考向二 新定义与新运算-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

10.(1)由题意，得点P从点O运动 到点B期间的速度为每秒1个单位 长度 因为10÷2+10÷1+(18-10)÷2= 19(秒)， 所以点P从点A运动至点C需要 19秒. (2)由题意知，点M在点O,B之间. 设，点M表示的数为x,则0<x<10. 因为易知点Q从点B运动到点O期 间的速度为每秒2个单位长度， 所以10÷2+x÷1=8÷1+(10 x)÷2,解得x=3, 16 所以相调点M表示的数是 (3)由题意，易得动点P在AO,OB, BC上运动所需的时间分别为5秒， 10秒，4秒：动点Q在CB,BO,OA上 运动所需的时间分别为8秒，5秒， 10秒. 因为P,O两点在数轴上相距的长度 与Q,B两点在数轴上相距的长度 相等， 所以分五种情况讨论： ①当动点Q在，点C,B之间运动，动 点P在点A,O之间运动时， 根据题意，得8一t=10一2t,解得 t=2. ②当动点Q在点C,B之间运动，动 点P在点O,B之间运动时， 根据题意，得8一t=t一5，解得t=6.5. ③当动点Q在点O,B之间运动，动 点P在点O,B之间运动时， 根据题意，得2(t一8)=t-5,解得 t=11. ④当动点Q在射线OA上运动，动点 P在点O,B之间运动时， 根据题意，得10+(t一13)=t一5，方 程无解。 ⑤当动点Q在射线OA上运动，动点 P在射线BC上运动时， 根据题意，得10+(t一13)=2(t 15)+10,解得t=17. 综上所述，t的值为2,6.5,11或17. 考向二新定义与新运算 1.D解析：由题意，得号※3 E=1 W8=2 2.A解析：因为x※y=xy一x y-1,y※x=yx-y-x-1=xy x一y一1，所以x※y=y※x.故选项 A正确.因为x※y※之=(xy一x y一1)※2=之(xy-x-y-1) (xy一x一y一1)一之-1，x※(y※ )=x※(y2一y一之一1)=x(yg一 y--1)一x-(yz-y--1)-1, 所以易得x※y※x≠x※(y※x.故 选项B错误.因为（一1）※2=一1× 2+1-2-1=-4,1※(-2)=1× (一2)-1+2-1=一2，所以(-1)※ 2≠1※（一2）.故选项C错误.（-3)※ (3)=(-3x(3)+3+3 1=33,故选项D错误， 3.B解析：(9.x2-mx+6)十 [-3(3x2-x+m]=9x2-m.x+ 6-9.x2+3.x-3m=(3-m)x+6 3m.因为关于x的整式9.x2-m.x十 6与-3(3x2-x十m)为常数k的“和 谐整式”，所以根据“和谐整式”的概 念，可得两整式的和与x的取值无 关，即3-m=0.所以m=3.所以k= 6-3m=6-3×3=6-9=-3. 4.5或一1解析：由题意，得a 2|+|5-2|=6,所以a-2+3=6, 所以a一2=3.所以a一2=士3.所 以a=5或a=一1，即a的值为5 或-1. 5.一2解析：因为(m,n)是“相随数 对”所以罗+号=所以 3m+2="十”.所以9m+4n=0. 6 5 所以3m+2[3m+(2一1)]=3m+ 2(3m+2-1)=3m+6m+42-2= 47 9m+4n-2=0-2=-2. 6.1解析：关于x的方程号十m= 0的解为x=一2m,方程3x一2=x十 4的解为x=3.因为关于x的方程 受十m=0和方程3x-2=x十4为 “美好方程”，所以一2m十3=1.所以 m=1. 7.3或9解析：因为P是点M关于 点N的“半距点”，所以PN= MN.因为MN=6cm,所以PN 1 号MV=3cm分两种情况讨论：如图 ①，当点P在点N的左侧时，MP= MN一PN=3cm:如图②，当，点P在 点N的右侧时，MP=MN十PN= 9cm.综上所述，MP的长为3cm或 9 cm. MP N m ① M N P m ② (第7题) 8.(1)因为(a,b)■(c,d)=ad-bc, 所以（一3,5）■(-2,1)=(-3)×1 5×(-2)=-3+10=7. (2)因为(a,b)■(c,d)=ad-bc, 所以(x+y,-1)■(x-y,3)= 3(x+y)-[-(x-y)]=3.x+3y+ x-y=4x+2y. (3)因为(a,b)■(c,d)=ad-bc, 所以(2，x)■(2k,x一k)=2(x k)-x·2k=2x-2k-2kx=(2一 2k)x-2k. 因为(2，x)■(2k,x-k)的值与x的 取值无关， 所以2-2k=0. 所以k=1. 9.(1)一1：x一5.解析：因为2 3=一1，所以3与一1是关于2的“平 衡数”.因为2一(7一x)=2一7+x= x-5,所以7-x与x-5是关于2的 “平衡数” (2)a与b是关于2的“平衡数” 理由：因为a=x2-4x-1,b=x2 2(.x2-2.x-1)+1, 所以a+b=x2-4x-1十x2 2(x2-2x-1)+1=x2-4x-1+ x2-2x2+4x+2+1=2. 所以a与b是关于2的“平衡数”. (3)因为c=kx十1，d=x一3，且c与 d是关于2的“平衡数”， 所以c十d=2. 所以kx+1+x-3=2. 所以(k+1)x=4. 因为x为正整数，k为非负整数， 所以当x=1时，k+1=4,解得k=3: 当x=2时，k十1=2，解得k=1; 当x=4时，k+1=1,解得k=0. 所以非负整数k的值为0或1或3. 10.(1)互为垂角的角：∠BOE与 ∠BOD,∠BOE与∠COE,∠AOD 与∠COD,∠AOD与∠AOE. (2)设这个角的度数为x° ①当0<x<90时，它的垂角是(90十 4 x)°，则由题意，得90+x=5(180 x),解得x=30. ②当90<x<180时，它的垂角是 (x一90)°，则由题意，得x一90= 专（180-)，解得x=130, 综上所述，这个角的度数为30或130° 11.(1)40° (2)易得当射线OD与射线OA重合 时，t=60. ①存在. 分两种情况讨论： 在OC,OD相遇前，180一3t一2t= 40,解得t=28. 在O℃，OD相遇后，3t+2t一180 40,解得t=44. 综上所述，当t的值为28或44时， ∠COD的度数是40° ②在OC,OD相遇前，如图①，当OC 是OA的“友好线”时，∠AOC= 3∠A0D.即21=3(180-3， 所以t=20. 如图②，当OC是OD的“友好线”时， 1 ∠D0C=3∠AOD,即180-3- 2t=3(180-31), 所以t=30. 在OC,OD相遇后，如图③，当OD是 OC的“友好线”时，∠COD= 3∠A0c,即+21-180=日×2， 所以1-碧 如图④，当OD是OA的“友好线”时， ∠AOD= 3∠A0C,即180-3t→ 所以1-碧 综上所述，当1的值为20或30或 器支计射线0X.0D.0A中恰 好有一条射线是另一条射线的“友 好线” 0 A B 0 ② D 0 B 0 ③ ④ (第11题) 考向三数、式、方程的 实际应用 1.C解析：因为2350-350= 2000(m),所以6- 2000 100 ×0.6= 一6（℃），即此时山顶的气温约为 -6℃. 2.C解析：由题意，得(45.x+20)一 60[(x-2)-1]=45.x+20-60(x 3)=45.x+20-60x+180=200-15.x. 48 3.C解析：设塔顶的红灯数量为 x盏，则从塔顶向下，每一层红灯的数 量依次是x盏，2x盏，4x盏，8.x盏， 16x盏，32.x盏，64x盏.根据题意，得 x+2.x+4x+8x+16.x+32x+ 64x=381,即127x=381,解得x=3. 所以塔顶的红灯数量为3盏， 4.D解析：设第一步的时候，每堆牌 的张数都是x(x≥5)：第二步的时候， 左边：(x一5)张，中间：(x十5)张，右 边：x张；第三步的时候，左边：(x一 5)张，中间：(x+8)张，右边：(x 3)张：第四步开始的时候，右边有 (x一3)张牌，则从中间拿走(x一 3)张，所以中间一堆牌所剩牌的张数 是(x+8)-(x一3)=x+8一x+ 3=11. 5.100或85解析：设所购买商品的 标价是x元，易知x>60.①若60< x<90,根据题意，得x一20十x= 150,解得x=85:②若x≥90，根据题 意，得x-20+x-30=150,解得x= 100.所以所购买商品的标价是100元 或85元. 6.(1)设魔方的单价为x元，则计算 器的单价为(x十9)元. 由题意，得2(.x+9)=5.x,解得x=6. 所以x+9=15. 所以计算器的单价为15元，魔方的单 价为6元. (2)在甲商店购买所花的费用为 15a+6(100-台)=(14u+60)元， 在乙商店购买所花的费用为15a+ 6×100×80%=(15a+480)元. (3)当a=60时， 14a+600=1440, 15a+480=1380. 因为1440>1380， 所以到乙商店购买比较合算， 7.(1)星期四该产品的售价为每千克 2.4+0.3-0.1+0.25+0.2=3.05(元). (2)星期一的售价为每千克2.4十考向二 新定〉 1.现定义一种新运算“※”：a※b=a.例如： 3※2=3，则。※3的值是 A B.8 C.2 2.已知x,y是有理数，现定义一种新运算“※”： x※y=xy一x一y一1，等号的右侧为通常的 混合运算.下列结论中，正确的是() A.该运算满足交换律 B.该运算满足结合律 8. C.(-1)※2=1※(-2) D(-3)※(3)=1 3.如果整式A与整式B的和是一个常数a,那 么我们称A,B为常数a的“和谐整式”，例 如：x一6和一x+7为数1的“和谐整式”.若 关于x的整式9x2一mx+6与-3(3x2 x十m)为常数k的“和谐整式”（其中m为常 数)，则的值为 () A.3B.-3C.5 D.15 4.对于有理数a,b,n,d,如果a一n|十|b一n= 9. d,那么称a和b关于n的“相对距离”为d. 例如：|2一1+|3一1=3，则2和3关于1 的“相对距离”为3.若a和5关于2的“相对 距离”为6，则a的值为 5对于任意的有理数a,6如果满足号+名 名那么我们称这一对数a,6为“相随数 对”，记为(a,b).如果(m,n)是“相随数对”， 那么3m+2[3m+(2m-1)]= 6.定义：若两个一元一次方程的解之和为1，则 称这两个方程为“美好方程”.例如：方程 2x一1=3和x十1=0为“美好方程”.若关于 x的方程号十m=0和方程3x-2=x+4为 “美好方程”，则m的值为 期末压轴题特训 !与新运算 如图①，直线1上有A,B,C三点， 若满足BC=AB,则称C是点A 关于点B的“半距点”.如图②，M,N,P三点 在直线m上，且P是点M关于点N的“半距 点”，MN=6cm,则MP的长为 cm. A B C I M N m ① ② (第7题) 规定一种新运算：(a,b)■(c,d)=ad-bc, 例如：(2,1)■(4,3)=2×3-1×4=2. (1)求(-3,5)■(-2,1)的值 (2)化简：(x十y,-1)■(x-y,3). (3)若(2，x)■(2k,x一k)的值与x的取值 无关，求k的值 定义：若a十b=2,则称a与b是关于2的“平 衡数” (1)3与 是关于2的“平衡数”，7一x 与 是关于2的“平衡数”. (2)若a=x2-4x-1,b=x2-2(x2-2x一 1)+1,判断a与b是不是关于2的“平衡 数”，并说明理由， (3)若c=k.x十1，d=x-3,且c与d是关于 2的“平衡数”，x为正整数，求非负整数k 的值. 125 拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 10.定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，那 么就称这两个角互为垂角，例如：∠1 120°，∠2=30°，|∠1-∠2=90°，那么∠1 和∠2互为垂角（本题中的角均是指大于0° 且小于180的角). (1)如图，点O在直线AB上，∠BOC ∠DOE=90°，请写出图中所有互为垂角 的角. (2)若一个角的垂角等于这个角的补角的 号，求这个角的度数 B (第10题) 11.新考法·探究题【阅读理解】 OC是∠AOB内部的一条射线，若 ∠A0C=3∠A0B,则称射线OC 是射线OA的“友好线”.例如：如图①， ∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD= 20,则∠B0D=∠A0C=吉∠A0B,所以 射线OC是射线OA的“友好线”，射线OD 是射线OB的“友好线”. 126 【知识应用】 (1)如图②，∠AOB=120°，射线OM是射 线OA的“友好线”，则∠AOM的度数为 (2)如图③，∠AOB=180°，射线OC与射 线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度按逆 时针方向旋转，射线OD与射线OB重合， 并绕，点O以每秒3°的速度按顺时针方向旋 转.设旋转的时间为t秒，当射线OD与射 线OA重合时，旋转停止 ①是否存在t的值，使得∠COD的度数是 40°？若存在，求出t的值；若不存在，请说 明理由. ②当t为何值时，射线OC,OD,OA中恰好 有一条射线是另一条射线的“友好线”？ ① B 0 ③ (第11题)