江苏南京田家炳高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测试卷（1）

高一下学期数学周测试卷（1） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则等于 （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，，，若，，则(    ) A. B. C. D. 7．已知向量，满足，， 则（　　） A．3 B． C．7 D． 8．在平面四边形中，，若点为边上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知是边长为4的等边三角形.则下列说法正确的是(    ) A. B. 若边BC上的高为AD，则 C. 若，则 D. 在方向上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任意向量，，若且与同向，则 B. 若向量，且，则三点共线 C. 若，则与的夹角是锐角 D. 已知|，为单位向量，且，则在上的投影向量为 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量，，若//，则k＝____． 13.已知单位向量，满足，则与的夹角为_________. 14.已知向量满足，则的最小值是_______，最大值是______． 四、解答题：本题共 4 小题，共 57 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本题13分）在中，，，，D为边BC上的一点，且 记，，请用，为基底表示； 求线段AD的长度． 16. （本题13分）已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 17．（本题15分）已知两个向量 (1)求以及与垂直的单位向量； (2)当实数取何值时，向量与方向相反？ (3)若（其中，求的最小值. 18. （本题16分）如图，在边长为4正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. （1）求的值； （2）试问：当为何值时，? （3）求证： 高一下学期数学周测试卷（1） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算求得正确结论. 【详解】 .故选：C. 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 3. 已知，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式化简后即可求值． 【详解】＝-sin[]＝ 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题． 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】解：因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则 .故选：A. 6. 如图所示，在中，，，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 本题考查向量的加法、减法、数乘运算利用即可求出结果． 【解答】 解：，， ，， ． 故选B． 7．已知向量，满足，， 则（　　） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用公式，求出，再利用求值. 【详解】 因为， 把代入，解得. 所以. 故答案为：. 8．在平面四边形中，，若点为边上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系求解作答. 【解析】因，则以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 过点C作于G，作于F，因，则， 即，于是有，，则， 而，则有，设， ，，当时，， 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知是边长为4的等边三角形.则下列说法正确的是(    ) A. B. 若边BC上的高为AD，则 C. 若，则 D. 在方向上的投影向量为 【答案】 ABD  【解析】 【分析】 本题考查平面向量线性运算、数量积运算、投影向量的概念，属于中档题． 根据平面向量线性运算、数量积运算以及投影向量的定义对各选项逐一分析，即可得到答案． 【解答】 解：是边长为的等边三角形， 选项：，所以A正确 选项：因为为边上的高，所以为的中点，所以，所以B正确 选项：若， 则，所以C错误 选项：根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为，所以D正确． 故选ABD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任意向量，，若且与同向，则 B. 若向量，且，则三点共线 C. 若，则与的夹角是锐角 D. 已知|，为单位向量，且，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A，C，利用向量共线定理判断B，利用投影向量的定义判断D即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误， 对于B，向量且时，由向量共线定理的推论，知三点共线，故B正确， 对于C，当同向共线时，，此时夹角不是锐角，故C错误， 对于D，由题意得，由投影向量定义得投影向量为，故D正确. 故选：BD 11. （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性求出的值，代值计算可判断C选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，由可得， 所以函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则为偶函数，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量，，若//，则k＝____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算向量和的坐标，再根据向量平行的坐标关系列出方程，解方程求出k的值. 【详解】由题得，，， 因为//， 所以，解得， 故答案为：． 13.已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件可得，进而得到，结合向量夹角公式可得结果. 【详解】由，得，所以，即， 所以，由，得， 故选：C. 14.已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：， ，则： ， 令，则， 据此可得：， 即的最小值是4，最大值是． 【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求． 四、解答题：本题共 4 小题，共 57 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本题13分）在中，，，，D为边BC上的一点，且 记，，请用，为基底表示； 求线段AD的长度． 【答案】 解：是边上一点，，， 又，，， ； 由知，， 则线段的长度为 ．  【解析】本题考查向量的数量积、向量的加减法以及数乘运算，属于中档题． 根据题意得，由向量的减法法则得，从而可得； 利用，线段的长度为即可得结果． 16. （本题13分）已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简，判断，结合计算，即可得答案. （2）判断，求出其值，化简为，代入求值即可. 【小问1详解】 由于，且， 故，且， 则； 【小问2详解】 由于， 因为，故，则， 所以. 17．（本题15分）已知两个向量 (1)求以及与垂直的单位向量； (2)当实数取何值时，向量与方向相反？ (3)若（其中，求的最小值. 【答案】(1)，或； (2)； (3)； 【解析】 【分析】 （1）由模长公式求解，设所求向量坐标为，再由垂直与单位向量的定义列方程组求解；（2）由向量共线列式求解，再将所求值代入验证是否为相反方向；（3）利用模长公式表示出，再由二次函数的性质求解最小值. (1) 由模长公式，，， 设该单位向量的坐标为，则， 得或， 所以与垂直的单位向量为或. (2) ，， 当向量与共线时， ，解得或， 当时，与同向，不合题意； 当时，与反向，符合题意； 所以. (3) ， ， 由二次函数的性质，， 所以恒成立， 当时，取最小值， 所以的最小值为. 18. （本题16分）如图，在边长为4正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. （1）求的值； （2）试问：当为何值时，? （3）求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到，两边平方后即可求得结果；（2）将向量表示为，进而由得到，数量积运算求解即可；（3）分别计算和的值，证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 得：， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，即，解得， 故当时，； 【小问3详解】 ， ， ， ， 因为，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $