精品解析：2026年河南扶沟县曹里乡初级中学等校中招考试模拟试卷 数学(二)

名校之约——2026河南省中招考试模拟试卷 数学（二） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ） A. 吐鲁番盆地米 B. 新疆天山1815米 C. 珠穆朗玛峰8848米 D. 玉龙雪山5596米 2. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 6. “绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、、、为上的点，四边形是菱形，则的度数是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角为90o．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A. 甲车在立交桥上共行驶9s B. 从F口出比从G口出多行驶40m C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为120m 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一次函数（k为常数）的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是_________（写出一个即可）． 12. 不等式组的解集是________． 13. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 14. 在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是_________. 15. 如图，已知在中，，，点在边上（点与点，不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点．当是等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 C 8 2.01 根据上述信息，解答下列问题： （1）_____，_____； （2）求C款机器人的运动能力测试成绩p； （3）通过比较方差，判断测试员对_____（选填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （4）按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，以为边向右作正方形，边，分别与y轴交于点E，F，反比例函数的图像L经过点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）直线，，与L交点的横坐标分别为，，，用“”将它们连接：_____； （3）若点P在L上，且，求点P的坐标． 19. 如图，四边形中，点E在边上，且． （1）实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：． 20. 一家餐厅需要购买若干箱苹果和芒果．餐厅经理三次到水果市场购买这两种水果，其中一次购买时，遇到市场打折销售（对苹果和芒果的折扣是相同的），其余两次均按标价购买．三次购买的数量和费用如下表： 苹果/箱 芒果/箱 总费用/元 第一次 7 5 460 第二次 7 7 448 第三次 5 7 500 （1）经理是第几次购买时，遇到市场打折销售的？（写出判断的过程） （2）求出每箱苹果和芒果的标价分别是多少？ （3）现在市场正在按上次的折扣进行促销，餐厅决定从该市场一次性再购买苹果和芒果共30箱，且总费用不能超过800元，那么至少需要购买多少箱苹果？ 21. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车按逆时针方向，每秒钟转，筒车与水面分别交于A，B．，筒车的轴心O 距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P刚浮出水面时开始计算时间． （1）求筒车的半径； （2）若接水槽 所在直线是的切线，且与直线交于点M．，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据，） 22. 如图1所示发石车是古代的一种远程攻击武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与 x轴平行，点B与 y轴的距离为18米，与x轴的距离为3米． （1）若发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C），求a的取值范围． 23. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则___________，的值为___________． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校之约——2026河南省中招考试模拟试卷 数学（二） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ） A. 吐鲁番盆地米 B. 新疆天山1815米 C. 珠穆朗玛峰8848米 D. 玉龙雪山5596米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴其中最低的是吐鲁番盆地． 故选：A． 2. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 3. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 4. 关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 5. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解题的关键是通分运算．先将 看作整体通分，再进行加减运算，最后约分化简即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 6. “绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 作，可得，由平行线的性质得，则此题可解． 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，点、、、为上的点，四边形是菱形，则的度数是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得∠ACB=∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠D，再由圆内接四边形对角互补可得∠D+∠C=180°，进而可得答案． 【详解】∵四边形AOBC是菱形， ∴∠ACB=∠AOB， ∵∠AOB=2∠D，∠D+∠C=180°， ∴∠ADB=60°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，以及菱形的性质和圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所标元素能组成“”（一氧化碳）的有种， 所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率为， 故选：D． 9. 已知抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设A、B两点的横坐标分别为，，利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形，用的关系式表示出，从而求出的值． 【详解】解：设A、B两点的横坐标分别为，， 当时，得方程， 判别式， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 10. 如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角为90o．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A. 甲车在立交桥上共行驶9s B. 从F口出比从G口出多行驶40m C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为120m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意、结合图象问题可得． 【详解】解：由图象可知，甲车驶出立交桥时，一共行驶的时间为3+2+3＝8（s），故选项A不合题意； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为4s，则走40m，故选项B符合题意； 甲车先驶出立交桥，乙车后驶出立交桥，所以甲车从G口出，乙车从F口出，故选项C不合题意； 图中立交桥总长为：3×3×10+3×2×10＝150（m），故选项D不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意、数形结合是解决问题的关键 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一次函数（k为常数）的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是_________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】由一次函数图象经过第一、二、三象限，可知，，在范围内确定的值即可． 【详解】解：∵一次函数（是常数，）的图象经过第一、二、三象限， ∴，， ∴可以取1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 14. 在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是_________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，可利用直角三角形的性质求解出∠AOB，再运用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】如图，在△OAE中，OA=2，OE=1，∠OEA=90°， ∴∠OAE=30°，∠COA=∠OAE=30°， 同理可得∠DOB=30°， ∴∠AOB=90°-30°-30°=30°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积计算，熟练根据直角三角形的性质求解出圆心角是解题关键． 15. 如图，已知在中，，，点在边上（点与点，不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点．当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由“一线三等角”模型容易证明，由平行可判定，因此，故只需分析是等腰三角形的可能情况．分类讨论，当时，存在这样的点，则；当时，通过可计算出；当时，点与点重合，不符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴也是等腰三角形， ①当时，如图， ∵， ∴； ②当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，此时点与点重合，不符合题意； 综上所述，的长或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 C 8 2.01 根据上述信息，解答下列问题： （1）_____，_____； （2）求C款机器人的运动能力测试成绩p； （3）通过比较方差，判断测试员对_____（选填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （4）按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】（1）9；8 （2）p为83分 （3）测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高 （4）综合成绩最高的是B款机器人 【解析】 【分析】（1）把A款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）列式计算加权平均数可得C款机器人的运动能力测试成绩p为83分； （3）由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （4）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴C款机器人的运动能力测试成绩p为83分； 【小问3详解】 解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 【小问4详解】 解：∵A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，以为边向右作正方形，边，分别与y轴交于点E，F，反比例函数的图像L经过点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）直线，，与L交点的横坐标分别为，，，用“”将它们连接：_____； （3）若点P在L上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，正方形的性质，以及有理数的大小比较． （1）根据正方形的性质，求出点的坐标，再利用待定系数法从而即可求出反比例函数的表达式； （2）分别把，，代入到反比例函数求出，，，然后按照实数的大小比较即可． （3）设，则根据题意可得，求出的值即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：， ，且轴， 四边形为正方形， 轴，且， 反比例函数的图象经过点， ， 解得， 即反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）知反比例函数L的解析式为：． 把代入，得出， 把代入，得出， 把代入，得出 ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 根据题意，得，， 设，则，解得， 当时，， 此时， 当时，，此时， 综上可知，在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点P的坐标为或． 19. 如图，四边形中，点E在边上，且． （1）实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：平分， ， 又，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）由角平分线的性质得到，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 一家餐厅需要购买若干箱苹果和芒果．餐厅经理三次到水果市场购买这两种水果，其中一次购买时，遇到市场打折销售（对苹果和芒果的折扣是相同的），其余两次均按标价购买．三次购买的数量和费用如下表： 苹果/箱 芒果/箱 总费用/元 第一次 7 5 460 第二次 7 7 448 第三次 5 7 500 （1）经理是第几次购买时，遇到市场打折销售的？（写出判断的过程） （2）求出每箱苹果和芒果的标价分别是多少？ （3）现在市场正在按上次的折扣进行促销，餐厅决定从该市场一次性再购买苹果和芒果共30箱，且总费用不能超过800元，那么至少需要购买多少箱苹果？ 【答案】（1）第二次 （2）每箱苹果30元，每箱芒果50元 （3）至少需要购买25箱苹果 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据三次购买的数量及总费用，找出哪次购买时实市场打折销售；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）观察三次购买的数量及总费用，可得出：第二次购买的数量最多，且总费用最少，进而可得出经理第二次购买时遇到市场打折销售的； （2）设每箱苹果元，每箱芒果元，根据总费用单价购买数量，结合第一、三两次购买的数量及总费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用折扣率打折后的总费用打折前的总费用，可求出该市场促销的折扣率，利用总费用单价购买数量，结合总费用不能超过800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：第二次购买的数量最多，且总费用最少， ∴经理第二次购买时，遇到市场打折销售的． 【小问2详解】 设每箱苹果标价元，每箱芒果标价元， 依题意得：， 解得：， 答：每箱苹果30元，每箱芒果50元； 【小问3详解】 该市场促销的折扣为． 设购买箱苹果，则购买箱芒果， 依题意得：， 解得：， 又∵为整数， ∴可以取的最小值为25， ∴至少需要购买25箱苹果． 21. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车按逆时针方向，每秒钟转，筒车与水面分别交于A，B．，筒车的轴心O 距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P刚浮出水面时开始计算时间． （1）求筒车的半径； （2）若接水槽 所在直线是的切线，且与直线交于点M．，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据，） 【答案】（1）筒车的半径为； （2）盛水筒从最高点开始，至少经过6秒恰好在直线上． 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出的长，即的半径． （2）延长交于点H，则H为最高点．由P点在上，与相切，可得点P是切点．在中，求出，则可得．在中，求出，则可得，从而可得，进而可求得盛水筒P从最高点开始到恰好在直线上经过的时间． 【小问1详解】 解：如图，连接，设的半径为r． ，， ， 在中，， ∴筒车的半径为． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H，则H为最高点． ∵点P在上，且与相切， ∴当P在上，点P是切点，连接，则． 在中，， ． 在中，， ， ． ∴需要的时间为（秒）． 22. 如图1所示发石车是古代的一种远程攻击武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与 x轴平行，点B与 y轴的距离为18米，与x轴的距离为3米． （1）若发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C），求a的取值范围． 【答案】（1）①；②石块不能飞越防御墙 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）①由题意可得抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式计算即可得解；②求出当时，的值，与比较即可得解； （2）将代入解析式得出，从而推出抛物线的解析式为，分别计算出当石块恰好落在点上时，当石块恰好落在点时，的值即可得解． 【小问1详解】 解：①∵发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ∴抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②在中，当时，， ∵， ∴石块不能飞越防御墙； 【小问2详解】 解：将代入解析式可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当石块恰好落在点上时，将代入可得， 解得， 当石块恰好落在点时，将代入可得， 解得， ∵抛物线开口向下，，要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C）， ∴的取值范围为． 23. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则___________，的值为___________． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ． 综上可得，的面积为24或48． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $