利用基本不等式与三角函数的值域求解三角形的最值问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

利用基本不等式与三角函数的值域求解三角形的最值问题讲义 利用基本不等式与三角函数的值域求解三角形的最值问题讲义 考点目录 利用基本不等式求解三角形的最值问题 利用三角函数的值域求解三角形的最值问题 知识点解析 一、利用基本不等式求解三角形的最值问题 解题原理 通过正余弦定理将三角形的边/角关系转化为边的整式/积式（如、），利用基本不等式（、）实现和与积的相互转化，结合三角形三边关系、边长为正的约束，求解周长、面积、边长的最值，核心是化边为和积形式，和定积最大、积定和最小。 解题思路（三步法） 1. 边角互化，化纯边表达式：用余弦定理（如）、正弦定理（）消去角，将最值目标（周长、面积、边长）表示为仅含边的式子（面积需结合已知角定为常数）； 1. 找和/积定值，套基本不等式：分析纯边表达式的特征，确定和定或积定的条件（如已知，由余弦定理得，即，和与积关联），套用基本不等式转化； 1. 验等号+三角形约束：验证基本不等式等号成立条件（如），同时确保结果满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），最终确定最值。 关键：优先化边，面积问题需先固定角（定），再对两边用基本不等式。 二、利用三角函数的值域求解三角形的最值问题 解题原理 通过正余弦定理、三角恒等变换将三角形的最值目标转化为单一三角函数形式或（为三角形内角，），利用三角函数有界性（、）和内角范围约束，求解最值，核心是化角为单一三角式，结合有界性定范围。 解题思路（四步法） 1. 边角互化，化纯角表达式：用正弦定理将边转化为角的正弦形式（如），结合三角形内角和消去多余角，将最值目标表示为仅含一个角的三角式； 1. 恒等变换，化单一三角标准型：通过和差角、二倍角、辅助角公式化简三角式，最终转化为或的标准形式； 1. 定角的范围，分析三角函数值域：根据三角形内角为正的约束，确定标准型中角的取值范围（如，则）； 1. 结合有界性，求最值：根据角的范围和三角函数的单调性，确定/的最值，代入标准型得目标最值。 关键：优先化角，消角时紧扣，辅助角公式化简后必判角的范围（非全体实数）。 两大考点适用场景速判 1. 用基本不等式：题干含边的平方和、两边乘积、已知一边/一角求面积/周长最值，表达式易转化为和积形式，等号成立条件易满足（如时为等腰三角形，符合三角形成立条件）； 1. 用三角函数：题干含角的三角函数关系、求角的最值、边的表达式难转化为和积，易通过恒等变换化为单一三角式，角的范围易确定。 三、注意事项 1. 边角互化原则：求边的最值优先化边用基本不等式，求角的最值/含角的表达式优先化角用三角函数； 1. 约束条件必抠：所有最值均需满足三角形内角、三边关系，忽略则会出现增解； 1. 公式精准套用：基本不等式注意“一正二定三相等”，三角函数注意角的范围对值域的影响（非上的有界性）； 1. 面积问题双解法：已知一角，面积，既可用基本不等式（由余弦定理定最值），也可用三角函数（化为角的形式）。 考点一 利用基本不等式求解三角形的最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西百色·月考）已知的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 例2．（2026·河北张家口·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)求的最小值. 例3．（25-26高一下·天津·月考）在三角形中，角所对的边分别为，且 (1)求的大小； (2)若三角形的面积，求最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·陕西安康·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 变式2．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 变式3．（25-26高一下·浙江·月考）已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 考点二 利用三角函数的值域求解三角形的最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）中，角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求角； (2)求周长的最大值. 例2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 例3．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广西玉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长度； (3)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 变式2．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 变式3．（25-26高三上·广东惠州·月考）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用基本不等式与三角函数的值域求解三角形的最值问题讲义 利用基本不等式与三角函数的值域求解三角形的最值问题讲义 考点目录 利用基本不等式求解三角形的最值问题 利用三角函数的值域求解三角形的最值问题 知识点解析 一、利用基本不等式求解三角形的最值问题 解题原理 通过正余弦定理将三角形的边/角关系转化为边的整式/积式（如、），利用基本不等式（、）实现和与积的相互转化，结合三角形三边关系、边长为正的约束，求解周长、面积、边长的最值，核心是化边为和积形式，和定积最大、积定和最小。 解题思路（三步法） 1. 边角互化，化纯边表达式：用余弦定理（如）、正弦定理（）消去角，将最值目标（周长、面积、边长）表示为仅含边的式子（面积需结合已知角定为常数）； 1. 找和/积定值，套基本不等式：分析纯边表达式的特征，确定和定或积定的条件（如已知，由余弦定理得，即，和与积关联），套用基本不等式转化； 1. 验等号+三角形约束：验证基本不等式等号成立条件（如），同时确保结果满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），最终确定最值。 关键：优先化边，面积问题需先固定角（定），再对两边用基本不等式。 二、利用三角函数的值域求解三角形的最值问题 解题原理 通过正余弦定理、三角恒等变换将三角形的最值目标转化为单一三角函数形式或（为三角形内角，），利用三角函数有界性（、）和内角范围约束，求解最值，核心是化角为单一三角式，结合有界性定范围。 解题思路（四步法） 1. 边角互化，化纯角表达式：用正弦定理将边转化为角的正弦形式（如），结合三角形内角和消去多余角，将最值目标表示为仅含一个角的三角式； 1. 恒等变换，化单一三角标准型：通过和差角、二倍角、辅助角公式化简三角式，最终转化为或的标准形式； 1. 定角的范围，分析三角函数值域：根据三角形内角为正的约束，确定标准型中角的取值范围（如，则）； 1. 结合有界性，求最值：根据角的范围和三角函数的单调性，确定/的最值，代入标准型得目标最值。 关键：优先化角，消角时紧扣，辅助角公式化简后必判角的范围（非全体实数）。 两大考点适用场景速判 1. 用基本不等式：题干含边的平方和、两边乘积、已知一边/一角求面积/周长最值，表达式易转化为和积形式，等号成立条件易满足（如时为等腰三角形，符合三角形成立条件）； 1. 用三角函数：题干含角的三角函数关系、求角的最值、边的表达式难转化为和积，易通过恒等变换化为单一三角式，角的范围易确定。 三、注意事项 1. 边角互化原则：求边的最值优先化边用基本不等式，求角的最值/含角的表达式优先化角用三角函数； 1. 约束条件必抠：所有最值均需满足三角形内角、三边关系，忽略则会出现增解； 1. 公式精准套用：基本不等式注意“一正二定三相等”，三角函数注意角的范围对值域的影响（非上的有界性）； 1. 面积问题双解法：已知一角，面积，既可用基本不等式（由余弦定理定最值），也可用三角函数（化为角的形式）。 考点一 利用基本不等式求解三角形的最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西百色·月考）已知的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，由向量平行的坐标性质得： , 由正弦定理边化角可得, 因为，所以，约去后可得， 结合二倍角公式得： ， 又，故，所以，约去得​， 因此，得： ； （2）已知，，则结合三角形面积公式可得： ， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，三个角均为锐角， 所以由为锐角可得：， 由为锐角：， 即可得，代入面积公式得， 即面积的取值范围为：. 例2．（2026·河北张家口·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 又在中，， 则， 由正弦定理得， 因为，所以由余弦定理得， 所以，所以， 由，解得， 所以的面积为. （2）由（1）知， 所以. ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 例3．（25-26高一下·天津·月考）在三角形中，角所对的边分别为，且 (1)求的大小； (2)若三角形的面积，求最大值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）根据正弦定理， 可得， 代入已知等式：， 整理得：， 由余弦定理​，代入得：​， 因为，故. （2）三角形面积公式，代入， ​​得：，又， 得， 又 将代入整理得： ​ 由基本不等式，代入得：， ​ 整理得，即，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·陕西安康·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由，得， 所以（当且仅当，即为等边三角形时取等号）. 所以. 所以面积的最大值为. 变式2．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）在中，，则， 代入，得， 化简得：，显然，则， 由于，则，由， 因此. （2）周长，要求周长的最大值，即求的最大值， 已知，，代入余弦定理可得， 则， 因此要求的最大值，即求的最大值， 利用基本不等式得，当时，取最大值， 此时， 因此，周长的最大值为. 变式3．（25-26高一下·浙江·月考）已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由正弦定理得 ， 在中， （2）由余弦定理可得：， 即 ， ， ，当且仅当时取等号 又 ∴当时，取到最小值为 考点二 利用三角函数的值域求解三角形的最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）中，角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求角； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得， 代入，得 化简可得： 由余弦定理可得，又 故. （2）周长， 由正弦定理：， 故， . 由，知当时取最大值. 故的周长的最大值为. 例2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 例3．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广西玉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长度； (3)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得； （2）由，可得， 又由余弦定理可得，即，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ， 故； （3）根据正弦定理得， 所以，， 可得 ， 由为锐角三角形可得，解得， 所以，可得，， 所以的周长的取值范围是． 变式2．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·广东惠州·月考）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ，，，， 故； 的面积为，，且，， 即，解得， 由余弦定理得，，， 故的周长为； （2）由及三角形内角和定理，得，则， ， 为锐角三角形，，，故， ，故，， 即的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $