考向2 新定义问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 考向二 新 1.若A,B,C均为整式，且A·B=C,则称A 能整除C.例如：由(x十3)(x一2)=x2十x 6,可知x一2能整除x2十x一6.若x一3能 整除x2十kx一7，则k的值为 () A R号 c u号 a-6(a>b), a 2.定义运算“※”：a※b 若5※ b (a<b). b-a x=2,则x的值为 3.(2025·杭州萧山期中)定义一种新的运算： a☆b=2a一b.例如：3☆（一1）=2×3 (-1)=7. (1)若(-2)☆b=一16，则b= (2)若a☆b=0,且关于x,y的二元一次方 程(a-1)x+by+6-2a=0,当a,b取不同 值时，方程都有一个公共解，则公共解为 4.定义：若A一B=1,则称A与B是关于1的 “单位数” (1)3与 是关于1的“单位数”，x一3 与 是关于1的“单位数”（第二个空 填一个含x的代数式). (2)若A=3x(c+2)-1,B=2(3x2+3x 1,试判断A与B是不是关于1的“单位 数”，并说明理由 142 拍照批改 定义问题 “答案与解析”见P55 5.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数 的值互为相反数，那么我们称这个方程组为 “关联方程组”. x-2y=5, (1)请判断方程组 是否为“关联 2x-y=5 方程组”，并说明理由， |2x+3y=4+a, (2)如果关于x,y的方程组 \x-y=2a 是“关联方程组”，求a的值 6.记Qa)=-2,Q2)=(-2)X(-2),Qa= (-2)X(-2)X(一2)，…，Qm)= (一2)×（一2）×…×（一2）（其中n为正整数）. n个(-2)相乘 (1)求Q5)XQ6,的值 (2)求2Q2025,XQ2026,的值. (3)若Q-1DXQ+1D=210,求n的值. 7.“回文”是一种修辞方法，正着读，倒着读，文 字一样，韵味无穷.例如：处处飞花飞处处，潺 潺碧水碧潺潺.数学中的某些等式也有类似 的特点，我们称之为“回文等式”，以下是三个 两位数乘两位数的“回文等式”： 21×24=42×12,31×26=62×13,12×84= 48×21. (1)下列选项中能构成“回文等式”的是 A.18×31与13×81 B.46×32与63×24 C.46×96与69×64 D.22×454与454×22 E.31×286与682×13 (2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的 一般规律，并用所学数学知识加以说明， 期末压轴题特训 8.(2025·北京海淀期中)定义：对于 关于x,y的二元一次方程a.x十 by=c(其中a≠b≠c),若将其x的答案讲解 系数a与常数c互换，得到的新方程cx十 by=a称为原方程a.x十by=c的“对称方 程”.例如方程3x十2y=7的“对称方程”为 7x+2y=3. (1)方程2x一3y=一1的“对称方程”为 ,它们组成的方程组的解为 (2)若关于x,y的二元一次方程3x十my= 8与它的“对称方程”组成的方程组的解为 r=m'求m,n的值. (y=n, (3)若关于x,y的二元一次方程ax十by=g 的系数满足a一b十c=0,且与它的“对称方 程”组成的方程组的解恰是关于x,y的二元 一次方程mx十y=力的一个解，直接写出 代数式(m一n)m十p(n一p)+2025的值. 143 拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 9.(2025·杭州萧山期中)小晓在化简整式(x十 2y)2+(2x-y)(2x+y)+x(○x-3y) 2y时，得到的结果是x2+y2+xy,则“○” 表示的数为 (不必计算). 【发现】(1)小晓观察计算结果x2十y2十xy, 发现这个多项式为两数的平方和加上两数的 积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对 称多项式”，例如：a2+b2+ab,4a2+9b2十 6ab,….请你再写出一个“对称多项式”： (用含a,b的代数式表示) 【探究】(2)规定x※y=x2十y2十xy,若x 和y是两个连续的奇数，则x※y称为这个 对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究， 对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如 32+52+3×5-1=48,52+7+5×7-1= 108,试说明原因. 【应用】(3)在(2)的条件下，已知m一n=2, mm=3,求(m+1)※(n一1)的值 144 10.若两个分式M与N的和为常数k, 且k为正整数，则称M与N互为 “和整分式”，常数k称为“和整答案讲解 x+7V=1 值”.如分式M= x+M+N= +11,则M与N互为“和整分式”，“和 x+1 整值”k=1. (1)已知分式A=x-7 x-2’ B= 品州断A与”是杏丝为知 整分式”.若不是，请说明理由；若是，请求出 “和整值”。 ②已知分式C-D= x4C与 D互为“和整分式”，且“和整值”k=3.若x 为正整数，分式D的值为正整数t.求： ①G所代表的代数式. ②x的值， (3)在(2)的条件下，已知分式p=3y-5 y-3, Q="m”一3，且p十Q=t.若该关于y的方 3-y 程无解，求实数m的值.② (第6题) 7.ca. 理由：如图，因为∠2十∠5=∠3十 ∠6=180°，∠2=∠3， 所以∠5=∠6. 因为∠1=∠4， 所以∠1+∠5=∠4+∠6. 所以cad. 4 d (第7题) 8.如图，延长BC,FE交于点P,过点 P作PQ∥AB,交CD于点Q. 因为ABGH, 所以AB//GH//PQ. 所以∠QPF=∠EFH=76°， ∠ABC+∠BPQ=180°. 因为BC⊥EF, 所以∠BPF=90°. 所以∠BPQ=90°一∠QPF=90° 76°=14 所以∠ABC=180°一∠BPQ=180° 14°=166 A B D (第8题) 9.(1)因为AFDE, 所以∠F+∠E=180. 因为∠E=105, 所以∠F=180°-105°=75. (2)115.解析：如图，过点C作 CH∥DE.因为AF∥DE,所以CH∥ AF.因为CH∥DE,∠CDE=105°，所 以∠DCH=∠CDE=105°.因为 CH∥AF,所以∠HCG=∠CGF.因 为∠B=∠GCD+10°，所以∠B= ∠HCG+∠DCH+10°=∠CGF+ 105°+10°=∠CGF+115°.所以 ∠B-∠CGF=115°， (3)当∠ADE+∠CGF=180°时， BC∥AD. 理由：因为AFDE, 所以∠GAD+∠ADE=180°. 因为∠ADE+∠CGF=180°， 所以∠GAD=∠CGF 所以BC∥AD. G H D (第9题) 10.(1)如图①，过点C作CP∥DE, 过点B作BH∥FG 所以∠PCD=180°-∠EDC=60°. 所以∠PCB=∠DCB-∠PCD= 60°. 因为DEFG, 所以PC∥FG. 又因为BH∥FG, 所以PC∥BH. 所以∠CBH=∠PCB=6O°， 因为AB⊥FG, 所以∠ABH=90° 所以∠CBA=∠CBH+∠ABH= 150° (2)①3+y-a=270°. 理由：如图②，过点C作CM∥DE,过 点B作BNFG 所以∠EDC=∠DCM,∠ABN= 180°-∠BAG=90°. 因为DE∥FG, 所以易得CMBN. 所以∠BCM+∠CBN=18O, 所以∠BCD-∠DCM十∠ABC 55 ∠ABN=180° 因为∠DCM+∠ABN=∠EDC+ 90°， 所以B-a+y-90°=180. 所以3十y-a=270°. ②a+y-90°. 如图③，过点C作CM∥DE,过点B 作BNFG. 所以∠DCM=∠EDC=a,∠ABN= ∠BAG=90. 因为DEFG, 所以易得CM∥BN. 所以∠BCM=∠CBN. 所以∠BCD-∠DCM=∠ABC ∠ABN. 所以B-a=Y-90°. 所以3=a十y-90°. E D C ---H B G A ① E D C---M B----N -G ② D ---…M B A ③ (第10题) 考向二 新定义问题 1.B解析：根据题意，可设(x一3)· (x+a)=x2+kx-7.所以x2+(a- 3)x-3a=x2十kx-7.所以 7 a-3=k, a=3’ 解得 所以k -3a=-7, 2 k=- 3 的值为号 2.号或10解析：当x<5时，5※ 5 x5一x =2,解得x=5 经检验， =号是原分式方程的根当>5 时，5※x一产。=2，解得x=10.经 检验，x=10是原分式方程的根.综上 所述，x的值为2或10。 3.(1)12解析：根据题意，得2× (-2)-b=-16,解得b=12. {x=6, (2) 解析：由a☆b=0,得 y=-2 2a一b=0,则b=2a.将b=2a代入 (a-1)x十by十6-2a=0并整理，得 a(x+2y-2)+(6-x)=0.因为当 a,b取不同值时，方程都有一个公共 x+2y-2=0, ,{x=6, 解，所以 所以 6-x=0. y=-2. {x=6, 所以这个公共解为 y=-2. 4.(1)2:x-4. (2)A与B是关于1的“单位数” 理由：因为A-B=3x(.x十2)-1 2(22+3x-1=3r2+6r-1 3x2-6.x+2=1, 所以A与B是关于1的“单位数”， x-2y=5, 5.(1)方程组 是“关联方 (2x-y=5 程组” x-2y=5①， 理由：记 2.x-y=5②. ②-①，得x十y=0. x-2y=5, 所以方程组 是“关联方 {2.x-y=5 程组”. 2x+3y=4+a①， (2)记{ x-y=2a②. ①-②×2，得5y=4-3a. 所以y=4-3a 5 将y= 430代人@，得x-43 5 2a,解得x=7u十4 5 7a+4 5 所以原方程组的解为 4-3a y- 5 因为原方程组是“关联方程组”， 所以x十y=0. 所以2+4+43u=0. 5 5 所以a=-2. 6.(1)原式=(-2)5×(-2)6= (-2)1=-21. (2)原式=2×(-2)25X (-2)226=2X(-2)11=-2X 2451=-2152 (3)因为Qm-)XQm+1)=21m, 所以(-2)”-1X(-2)"+1=210. 所以2=210. 所以2n=100,解得n=50. 7.(1)CDE (2)“回文等式”中，等号两边的两个 两位数的十位上的数的积等于个位上 的数的积， 设“回文等式”中，等号左边的两个两 位数分别为10a十b,10c十d,其中a, b,c,d为小于10的正整数 依题意，得(10a+b)(10c+d)= (10d+c)(10b+a), 所以100ac+10ad+10bc+bd= 100bd+10ad+10bc+ac. 所以99ac=99bd 所以ac=bd. x=-1, 8.(1)-x-3y=2: 1 y=- 3 解析：方程2x一3y=一1的“对称方 程”是一x一3y=2.记 56 2x-3y=-1①， ①-②，得3.x= -x-3y=2②. -3,解得x=-1.将x=-1代人②， 得1-3y=2,解得y= 1 3,所以方 x=-1, 程组的解为 ly=-1 31 (2)关于x,y的二元一次方程3x十 my=8与它的“对称方程”组成的方 3.x+my=8, 程组为 8.x+my=3. x=m, /3.x+my=8, 将 代人 y=n 8.x+my=3, 3m+mm=8①， 得 8m+mm=3②. ①-②，得-5m=5,解得m=-1. 将m=-1代入①，得-3-n=8, 解得n=一11. m=-1, 所以 n=-11. (3)关于x,y的二元一次方程a.x十 by=c与它的“对称方程”组成的方程 a.x+by=c①， 组为 cx+by=a②. ①-②，得(a-c)x=c一a. 因为a≠b≠c, 所以a-c≠0. 所以x=-1. 将x=-1代人①，得-a十by=c,解 得y=a十g b 因为a-b十c=0, 所以a十c=b. 所以y=1. x=一1， 所以方程组的解为 (y=1. x=-1, 将 代人m.x+y=p,得 (v=1 -m十n=p,即1-m=p,-p=m. 所以(m一n)m+p(n一p)十 2025=-pm+pm+2025=2025. 9.(1)a2+4b2+2ab(答案不唯一). (2)设这两个连续的奇数分别为 2n一1和2十1(n为整数) 所以(2m-1)※(2+1)一1=(2 1)2+(2+1)2+(2-1)(2n+1) 1=12m2. 因为n为整数， 所以12m2为12的倍数. 所以对称奇值减去1，结果都是12的 倍数 (3)(m+1)※(n-1)=(m+1)2+ (n-1)2+(m+1)(n-1)=m2+ 2m+1+n2-2n+1+mm-m+n- 1=m2+n2+m+m-n+1=(m n)2+3n+(m-n)+1, 因为m-=2,m1=3, 所以原式=22+3×3+2+1=16. 10.(1)是. 因为A=X一7 x2+6.x+9 =c-2B=c+3)r-2), 所以A+B=T二7 x2+6x+9 x-2(.x+3)(x-2) ++3a-② (x+3)2 x-2 x-2 x+3_2(x-2) x-2 x-2 一2 所以A与B互为“和整分式”，“和整 值”k=2. (2)①因为C=3-4, G -2D=4 所以C十D= (3x-4)(.x+2) (x-2)(x+2) G 3x2+2x-8+G (x-2)(x+2)(.x一2)(x+2)1 因为C与D互为“和整分式”，且“和整 值”k=3, 所以32+8+S=8,即3x2+ (x-2)(x+2) 2.x-8+G=3(x-2)(x+2). 所以G=3(x-2)(x+2)一(3x2十 2x-8)=3.x2-12-3.x2-2x+8= -2x-4. ②由①，得D= G x2-4 -2(x+2) 2 (x+2)(x-2) x-21 因为分式D的值为正整数t, 所以x-2=-1或x-2=-2. 所以x=1或x=0. 又因为x为正整数， 所以x=1. 3)由2，得1=D三是22 因为P=3y-5 3-y Q=l; 所以3y5+mw3=2 y-33-y 去分母，得3y-5-my+3=2(y-3). 整理，得(1一m)y=-4. 若1一m=0,则关于y的方程无解， 符合题意 此时1一m=0,解得m=1. 若1一m≠0，则方程(1一m)y=-4有 唯一的解 当这个唯一的解是增根y=3时，则 原分式方程无解，符合题意。 此时(1-m)×3=-4,解得m=3: 综上所述，实数m的值为1或子 考向三与几何图形面积 有关的问题 1.D 2.B解析：设大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b.根据题意，可得 2ab+2b(a-b)=200, 由①，得 1 {2ab=14②， ab-2b2=20③：由②，得ab=28④. 把④代人③，得28-78=20.所以 b2=16.因为b>0,所以b=4.把b= 57 4代入④，得4a=28,解得a=7.所以 大正方形的边长是7. 3.B解析：如图，设正方形AJGK 的边长为a,正方形EICL的边长为 b,则有a2+b=130.因为AB=3, AD=4,所以IF=a-3,JF=b-4, LH=a-4,HK=b-3.所以EF= b+a一3，GF=a+b一4.因为长方形 EFGH的周长为50，所以EF+GF= 50×2=25,即b+a-3+a+b- 4=25,整理得a十b=16.因为S1= LH·HK=(a-4)(b-3),S2= IF·JF=(a-3)(b-4),所以S1- S2=(a-4)(b-3)-(a-3)(b 4)=a-b.因为a2+b2=130,a十b= 16,所以2ab=(a+b)2-(a2+b2)= 162-130=126.所以(a-b)2=a2+ b2-2ab=130-126=4.因为S1> S2,所以S1一S2=a一b>0.所以 S1-S2=a一b=2.所以S1一S2的值 为2. H K D B 52 E (第3题) 40+26 S甲_a2-462 解析：k-S2a2一2ub (a+2b)(a-2b)_a+2b a(a-2b) 5.(a+c)解析：原来四块土地的总 面积是a2+bc十ac十ab=a(a+c)+ b(a+c)=(a+c)(a+b)m.因为交 换之后的土地的长为(a十b)m,所以 交换之后的土地的宽为(a十c)m. 6.7解析：如图.由题意，得AB= BC=a,AD=EF=b.所以BD=a b,BE+CF=a一b.因为这三张纸片 没有盖住的面积是8，所以(a一b)2