6.4.3解三角形中的最值问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“解三角形中的最值问题”为核心，通过知识清单系统梳理实际问题概念、面积公式及常用结论，用框架图呈现知识点内在逻辑，突出“化角为边”“化边为角”等最值处理方法，构建清晰知识脉络。 讲义按面积、周长、边的最值及锐角三角形取值范围分类题型，每种题型配套“余弦定理+基本不等式”“正弦定理边化角”等方法指导，例题精讲含单选、多选及综合题，培养数学思维与运算能力，助力分层提升，为教师精准教学提供系统支持。

6.4.3解三角形中的最值问题 【知识清单】 知识点一　实际问题中的相关概念 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图． 3．方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图．方向角的范围是，0与指正方向，一般省略不写． 4．方位角 指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．方位角的范围是[0，2π)． 5．视角 观察物体的两端，视线张开的夹角，如图． 知识点二　三角形的面积公式 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为 (1)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB； (2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)． 知识点三　△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 特别强调： 1.三角形的其他面积公式 (1)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r为△ABC内切圆的半径，l为△ABC的周长． (2)S△ABC＝a2，S△ABC＝b2· ，S△ABC＝c2. (3)S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝，其中R为△ABC外接圆的半径． (4)海伦公式：S△ABC＝，其中p＝(a＋b＋c)． (5)S△ABC＝，其中b＝，a＝. (6)S△ABC＝|a1b2－a2b1|，其中＝(a1，a2)，＝(b1，b2)． 2.三角形中的最值范围问题处理方法 法一： 利用基本不等式求最值 →化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式，求最值或范围， 但是要注意“一正二定三相等”， 尤其是取得最值的条件。 法二： 转为三角函数求最值→ 化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决， 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 题型一：求面积的最值和取值范围 方法一： 余弦定理 + 基本不等式 （当且仅当 时取 ） 方法二： 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式 【例题精讲】 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5sin2B+5sin2C﹣5sin2A＝2sinBsinC，且，则△ABC面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 2．数学必修二55页介绍了海伦﹣秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若，，则△ABC面积的最大值为（　　） A．3 B． C． D． 3．已知△ABC中，AB＝3，BC＝2AC，则△ABC面积的最大值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝6，，则当△ABC面积取最大值时，cosC＝（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且abc的取值范围是，则△ABC面积的取值范围是（　　） A．[1，2] B．[1，8] C．[2，4] D．[4，8] 6．（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（　　） A．′ B．b取值范围为 C．△ABC面积的最大值为 D．△ABC周长的最大值为6 7．（多选）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA+sinC＝2sinB，b＝2，则（　　） A．△ABC的周长为6 B．a，b，c成等差数列 C．角B的最大值为 D．△ABC面积的最大值为 题型二：求周长的最值和取值范围 方法一： 余弦定理 + 配完全平方和 + 基本不等式 （当且仅当 时取 ） 再结合两边之和大于第三边。 方法二： 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式 【例题精讲】 1．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a2﹣b2﹣c2）sinCcosC＝bccos（B+C），，则△ABC周长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的周长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．△ABC的面积的最大值为 D．△ABC的周长的取值范围是 5．在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则三角形ABC的周长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c＝2，则下列结论正确的是（　　） A．∠C的取值范围为 B．△ABC外接圆半径的范围为 C．△ABC的面积最小值为 D．△ABC的周长范围为 7．（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A．若sinA＞sinB，则A＞B B．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 C．若b＝2，，这样的三角形有两解，则a的取值范围为 D．若△ABC为锐角三角形，且a＝2，，则其周长范围为（4，6） 题型三：求边的最值和取值范围：单边，多边和与差，多边比 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式 【例题精讲】 1．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，且sin（A﹣B）＝2sinC，，则bc的最大值为（　　） A． B． C．4 D． 2．已知△ABC面积为1，边AC上的中线为BD，边AB上的中线为CE，且，则边AC的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，c＝1，则a2+b2的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 4．在正△ABC中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足PA＝2PM，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＝b2+c2，则A的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）△ABC的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A．若a＝2，则bc＝4 B．2≤a＜3 C． D．若△ABC的面积为，则 7．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，则下列结论正确的是（　　） A．A＝2B B．c＝b+2bcosA C．若，角C的平分线交AB于点D，则 D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是 题型四：求锐角三角形中的取值范围 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式仅求最值可用： 余弦定理 + 配完全平方和 + 基本不等式 【例题精讲】 1．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝a﹣2ccosB，则的取值范围为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（2，4） 2．记锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝2C，a＝2，则b+c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（1，2） D．（2，4） 4．在锐角三角形ABC中，已知3sinB＝4sinCcosA，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝bc，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，b＝2，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（　　） A． B．△ABD的面积的最大值为 C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D．BD的最小值为 7．（多选）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+acosB＝bcosA，则（　　） A．b2﹣a2＝2ac B．B＝2A C． D． 课时精练 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角B的内角平分线长为，若，则a+2c的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 2．在△ABC中，若cos2A+cos2B＝2﹣sin2C，且△ABC的面积为2，则△ABC周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a2＝2S+（b﹣c）2，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，2csinB＝（2a﹣c）tanC，且△ABC的面积为的中点为D，则CD的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2﹣（b﹣c）2≥bc，角A为锐角，则角A的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为10km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西10akm（a＞0）处，港口位于小岛中心正北20km处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（　　） A． B．（1，+∞） C． D．（2，+∞） 8．在△ABC中，已知AB＝2，点O为三角形的外接圆的圆心，若，且x+2y＝1，则△ABC的面积的最大值为（　　） A．2 B．8 C．16 D．18 9．（多选）在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA＝cosB，则（　　） A．△ABC为锐角三角形 B．若a＝1，则b＝tanB C．2tanB+tanC的最小值为 D． 10．（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（　　） A．若bcosA＝acosB，则△ABC为等腰三角形 B．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 C．在锐角三角形ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立 D．若，a＝2，且该三角形有两解，则b的范围是 11．（多选）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2bsinC．则下列选项中正确的是（　　） A． B．△ABC的面积为 C．若，则 D．的最大值为． 12．已知△ABC为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 　　 ． 13．在△ABC中，，则△ABC的周长的取值范围为 　（2，3]　 ． 14．在三棱锥D﹣ABC中，已知AD＝a，CB＝b，DC＝c，AB＝3，AC⊥BD，则的最小值为　　 ． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若D是边AC上靠近A的三等分点，a＝2，，求△ABC的面积； （3）若△ABC为锐角三角形，且，求2a﹣c的取值范围． 16．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC． （Ⅰ）求角C大小； （Ⅱ）当c＝1时，求ab的取值范围． 17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围． 18．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围． 19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若△ABC边BC上的中线AD的长度为，求△ABC面积的最大值． 