立方根，根据立方根得概念即可求解，掌握立方根的概念即可求解． 【详解】解：的立方根是， 故答案为：． 10. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键． 12. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm． 图1 图2 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 13. 如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则______度． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，弧，弦，角之间的关系，根据圆周角定理，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等弧对等弦，得到，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内接三角形，点是弧的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：100． 14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键．作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：12． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作，证明，进而可得，即可得在射线上运动，且，根据点到直线的距离垂线段最短，以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图，取的中点，连接，过点作 ， 四边形是正方形 ， ， 是等腰直角三角形 ，且点在射线上运动， 时，最短， 此时是等腰直角三角形，则 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，判断出点的运动路径是解题的关键． 三、解答题（本大题共11 小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果． 【详解】解： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出两个不等式，再取公共部分即可． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组的解集是：． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 20. 为了宣传航天知识，某校举行了：：微重力物理，：空间材料科学，：空间生命科学，：航天医学，：航天技术，共五类知识的展览，展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了以“我最喜欢的展览”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次共调查了_____________名同学，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为_____________； （3）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数． 【答案】（1），见解析 （2） （3）540人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）首先利用“组学生人数其占比”，即可求得所调查学生人数；分别计算组和组的人数，然后补画条形统计图即可； （2）利用“A组学生占比”，即可获得答案； （3）利用“该校学生总数组学生占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为：（人）， ∴组的学生人数为：（人）， ∴的人数为：（人）， 将条形统计图补充完整如下： 【小问2详解】 组所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数为540人． 21. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2）公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 22. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图，作的垂直平分线，交于点E，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形是菱形； （3）若，，，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）证明，得到，利用平行四边形的性质得到，结合，从而证明菱形； （3）根据勾股定理的逆定理得到，，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得结果． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 23. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象，不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：连接，，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或． 25. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】（1）． （2）的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 （1）求该抛物线的表达式； （2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是将面积比进行转化． （1）根据待定系数即可求解； （2）①先求出中点坐标，然后求出直线的表达式，与抛物线的表达式联立即可求解交点坐标； ②先将面积比化为底之比得到，设，取的中点记为点，则，进行线段转化得到为的中点，再表示出点的坐标，最后代入直线的表达式，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称轴为， 得， 解得， 将代入抛物线可得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①解：当时，得， 解得，， ，， ∵点E是线段的中点， ∴， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点， ∴； ②设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设， 取的中点记为点，则，如图： ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 即， 将代入， 得：， 整理得：， 解得：， ∴点的横坐标为． 27. 【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， 为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6或2 【解析】 【分析】（1）可证得，从而得出，从而得出，从而得出结论； （2）作于G，作于H，可证得，从而，，进而得出，，根据，从而得出，从而，故，进而得出，则，根据勾股定理得出的值，进而求得的值； （3）作于Q，设和交于点G，解直角三角形得出和的值，进而得出的值；当点A在下方时，求得的值，进而得出的值，进而得出的值，进而得出的值，当点A在上方时，同样得出结果． 【详解】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为单直邻等四边形； （2）如图1，作于G，作于H， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）作于Q， 设和交于点G， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 当点A在下方时，， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点A在上方时（图中），， 同理可得，， 综上所述：或2， 故答案为：6或2． 【点睛】本题考查了新定义——单直邻等四边形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$