精品解析：江苏盐城市学海路初级中学初二数学作业（2026.3）2025-2026学年下学期

初二数学作业 一、选择题： 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大4倍 C. 扩大8倍 D. 缩小为原来的 7. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被6整除 二、填空题： 9. 分式有意义条件是_____________________. 10. 因式分解：______． 11. 分式，的最简公分母是______． 12. 已知，，则的值为______． 13. 已知，则分式的值等于__________． 14. 已知一直角三角形两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的面积为______． 15. 若分式方程有增根，则m的值为______． 16. 定义，即当时，；当时，，则_____． 三、解答题： 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题： ⑴根据题意，填写下表： 车间 零件总个数 平均每小时生产零件个数 所用时间 甲车间 600 x 乙车间 900 ________ ⑵甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？ 23. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 24. 【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，计算：______；______． （2）【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； （3）【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 25. 请同学们根据以下表格中素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次． 问题解决 （1）求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ （2）“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． （3）现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的k倍． ①若k为整数，求整数x的值． ②k的取值范围_______． 26. 综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】步骤一：分解因式； 步骤二：取，，则有，，，其中13，17，11分别为因式码； 步骤三：将这三个因式码按从小到大顺序排列，形成密码111317． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推． （1）【理解】①已知多项式，当取，时，则生成的密码是_______． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是______． （2）【拓展】①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为04，08，则第三个因式码为_______． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是050517，请写出满足条件的x和y，并说明理由． （3）【提升】小亮在整理书架时发现，某本书的总页码数是一个完全平方数．若从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页数仍然是一个完全平方数．已知这本书的总页码数大于100，且小于1000，求这本书的总页码数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学作业 一、选择题： 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，只有式子是分式． 2. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 3. 若二次根式有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大于等于0． 4. 下列分式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意； B．，故变形错误，不符合题意； C．，故变形正确，符合题意； D．，故变形错误，不符合题意． 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 6. 把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大4倍 C. 扩大8倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大后的x、y代入原分式，根据分式的基本性质化简，再和原分式对比即可得到结果． 【详解】解：将、都扩大为原来的倍后，变为，变为，代入原分式得， 新分式， ∴新分式的值和原分式的值相等，即分式的值不变． 故选：A． 7. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 8. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解：， 的值总能被4整除， 因此的值总能被4整除， 故选A． 二、填空题： 9. 分式有意义的条件是_____________________. 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解. 【详解】根据题意得：x﹣3≠0， 解得：x≠3. 故答案为：x≠3. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键. 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式，可发现多项式符合平方差公式的形式，直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 11. 分式，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积即可得到结果． 【详解】解：确定最简公分母时，先求各分母系数的最小公倍数，两个分式分母的系数分别为和，最小公倍数为，再找各字母因式的最高次幂，的最高次幂是，的最高次幂是， 因此分式，的最简公分母是． 12. 已知，，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 13. 已知，则分式的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式求值，掌握分式的运算是解题的关键．根据，得，将其代入进行化简约分即可求解． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 14. 已知一直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，三角形的面积公式，根据直角三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个直角三角形的面积为 故答案为：． 15. 若分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母为确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m的值. 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴， 当时，， 当时，， 解得， ∴m的值为2或， 故答案为：2或． 16. 定义，即当时，；当时，，则_____． 【答案】 2027 【解析】 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 三、解答题： 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提取公因式分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：         ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 经检验是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， ， ， 经检验是增根， 所以原分式方程无解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 22. 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题： ⑴根据题意，填写下表： 车间 零件总个数 平均每小时生产零件个数 所用时间 甲车间 600 x 乙车间 900 ________ ⑵甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？ 【答案】解：（1） ，； （2）根据题意，得， 解得 经检验是原方程的解，且都符合题意． 答：甲车间每小时生产60个零件，乙车间每小时生产90个零件． 【解析】 【详解】（1）根据“甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用的时间相等”，可得出数量间的相等关系式：甲车间生产的零件个数600：甲车间平均每小时生产的个数=乙车间生产的零件个数900：乙车间平均每小时生产的个数；再根据“乙车间比甲车间平均每小时多生产30个”，设甲车间平均每小时生产x个零件，那么乙车间平均每小时就生产（x+30）个零件；乙车间所用的时间就为；据此进行填写统计表； （2）要求甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件，先根据等量关系式列出方程并解方程即可求得． 23. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 【小问1详解】 解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 第六个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：猜想第个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立； 故答案为：． 24. 【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，计算：______；______． （2）【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； （3）【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 【答案】（1）； （2）满足，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算先分别计算和，再计算和，然后比较计算结果，即可得出结论； （3）根据新定义的运算先计算，再计算，再根据已知得出，，然后根据完全平方公式求出，再待入原式的最简结果计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ， ； 【小问2详解】 解：满足，理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即对正实数a，b，c，运算“⊕”满足结合律； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴原式． 25. 请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次． 问题解决 （1）求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ （2）“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域平均单位面积人流量更高？并说明理由． （3）现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的k倍． ①若k为整数，求整数x的值． ②k的取值范围_______． 【答案】（1）甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖4件产品； （2）“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖件产品，根据甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟建立方程求解即可； （2）分别求出两个区域的平均单位面积人流量，再利用作差法比较大小即可； （3）①求出扩建前后该区域的面积，则可用含x的式子表示出k，再根据k和x都为整数求解即可；②根据（3）①所求，结合x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖4件产品； 【小问2详解】 解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由如下： “盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区” 的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为，则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； 【小问3详解】 解：①由题意得，原来的面积为， 扩建后的面积为， ∵扩建后的面积是原来面积的k倍， ∴ ， ∵， ∴， ∵k为整数， ∴或或或或或， 解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】步骤一：分解因式； 步骤二：取，，则有，，，其中13，17，11分别为因式码； 步骤三：将这三个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码111317． 【注意】字母取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推． （1）【理解】①已知多项式，当取，时，则生成的密码是_______． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是______． （2）【拓展】①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为04，08，则第三个因式码为_______． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是050517，请写出满足条件的x和y，并说明理由． （3）【提升】小亮在整理书架时发现，某本书的总页码数是一个完全平方数．若从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页数仍然是一个完全平方数．已知这本书的总页码数大于100，且小于1000，求这本书的总页码数． 【答案】（1）①1131；② （2）①40；②，理由见解析 （3）324 【解析】 【分析】（1）①利用平方差公式分解因式，再根据a、b的值求出和的值即可得到答案；②先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式，再根据x的值求出三个因式的值即可得到答案； （2）①利用平方差公式分解因式，根据因式赋值生成正整数或0的因式码，得到，都是非负整数，进而得到是非负整数，是整数， 是非负整数，是非负整数；可证明x为整数，y为整数；可证明当时，不符合题意；可证明当时，存在两种情况：当时，满足，此时；当时，满足，此时；当且时，则或，解方程组即可得到答案； （3）设总页码数为，从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页码数为（a、b为正整数），由题意得，可证明都是正整数，则或或，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：①， 当取，时，， ∴生成的密码是1131； ② ， 当时，， ∴生成的密码是； 【小问2详解】 解： ， ∵因式赋值生成正整数或0的因式码， ∴，都非负整数， ∴是非负整数，是整数， 是非负整数， ∴是非负整数 当x不是整数时，设（t为整数）， ∴， ∵t为整数， ∴为整数， ∴一定不是整数，这与是非负整数矛盾， ∴x为整数， ∴同理：y为整数； 当时，当时，，则， 此时，不满足有因式码为08，不符合题意； 当时，，则，， 此时，不满足有因式码为08，不符合题意； 当时，只存在这种情况， 此时，，则或或或， 或或或， ∴当时，满足，此时，此时密码为000408，不符合题意； 当时，满足，此时，此时密码为000408，不符合题意； 当且时， 则或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴第三个因式码为40； 综上所述，第三个因式码为40； ②，理由如下： ， ∵当取x，y某一组值时，生成的密码是050517， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设总页码数为，从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页码数为（a、b为正整数）， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数，且， ∴都是正整数， ∵， ∴或或， 解得或或， ∵这本书的总页码数大于100，且小于1000， ∴， ∵， ∴只有符合题意， ∴这本书的总页码数为324． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $