江苏南京田家炳高级中学2025-2026高一下学期数学周测试卷（2）

高一下学期数学周测试卷（2） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1．（    ） A． B． C． D． 2．下列关于平面向量的共线关系说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若，则 D．已知平面内有四点，若，且三点共线，则 3．已知两个单位向量，互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．3 4．，，（   ） A． B． C． D． 5．设，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 7．若，，并且、均为锐角且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在非直角中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不单调 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知，则的值为___________． 13．已知，则________. 14．在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共 4 小题，共 57 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）设． (1)若，求实数的值； (2)若，且，与的夹角为，求实数的值． 16．（本题13分）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 17．（本题15分）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 18．（本题16分）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： 据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高一下学期数学周测试卷（2）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D D C C C ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】． 2．D 【分析】选项A，利用和任意向量都平行求解；选项B，利用和任意向量都平行求解；选项C，将已知等式平方，通过计算得到，得到与同向，从而得到结论；选项D， 由三点共线得到，利用平面向量的基本定理得到，通过计算得到，结合已知得到与的等式，通过计算得到，从而得到结论. 【详解】选项A，当时，满足，但是不一定平行，故选项A错误； 选项B，当时，满足，但是不存在唯一的实数，使，故选项B错误； 选项C，，， ， ， ，，同向，不等价于，故选项C错误； 选项D， 三点共线，， ，， ，， ， ， ，，， ，故选项D正确. 3．A 【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】依题意得， 则. 4．D 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：D. 5．D 【分析】根据和差的正弦公式和正切公式以及正弦函数的单调性对进行比较即可. 【详解】， ， 又，且函数在上单调递增， 所以，故. . 故选：D. 6．C 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 7．C 【分析】由同角关系，以及，利用两角差的余弦公式求角． 【详解】，，， ，， ， ，， ， ， ． 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 9．ACD 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，结合基本关系式和正弦和余弦的倍角公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，所以B不正确； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由，所以D正确. 10．BCD 【分析】根据给定条件，举例说明判断A；利用和差角的三角函数计算判断BCD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，而，得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】化简解析式，结合零点个数可得的范围，结合图象可判断B,C选项，根据正弦函数的单调性可判断D选项. 【详解】，令， 当时，， 因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，A正确. 令，可得，当时，， 由可知，当时，， 由可得或，即有两个解， 当时，， 由可得或或，即有三个解， B不正确. 令，可得，当时，， 如图，由可知，， 由可得或，即有两个解，C正确. 当时，， 因为， ，， 由于，所以在上不单调，D正确. 12． 【分析】两边平方，利用同角三角函数的平方关系，求出的值，结合的符号，进而确定的符号和值，再结合二倍角余弦公式即得. 【详解】展开得，即， 因为 且， 所以，即 ，故， 因此， 因为，所以， 13． 【分析】利用辅助角公式整理原式，再将所求角转化为已知角的形式，最后结合诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】根据题意得. 由已知得，即， 故 . 14． 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可得：，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 16．(1) (2)或 【分析】（1）根据向量垂直则它们的数量积为代入计算； （2）根据向量模的坐标公式列第一个方程，利用向量夹角的数量积公式列第二个方程，联立两个方程求解. 【详解】（1）已知， 计算得：， 由两向量垂直则数量积为0， 得：，解得； （2）已知，根据条件列方程： 由，对模长平方得：①； 由向量夹角公式，时， 代入，得：， 化简得：②； 将②代入①，得，解得，即或； 当时，代入②得； 当时，代入②得； 因此最终解为：或. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 19．(1)或 (2)；证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用换元法结合给定恒等式得到，进而结合正弦函数的性质分类讨论求解即可. （2）先正常猜想结论，再利用诱导公式并结合二倍角公式与三倍角公式得到，进而求出，最后再代入求值即可. （3）对原式合理变形，再利用积化和差公式并结合题意求值即可. 【详解】（1）令，则，得到， 因， 原方程可化为， 由题意得， 可得，即， 则，或， ① 当时，解得， 因，当时，；当时，. ② 当时，此时被消去，不合题意. 综上可得，方程的解为或. （2）猜想：， 先证明三倍角公式， 由题意得 ， 则得（*）， 证明：由诱导公式可得， 设，可得，则，可得， 将（*）代入可得， 整理得， 因为，所以， 可得，解得（负根舍去），即， 则， 故. （3）设， 则， 由积化和差公式变形可得： ， 则 ， 则， 因为，所以，此时， 故，即原命题得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $