专题04 两角和与差的正弦、余弦与正切九种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题04 两角和与差的正弦、余弦与正切九种考法 一、方法讲解 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、拆分角问题： ①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． ①两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． ②运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 3、给角求值： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 4、给值求值： 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 5、给值求角： 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 6、两角和与差的三角函数公式的注意点 ①两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． ②运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 二、重难点例题及变式 类型一、两角和与差的三角函数公式 例．（1）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. （2）（多选）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】是方程的两根，又， 解得， ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，，则，有， ， ，D选项正确. 故选：AD. （3）已知，则 . 【答案】 【解析】由， 可得， 两式平方相加，可得：， 即， 又由，可得，所以，所以 因为，且，所以. 故答案为：. 【变式训练1】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【变式训练2】已知，则 . 【答案】/ 【解析】由，所以， 所以，所以，即， 因为，，所以， 即，联立得. 故答案为：. 【变式训练3】设，，则 ． 【答案】1 【解析】由， ， ，得， 所以， 故． 故答案为：1 类型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变用 例．（1）计算：＝ . 【答案】 【解析】由题意． 故答案为：． （2） ． 【答案】 【解析】因为， 故答案为：. （3）函数，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，两边同时平方得①； ，两边同时平方得②， ①+②得， 即，故， 故答案为：. 【变式训练1】 【答案】 【解析】因为 所以， 所以 故答案为：. 【变式训练2】已知，满足，则 ． 【答案】 【解析】因为， 即，整理得，即， 所以． 故答案为：． 【变式训练3】已知，，则 . 【答案】 【解析】已知 ①， ②， 则得：， 即， 所以， 整理得， 所以． 故答案为： 类型三、利用角的拆分求值 例．（1）已知，均为锐角，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，均为锐角，即，所以，， 又，， 所以，， 所以 ， 故选：B. （2）已知，则 . 【答案】/ 【解析】由，得 ， ， 所以， 所以， 故答案为： 【变式训练1】已知，，，则 ． 【答案】 【解析】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 【变式训练2】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 得， 故选：A. 类型四、给角求值 例．等于（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 . 故选：C 【变式训练1】（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 故选：D 【变式训练2】（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .   故选：C. 类型五、给值求值 例．（1）已知，则 ． 【答案】 【解析】由题意，，且，故. 故 . 故，. 故答案为： （2）已知且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B 【变式训练1】已知，则的值是 . 【答案】/ 【解析】因为 ， 所以，则. 故答案为：. 【变式训练2】若，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，且， 则，可得，， 又因为，则，且， 可得，， 所以 . 故选：D. 类型六、给值求角 例．（1）已知为钝角，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于为钝角，且， 所以， 且， 所以， 所以， 故选：D. （2）若，，，，则 . 【答案】 【解析】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 故答案为： （3）已知，，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 【变式训练1】已知为锐角，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为， ， 又， 所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故答案为：. 【变式训练2】已知，，，，则 . 【答案】/ 【解析】因为，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为： 类型七、辅助角公式的高级应用 例．（1）设当时，函数取得最大值，则 ． 【答案】 【解析】依题意，函数， 其中锐角满足，当时，， 因此， 所以. 故答案为： （2）如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________． 【答案】     4     【解析】由题意得：, 所以，又因为且,则， 所以， 则， 当即当时，能取得最小值，最小值为4; 又因为，所以 所以在中， 周长 ，令，则， 所以， 当时，上式取得最小值，最小值为. 故答案为：4， 【变式训练1】设，，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，即 又，，所以， 则可得，则故. 故答案为：. 【变式训练2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．2π是的一个周期 B．方程有无穷多解 C．是偶函数 D．在上是增函数 【答案】AC 【解析】因为，所以2π是的一个周期，故A正确； ，所以是偶函数，故C正确； , 由可知方程无解，故B错误； 因为时，，因为，故函数在，在单调递减，故D错误. 故选：AC. 类型八、两角和与差公式的证明与化简 例．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 【变式训练1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有 ①， ②， 由得 ③． 令，，则，，代入③得． (1)利用上述结论，试求的值； (2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）； （2）证明：根据两角和与差的余弦公式，有 ①， ②， 由得 ③． 令，，则，，代入③得． 【变式训练2】若，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 又， 所以即， 所以， 所以即， 又，所以， 所以，所以， 所以即， 又易知，所以，即， 故选：A 类型九、与其他章节的融合 例．已知向量，函数，且函数的图象经过点. （1）求的解析式及最小正周期； （2）若，求的值. 【答案】（1），最小正周期为π；（2）. 【解析】（1）因为，且 所以. 由题意可知，的图象经过点，故，即，所以， 又，所以. 所以，的最小正周期为π. （2）由可得，即， 所以， 又， 所以. 【变式训练1】（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 【变式训练2】已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是偶函数， 所以，即， ，解得，， 则 ， 则， 向左平移个单位长度后，得到， 向上平移个单位长度，得到， 当时，， 结合正弦函数对称性易知， 在有两个不相等实根，则且， 此时，实数的取值范围是， 故选：C. 三、能力测试练 1．已知，，且，均为锐角，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为、均为锐角，所以，所以． 由，得，，． 所以 . 故选：A. 2．设，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 因为，所以， 所以，则． 故选：B. 3．当时，取最小值，则的值（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 其中，， 又当时，取最小值， 则，且， 所以 故选：A. 4．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 即， 即， 两边同除可得， 所以. 故选：C 5．（多选）若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于AC，，； ， ，A错误； ，C正确； 对于BD，，， 即， ， ， ，B正确，D错误. 故选：BC. 6.（多选）已知函数，.若存在，使得对任意，，则（  ） A．任意 B．任意 C．存在，使得在上有且仅有2个零点 D．存在，使得在上单调递减 【答案】BD 【解析】由题意，函数，其中， 因为对任意，，即是函数的最小值点， 所以函数关于对称，所以，所以A不正确； 由函数的最小正周期为，所以为函数的最大值点，所以，所以B正确； 因为，且是函数的最小值点，可得， 所以在区间上，此时， 故不存在，使得在上有且仅有2个零点，所以C错误； 取，则在内，单调递减且，所以单调递减，所以D正确. 故选：BD. 7.若，且，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， ，所以，所以， 所以，， 所以， 因为，，则， ，，所以 所以 ， 所以. 故答案为：. 8．已知，，其中，，则 . 【答案】 【解析】因为，，得， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，，得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 9．设，. (1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围； (2)若且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由，可得，， 所以 记，因，可得，因函数在上单调递减，故，则， 故的取值范围是. （2），且， 则：，即得：， 又由，整理得：， 故. 10．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：． 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为． 则，由向量数量积的坐标表示，有． 设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，于是． 所以，也有； 所以，对于任意角有：． 此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了． 阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断是否正确？（不需要证明） （2）证明：． 【答案】（1）正确；（2）证明见解析 【解析】（1）因为对于非零向量是方向上的单位向量，又且与共线， 所以正确； （2）因为为的中点，则， 从而在中，， 又 又M是AB的中点 ， 所以，化简得，． 结论得证. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 两角和与差的正弦、余弦与正切九种考法 一、方法讲解 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、拆分角问题： ①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． ①两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． ②运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 3、给角求值： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 4、给值求值： 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 5、给值求角： 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 6、两角和与差的三角函数公式的注意点 ①两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． ②运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 二、重难点例题及变式 类型一、两角和与差的三角函数公式 例．（1）已知，则（  ） A． B． C． D． （2）（多选）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． （3）已知，则 . 【变式训练1】已知，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，则 . 【变式训练3】设，，则 ． 类型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变用 例．（1）计算：＝ . （2） ． （3）函数，，则的值为 . 【变式训练1】 【变式训练2】已知，满足，则 ． 【变式训练3】已知，，则 . 类型三、利用角的拆分求值 例．（1）已知，均为锐角，，，则的值为（  ） A． B． C． D． （2）已知，则 . 【变式训练1】已知，，，则 ． 【变式训练2】已知，，则（  ） A． B． C． D． 类型四、给角求值 例．等于（  ） A． B． C． D．1 【变式训练1】（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（  ） A． B． C． D． 类型五、给值求值 例．（1）已知，则 ． （2）已知且，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，则的值是 . 【变式训练2】若，且，则（  ） A． B． C． D． 类型六、给值求角 例．（1）已知为钝角，且，，则（  ） A． B． C． D． （2）若，，，，则 . （3）已知，，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知为锐角，且，则 . 【变式训练2】已知，，，，则 . 类型七、辅助角公式的高级应用 例．（1）设当时，函数取得最大值，则 ． （2）如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________． 【变式训练1】设，，且，则 . 【变式训练2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．2π是的一个周期 B．方程有无穷多解 C．是偶函数 D．在上是增函数 类型八、两角和与差公式的证明与化简 例．（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有 ①， ②， 由得 ③． 令，，则，，代入③得． (1)利用上述结论，试求的值； (2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：． 【变式训练2】若，则（  ） A．2 B． C．1 D． 类型九、与其他章节的融合 例．已知向量，函数，且函数的图象经过点. （1）求的解析式及最小正周期； （2）若，求的值. 【变式训练1】（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 三、能力测试练 1．已知，，且，均为锐角，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．设，且，则（  ） A． B． C． D． 3．当时，取最小值，则的值（  ） A． B． C． D． 4．若，则（  ） A． B． C． D． 5．（多选）若，则（  ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数，.若存在，使得对任意，，则（  ） A．任意 B．任意 C．存在，使得在上有且仅有2个零点 D．存在，使得在上单调递减 7.若，且，，则 . 8．已知，，其中，，则 . 9．设，. (1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围； (2)若且，求的值. 10．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：． 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为． 则，由向量数量积的坐标表示，有． 设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，于是． 所以，也有； 所以，对于任意角有：． 此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了． 阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断是否正确？（不需要证明） （2）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$