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3解三角形中的最值问题 【知识清单】 知识点一　实际问题中的相关概念 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图． 3．方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图．方向角的范围是，0与指正方向，一般省略不写． 4．方位角 指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．方位角的范围是[0，2π)． 5．视角 观察物体的两端，视线张开的夹角，如图． 知识点二　三角形的面积公式 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为 (1)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB； (2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)． 知识点三　△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 特别强调： 1.三角形的其他面积公式 (1)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r为△ABC内切圆的半径，l为△ABC的周长． (2)S△ABC＝a2，S△ABC＝b2· ，S△ABC＝c2. (3)S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝，其中R为△ABC外接圆的半径． (4)海伦公式：S△ABC＝，其中p＝(a＋b＋c)． (5)S△ABC＝，其中b＝，a＝. (6)S△ABC＝|a1b2－a2b1|，其中＝(a1，a2)，＝(b1，b2)． 2.三角形中的最值范围问题处理方法 法一： 利用基本不等式求最值 →化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式，求最值或范围， 但是要注意“一正二定三相等”， 尤其是取得最值的条件。 法二： 转为三角函数求最值→ 化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决， 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 题型一：求面积的最值和取值范围 方法一： 余弦定理 + 基本不等式 （当且仅当 时取 ） 方法二： 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式 【例题精讲】 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5sin2B+5sin2C﹣5sin2A＝2sinBsinC，且，则△ABC面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【解答】解：已知5sin2B+5sin2C﹣5sin2A＝2sinBsinC， 由正弦定理化简得：，代入， 可得，即， 由余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccosA，可得，， 则， 由基本不等式，可得， 解得bc≤5，当且仅当“b＝c”时取等， 则△ABC面积． 故选：A． 2．数学必修二55页介绍了海伦﹣秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若，，则△ABC面积的最大值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为，则， 所以，整理得， 所以， 根据二次函数的性质可得，当，时，最大面积． 故选：B． 3．已知△ABC中，AB＝3，BC＝2AC，则△ABC面积的最大值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】D 【解答】解：设AC＝x，因为BC＝2AC，所以BC＝2x， ， 由余弦定理， 因为sin2A+cos2A＝1，所以， 则， 因为36x2﹣（9﹣3x2）2＝36x2﹣（81﹣54x2+9x4）＝﹣9x4+90x2﹣81， 令t＝x2（t＞0），则y＝﹣9t2+90t﹣81，图象开口向下，对称轴为， 所以当t＝5时，y取得最大值，81＝﹣225+450﹣81＝144， 因为， 所以， 即△ABC面积的最大值为3． 故选：D． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝6，，则当△ABC面积取最大值时，cosC＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由，得sin2B﹣sinAsinB﹣2sin2A＝0， 结合正弦定理得b2﹣ab﹣2a2＝0，即（b+a）（b﹣2a）＝0， 因为b+a＞0，所以b﹣2a＝0，即b＝2a， 结合c＝6，可得由余弦定理得cosC， 根据C∈（0，π），可得sinC， 所以△ABC的面积SabsinC•， 由二次函数的性质，可知a2＝20时，△ABC的面积S取得最小值， 此时cosC． 故选：D． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且abc的取值范围是，则△ABC面积的取值范围是（　　） A．[1，2] B．[1，8] C．[2，4] D．[4，8] 【答案】A 【解答】解：因为△ABC的内角A，B，C满足， 所以sin2A+sin（π﹣2B）＝sin[C﹣（π﹣C）]， 所以， 所以， 根据二倍角的正弦公式与和差化积公式可得， 即， 根据两角和与差的余弦公式可得2sinA（2sinBsinC）， 所以， 设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：， 由可得：， 则，即，则4≤R2≤8， 由三角形面积公式，及正弦定理得sinAsinBsinC， 即R2＝4S，所以4≤4S≤8，即1≤S≤2， 则△ABC面积的取值范围是[1，2]． 故选：A． 6．（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（　　） A．′ B．b取值范围为 C．△ABC面积的最大值为 D．△ABC周长的最大值为6 【答案】BC 【解答】解：对于A，， 可得， 所以，故A错误； 对于B，由于， 可得12＝c2+a2+ac⇒c2+a2＝12﹣ac≥2ac⇒ac≤4，当且仅当a＝c取等号， 因为， 又c2+a2＝12﹣ac， 可得b2＝12﹣2ac， 由于0＜ac≤4，可得，故B正确； 对于C，由B分析可知，ac≤4， 所以，故C正确； 对于D，由B分析，12＝c2+a2+ac＝（a+c）2﹣ac⇒ac＝（a+c）2﹣12≤4， 得a+c≤4，可得b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝36﹣2（a+c）2， 令a+c＝t，则，由三角形三边关系可得a+c＞b， 则，可得， 可得， 令， 则， 令， 因， 可得在上单调递减， 可得，即△ABC周长无最大值，恒小于，故D错误． 故选：BC． 7．（多选）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA+sinC＝2sinB，b＝2，则（　　） A．△ABC的周长为6 B．a，b，c成等差数列 C．角B的最大值为 D．△ABC面积的最大值为 【答案】ABD 【解答】解：B，根据题意可知，sinA+sinC＝2sinB，根据正弦定理，a+c＝2b， 则a，b，c成等差数列，故B正确， 对于A，因为b＝2，所以a+c＝4，可得△ABC的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当a＝c＝2时取等， 可得，由余弦函数性质得y＝cosx在（0，π）上单调递减， 而B∈（0，π），得到，即角B的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得△ABC面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 题型二：求周长的最值和取值范围 方法一： 余弦定理 + 配完全平方和 + 基本不等式 （当且仅当 时取 ） 再结合两边之和大于第三边。 方法二： 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式 【例题精讲】 1．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a2﹣b2﹣c2）sinCcosC＝bccos（B+C），，则△ABC周长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由（a2﹣b2﹣c2）sinCcosC＝bccos（B+C）得﹣2bccosAsinCcosC＝﹣bccosA， 又b≠0，c≠0，cosA≠0，所以2sinCcosC＝1，即sin2C＝1，故， 由正弦定理，得b， 故△ABC的周长， 因为△ABC为锐角三角形，所以，得， 在上单调递减， 故△ABC的周长的取值范围为． 故选：B． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的周长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：法一：设△ABC的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以acosB+sinB＝c， 可得2RsinAcosB+sinB＝2RsinC＝2Rsin（A+B）， 即2RsinAcosB+sinB＝2RsinAcosB+2RcosAsinB， 可得sinB＝2RcosAsinB， 因为B∈（0，π），sinB≠0， 所以2RcosA＝1， 结合，可得， 又A∈（0，π），所以， 可得， 则△ABC的周长 ， 因为，所以， 则， 可得 故△ABC的周长的取值范围为． 法二：由b+c＞a，， 可知△ABC周长大于，排除ABD． 故选：C． 3．在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点， 设∠AGE＝α，由题意可得， 所以， 则， 可得△EFG的周长， 注意，且， 令， 则， 所以， 又， 解得， 即△EFG周长的取值范围为． 故选：A． 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．△ABC的面积的最大值为 D．△ABC的周长的取值范围是 【答案】D 【解答】解：由题意△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+acosB＝3， 可得，解得c＝3， 2acos21csinA﹣1，可得cos（A+B）sinC﹣1， ∴sin（C）， 又C∈（0，π）， ∴C，所以A不正确；2R2，所以B不正确； 在△ABC中，∵c2＝a2+b2﹣2abcosC，且c＝3，C， ∴9＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab（当且仅当a＝b时取等号）， ∴S△ABCsinC（当且仅当a＝b时取等号），所以C不正确； ∵c＝3，C，∴A+B， ∴a＝2sinA，b＝2sinB， a+b＝2sinA+2sinB＝2sinA+2sin（）＝2sin（A）， ∵0＜A，∴， ∴sin（A）≤1， ∴3＜a+b≤2， ∴6＜a+b+c≤3+2，所以D正确． 故选：D． 5．在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则三角形ABC的周长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为， 根据正弦定理得，， 因为B为锐角，所以sinB＞0， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以b＝2sinB，c＝2sinC， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以． 故选：C． 6．（多选）已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c＝2，则下列结论正确的是（　　） A．∠C的取值范围为 B．△ABC外接圆半径的范围为 C．△ABC的面积最小值为 D．△ABC的周长范围为 【答案】ABD 【解答】解：对A：因为△ABC为锐角三角形，且， 故可得，解得∠C∈，故A正确； 对B：设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理及c＝2， 可得，即， 由A可知：∠C∈，故， 故，故B正确； 对C：由正弦定理，可得， 整理得， 故△ABC的面积 ， 由A可知：∠C∈，故， 故，故， 故S没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△ABC的周长为l， 则 ， 由A可知：C∈，故， 则，则， 故，故D正确． 故选：ABD． 7．（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A．若sinA＞sinB，则A＞B B．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 C．若b＝2，，这样的三角形有两解，则a的取值范围为 D．若△ABC为锐角三角形，且a＝2，，则其周长范围为（4，6） 【答案】AC 【解答】解：对于A，因为sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b， 所以A＞B，故A正确； 对于B，因为acosA＝bcosB， 由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B， 又A，B∈（0，π ），所以2A，2B∈（0，2 π ）， 所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或， 即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为三角形有两解， 所以bsinA＜a＜b，即， 故a的取值范围为，故C正确； 对于D，由， 可得三角形周长为 ， 由△ABC为锐角三角形，且， 可得，解得， 则，故， 则三角形周长范围为，故D错误． 故选：AC． 题型三：求边的最值和取值范围：单边，多边和与差，多边比 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式 【例题精讲】 1．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，且sin（A﹣B）＝2sinC，，则bc的最大值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解答】解：因为sin（A﹣B）＝2sinC， 所以sinAcosB﹣cosAsinB＝2sinC， 则， 整理得a2﹣b2＝2c2， 因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立． 故选：A． 2．已知△ABC面积为1，边AC上的中线为BD，边AB上的中线为CE，且，则边AC的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，△ABC面积为1，边AC上的中线为BD，边AB上的中线为CE， 设BD∩CE＝G，易知G为△ABC的重心， 又，结合重心性质可得：， 同时， 设CG＝3x，∠CGD＝θ（0＜θ＜π）， 则BG＝4x，GD＝2x， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，整理得到13＝12cosθ+zsinθ， 又，其中，得到169≤144+z2， 也即z2≥169﹣144＝25，当且仅当sin（θ+φ）＝1时取得等号，又z＞0，则z≥5， 所以． 故选：B． 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，c＝1，则a2+b2的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 根据题意可知，C＝60°，c＝1，根据余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC， 则1＝a2+b2﹣ab，即1+ab＝a2+b2， 因为，当且仅当a＝b时等号成立， 所以，即，当且仅当a＝b时等号成立， 所以a2+b2≤2，当且仅当a＝b时等号成立，即a2+b2的最大值为2，此时△ABC为等边三角形， 故a2+b2的最大值为2． 故选：B． 4．在正△ABC中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足PA＝2PM，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解答】解：依题意，以M为坐标原点，以BC为x轴，以MA为y轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形ABC的边长为 2，则， 设P（x，y），则， ∵PA＝2PM，∴PA2＝4PM2， ∴，即，即， ∴P点轨迹为：，则， 所以， 当时，，即； 当时，令，则t表示P（x，y）与连线的斜率，如图2，且， 设直线与圆相切，直线化为， 则圆心到直线距离，解得或， ∴，故， 则当时，取得最大值为， ∴的最大值为； 综上：的最大值为． 故选：A． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＝b2+c2，则A的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由2a2＝b2+c2，可得，当且仅当b＝c时取等号， 因为0＜A＜π，y＝cosx在（0，π）单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 6．（多选）△ABC的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A．若a＝2，则bc＝4 B．2≤a＜3 C． D．若△ABC的面积为，则 【答案】ABD 【解答】解：△ABC的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且； 对于A选项，因为， 所以由正弦定理得， 又a+b+c＝6，a＝2，故b+c＝4， 所以，则bc＝4，故A选项正确； 对于B选项，由基本不等式得， 当且仅当b＝c时，等号成立， 又a+b+c＝6，故，即， 又，a+b+c＝6，故， 所以， 即48﹣16a≤36﹣12a+a2，解得a≥2， 又， 故a＜3，故2≤a＜3，故B选项正确； 对于C选项，由余弦定理得： ， 又A∈（0，π），故，故C选项错误； 对于D选项，若△ABC的面积为，则， 即，解得bc＝2， 由B可知，，故6﹣2a＝1，解得， 故，由正弦定理得， 故，故D选项正确． 故选：ABD． 7．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，则下列结论正确的是（　　） A．A＝2B B．c＝b+2bcosA C．若，角C的平分线交AB于点D，则 D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ABD 【解答】解：由于a2﹣b2＝bc，利用正弦定理得sin2A﹣sin2B＝sinBsinC， 而 ＝sin（A+B）sin（A﹣B）， 又sin（A+B）＝sinC≠0，故sin（A﹣B）＝sinB＞0， 结合0＜A，B＜π，则﹣π＜A﹣B＜π可知0＜A﹣B＜π， 可得A﹣B＝B或A﹣B＝π﹣B，即A＝2B或A＝π（舍），选项A正确； 由余弦定理知a2＝b2+c2﹣2bccosA，代入a2﹣b2＝bc得c2﹣2bccosA＝bc， 即c＝b+2bcosA，选项B正确； 若，b＝1，由a2﹣b2＝bc得c＝2，∴c2＝a2+b2，∴， 从而，由S△ABC＝S△ADC+S△BDC， 得， 从而，即， 解得，选项C错误； 对于D，由上面分析知A＝2B，故sinA＝sin2B＝2sinBcosB，故2cosB， 因为a2﹣b2＝bc，两边同除以ab，所以， 因为△ABC为锐角三角形，故， 所以，所以， 设t＝cosB，，则， 即可设为，该函数在上单调递增曾， 则，即，选项D正确． 故选：ABD． 题型四：求锐角三角形中的取值范围 正弦定理 边化角 化同角的三角函数 辅助角公式仅求最值可用： 余弦定理 + 配完全平方和 + 基本不等式 【例题精讲】 1．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝a﹣2ccosB，则的取值范围为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（2，4） 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，c＝a﹣2ccosB，根据正弦定理，得sinC＝sinA﹣2sinCcosB， 因为A+B+C＝π，所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 所以sinC＝sinBcosC+cosBsinC﹣2sinCcosB＝sinBcosC﹣cosBsinCsinC ＝sinBcosC+cosBsinC﹣2sinCcosB＝sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）， 因为B，，所以， 所以C＝B﹣C，故B＝2C，则A＝π﹣3C， 因为△ABC是锐角三角形，所以，解得，所以， 根据正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A． 2．记锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝2C，a＝2，则b+c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为B＝2C，a＝2， 由△ABC为锐角三角形，可得，解得C， 由正弦定理可得， 即， 可得b，c， 所以b+c， 因为cosC∈（，），所以2cosC﹣1∈（1，1）， 所以∈（，1）， 所以b+c∈（1，22）． 故选：D． 3．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（1，2） D．（2，4） 【答案】C 【解答】解：在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc， 由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA与a2＝b2+bc联立，可得bc＝c2﹣2bccosA， 即b＝c﹣2bcosA，由正弦定理可得，sinB＝sinC﹣2sinBcosA，即sinB＝sin（A﹣B）， 故B＝A﹣B+2kπ，k∈Z或（舍去）， 因为2B＝A+2kπ∈（0，2π），故k＝0，故A＝2B， 所以C＝π﹣3B，因为△ABC是锐角三角形， 所以，解得， 则， 所以 ＝cos2B+2cos2B＝4cos2B﹣1∈（1，2）． 故选：C． 4．在锐角三角形ABC中，已知3sinB＝4sinCcosA，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为3sinB＝4sinCcosA，A+B+C＝π， 所以3sin（A+C）＝4sinCcosA，则3sinCcosA+3cosCsinA＝4sinCcosA， 所以3cosCsinA＝sinCcosA， 因为在锐角三角形ABC中，，则cosA＞0，cosC＞0， 所以tanC＝3tanA，令tanA＝t，则t＞0，tanC＝3t， 而tanB＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，满足题意． 故选：B． 5．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝bc，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为a2﹣b2＝bc，得a2＝b2+bc 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA 所以b2+bc＝b2+c2﹣2bccosA，即b＝c﹣2bcosA， 由正弦定理得sinB＝sinC﹣2sinBcosA， 因为C＝π﹣（A+B），则sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 所以sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB，即sinB＝sin（A﹣B）， 因为△ABC是锐角三角形，所以，，所以 又y＝sinx在上单调递增，所以B＝A﹣B，则A＝2B， 因为△ABC是锐角三角形，所以，， 所以， 由正弦定理得 因为，所以， 故． 故选：A． 6．（多选）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，b＝2，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（　　） A． B．△ABD的面积的最大值为 C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D．BD的最小值为 【答案】ACD 【解答】解：对于A，b＝2，且，可得， 由正弦定理得， 即cosCsinB＝2sinAcosB﹣sinCcosB，得sinCcosB+cosCsinB＝2sinAcosB， 则有sin（B+C）＝2sinAcosB， 在△ABC中，sin（B+C）＝sinA＞0， 可得sinA＝2sinAcosB， 所以， 而B∈（0，π），所以，选项A正确； 对于B，因为点C为线段AD的中点，所以S△ABD＝2S△ABC， 而S△ABCacsinBacac， 在△ABC中，由余弦定理，得a2+c2﹣4＝ac， 所以ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，所以ac≤4，当且仅当a＝c时取等号， 所以S△ABD≤2ac≤2， 所以△ABD的面积的最大值为，故选项B错误； 对于C，因为BM是中线，有， 在△ABC中，由正弦定理得， 可得，， 所以 ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有， 所以， 有， 故，选项C正确； 对于D，设A＝θ，所以， 在△BCD中由余弦定理，BD2＝a2+CD2﹣2a×CDcos（）sin2θ+4sinθcos（θ） ， ，， 故当，即时， BD2取最小值， 所以BD的最小值为，故D选项正确． 故选：ACD． 7．（多选）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+acosB＝bcosA，则（　　） A．b2﹣a2＝2ac B．B＝2A C． D． 【答案】BD 【解答】解：若a+acosB＝bcosA， 由正弦定理可得sinA+sinAcosB＝sinBcosA， 即有sinA＝sinBcosA﹣cosBsinA＝sin（B﹣A）， 由0＜A和0＜B，可得B﹣A， 可得A＝B﹣A，即B＝2A， 由0＜A，0＜B＝2A，0＜C＝π﹣3A，解得A，故B正确，C错误； 由a+acosB＝bcosA，即a+a•b•， 化简可得b2﹣a2＝ac，故A错误； ＝4cos2A+2cosA﹣1＝4（cosA）2， 而cosA，即有∈（41，41），即（1，2），故D正确． 故选：BD． 课时精练 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角B的内角平分线长为，若，则a+2c的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角B的内角平分线长为， 根据三角形面积公式S△ABC＝S△ABD+S△CBD可得： ， 则有，化简得 ac＝c+a，即， 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时a+2c取最小值为． 故选：C． 2．在△ABC中，若cos2A+cos2B＝2﹣sin2C，且△ABC的面积为2，则△ABC周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为cos2A+cos2B＝2﹣sin2C，可得1﹣sin2A+1﹣sin2B＝2﹣sin2C， 即sin2A+sin2B＝sin2C， 由正弦定理可得，a2+b2＝c2，即△ABC为直角三角形， 则△ABC的面积为，即ab＝4， 可得a+b+c＝a+b， 又因为a+b≥2，a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝2时，不等式取等号， 则a+b+c≥24+2． 故△ABC周长的最小值为． 故选：A． 3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a2＝2S+（b﹣c）2，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由三角形面积公式可得：，故a2＝bcsinA+（b﹣c）2， ，故， 因为sin2A+cos2A＝1，所以， 解得：或0， 因为△ABC为锐角三角形，所以sinA＝0舍去， 故，， 由正弦定理得：， 其中， 因为△ABC为锐角三角形， 所以，故，所以， ，，， 令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 因为，所以， 则． 故选：C． 4．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，2csinB＝（2a﹣c）tanC，且△ABC的面积为的中点为D，则CD的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由2csinB＝（2a﹣c）tanC，即， 即2cosCsinB＝2sinA﹣sinC＝2sinBcosC+2sinCcosB﹣sinC， 故2sinCcosB＝sinC，又C∈（0，π），故sinC＞0，故， 则，又，故ac＝4， 由AB的中点为D，故， 又， 当且仅当，即，时，等号成立， 故CD的最小值为． 故选：A． 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2﹣（b﹣c）2≥bc，角A为锐角，则角A的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为a2﹣（b﹣c）2≥bc，化简得b2+c2﹣a2≤bc， 由余弦定理可得， 又，所以， 即角A的取值范围是． 故选：D． 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题可得：cosB， 又0＜B＜π，y＝cosx在（0，π）上单调递减， 故B的最大值为． 故选：D． 7．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为10km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西10akm（a＞0）处，港口位于小岛中心正北20km处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（　　） A． B．（1，+∞） C． D．（2，+∞） 【答案】A 【解答】解：以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系， 则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示， 则A（0，20），B（10a，0）（a＞0），暗礁分布的圆形区域的边界⊙O的方程为x2+y2＝100， 所以轮船沿直线返港时直线AB的方程为，即2x+ay﹣20a＝0， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线AB与⊙O相离， 即圆心O到直线AB的距离（a＞0），解得， 所以a的取值范围是． 故选：A． 8．在△ABC中，已知AB＝2，点O为三角形的外接圆的圆心，若，且x+2y＝1，则△ABC的面积的最大值为（　　） A．2 B．8 C．16 D．18 【答案】A 【解答】解：取AC的中点D，如图所示， 因为，所以， 因为x+2y＝1，所以B，O，D三点共线， 因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC， 设AD＝DC＝m，由AB＝2，可得， 所以， 当且仅当m2＝4﹣m2，即时取得等号， 故△ABC面积最大值为2． 故选：A． 9．（多选）在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA＝cosB，则（　　） A．△ABC为锐角三角形 B．若a＝1，则b＝tanB C．2tanB+tanC的最小值为 D． 【答案】BCD 【解答】解：对于A，由sinA＝cosB可得， 则B或，即B或， 因为三角形ABC为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即A为钝角，△ABC为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由A+B+C＝π，可得，且C∈（0，π）， 则，则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，C， 则cosA+cosB+cosC＝﹣sinB+cosB+sin2B， 令， 由可得，则， 所以，故t∈（﹣1，0）， 且sin2B＝2sinBcosB＝1﹣（sinB﹣cosB）2＝1﹣t2， 所以， 当时，取得最大值，当t＝0或﹣1时，最小值为1， 所以，故D正确． 故选：BCD． 10．（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（　　） A．若bcosA＝acosB，则△ABC为等腰三角形 B．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 C．在锐角三角形ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立 D．若，a＝2，且该三角形有两解，则b的范围是 【答案】ACD 【解答】解：A中，由正弦定理可得sinBcosA﹣sinAcosB＝0，可得sin（B﹣A）＝0， 又因为A，B∈（0，π），可得B﹣A＝0，即A＝B，所以该三角形为等腰三角形，所以A正确； B中，由a2+b2＞c2，由余弦定理可得cosC0，可得角C为锐角，但是A，B的大小不定，所以无法判断该三角形的形状，所以B不正确； C中，在锐角三角形中，可得A+B，可得AB＞0，可得sinA＞sin（B）＝cosB，所以C正确； D中，若B，a＝2，要使该三角形有两解，可得asinB＜b＜a，即b＜2，即b∈（，2），所以D正确． 故选：ACD． 11．（多选）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2bsinC．则下列选项中正确的是（　　） A． B．△ABC的面积为 C．若，则 D．的最大值为． 【答案】AC 【解答】解：A：根据题意可知，a＝2bsinC， 根据正弦定理得sinA＝2sinBsinC＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 所以，成立，故A正确； B：，故B错误； C：根据余弦定理得， 所以2sinCcosC＝2sin2C﹣1＝sin2C﹣cos2C，整理得tan2C﹣2tanC﹣1＝0， 因为锐角△ABC，解得，故C正确； D： ，故D错误． 故选：AC． 12．已知△ABC为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：△ABC为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD＝2， 设AD＝x，BC＝2y，则CD＝2x，AB＝3x， 在△ADB中利用余弦定理得，， 在△CDB中利用余弦定理得，， 因∠ADB+∠CDB＝π， 则， 则y2＝3﹣3x2， 因等腰△ABC底边BC上的高为， 则 ， 故当，即，时，S△ABC取最大值． 故答案为：． 13．在△ABC中，，则△ABC的周长的取值范围为 　（2，3]　 ． 【答案】（2，3]． 【解答】解：在△ABC中，， 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3，当且仅当b＝c时取等号， 可得b+c≤2，由三角形的边长的关系可得b+c＞a＝1，即b+c∈（1，2]， 所以三角形的周长a+b+c∈（2，3]． 故答案为：（2，3]． 14．在三棱锥D﹣ABC中，已知AD＝a，CB＝b，DC＝c，AB＝3，AC⊥BD，则的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设， 因为AB＝3，所以， 所以， 又因为AC⊥BD， 所以， 所以， 所以， 所以a2+b2+c2+2（﹣c2）＝9，所以c2＝a2+b2﹣9， 所以，当且仅当a＝b时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若D是边AC上靠近A的三等分点，a＝2，，求△ABC的面积； （3）若△ABC为锐角三角形，且，求2a﹣c的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）（0，3）． 【解答】解：（1）∵， 由正弦定理可得， ∴， ∴，又∵0＜C＜π，∴sinC≠0， ∴，又∵0＜B＜π，∴， ∴，故； （2）∵D是边AC上靠近A的三等分点， ∴， ∴， 又∵a＝2，，， ∴，化简得， 即c2+c﹣2＝0，解得c＝1或c＝﹣2（舍去）， ∴； （3）由正弦定理可得， ∴a＝2sinA，c＝2sinC， ∴ ， ∵△ABC为锐角三角形，∴，解得， ∴，∴， ∴，∴2a﹣c的取值范围（0，3）． 16．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC． （Ⅰ）求角C大小； （Ⅱ）当c＝1时，求ab的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，化简tanC， 可得， ∴sinC， ∵C为锐角，∴C＝30°． （Ⅱ）由正弦定理，得， ∴a＝2sinA，b＝2sinB＝2sin（A+30°）， ， 由， 可得：60°＜A＜90°， ∴60°＜2A﹣60°＜120°∴． ∴． 17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）由正弦定理及，得sinAcosCsinAcosC﹣sinB﹣sinC＝0， 即， 所以sinAcosCsinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，即sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0， 因为C∈（0，π），所以sinC＞0， 所以sinA﹣cosA＝1，即， 又A∈（0，π），所以． （2）由正弦定理得，， 所以，， 所以 sinB（sinBcosB）（2sin2B+2sinBcosB）（1﹣cos2Bsin2B）， 因为，所以， 所以2B∈（，），sin（2B）∈（，1]， 所以， 故△ABC面积的取值范围是． 18．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）因为， 所以由正弦定理得：， 在△ABC中，因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， 代入上式化简得：sinC＝0， 因为sinC≠0，所以，即， 因为A为锐角，所以； （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为△ABC是锐角三角形，所以， 解得，所以， 即，所以， 所以， 所以△ABC周长的取值范围为． 19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若△ABC边BC上的中线AD的长度为，求△ABC面积的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在△ABC中，sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA， 代入整理得， 又∵A，C∈（0，π），sinC≠0，∴， ∴，解得， ∵，∴，解得； （2）∵D是BC中点，∴， 两边平方得， ∴，即b2+c2+bc＝24， 又由均值不等式可得b2+c2+bc≥2bc+bc＝3bc， 当且仅当时等号成立，∴bc≤8， ∴，即△ABC面积的最大值为． 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $