第5章 专题特训10 分式方程的实际应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

5.(1)把m=3代人原方程，得 3x23 x2-42-xx+21 方程两边同乘(x十2)(x一2)，得 3x+2(x十2)=3(x一2)，解得x -5. 经检验，x=一5是原分式方程的解 所以分式方程的解为x=一5. (2)方程两边同乘(x+2)(x一2)，得 mx+2(x+2)=3(x-2). 整理，得(1一m)x=10. 因为分式方程会产生增根， 所以(x+2)(x一2)=0，即x=2或 x=-2. 把x=2代人整式方程，得(1一m)× 2=10,解得m=一4；把x=一2代人 整式方程，得(1一m)×(-2)=10,解 得m=6. 综上所述，m的值为一4或6. 一方法归纳 分式方程增根问题的求解方法 增根问题的求解可按如下步 骤进行：①化分式方程为整式方 程：②令最简公分母为0确定增 根；③把增根代入整式方程即可求 得相关字母的值 6.(1)这个方程无解 理由：当m=一1时，方程变为二2 希=1 去分母，得x2-x-2十2x=x2十x. 整理，得一2=0，此等式不成立. 所以当m=一1时，这个方程无解. 2)将m+x_3m+1=1化为整 x+1 式方程，得2(m+1)x=m-1. 因为这个分式方程有解， 所以m≠-1. 因为当x=0或一1时，这个分式方程 无解，此时m=1或-3， 所以m的取值范围是m≠士1且 专题特训十分式方程的 实际应用 1.A2路子圆 3.B解析：设小明的爸爸在普通道 路上的速度是x千米/时，则在高速 公路上驾车的速度是(1+50%)x千 米/时.根据题意，得80-80-20 x (1+506)x 0 解得=60，经检验，t=60是所 列方程的解，且符合题意.所以小明的爸 爸在普通道路上的速度是60千米/时. 4.A解析：设两台汽车的续航里程 是x千米.由题意，可得0X9 60X0.6+0.54,解得x=600.经检 验，x=600是原方程的解，且符合题 意.所以小松爸爸选择的两台汽车的 续航里程是600千米， 5.(1)设高铁的平均速度为xkm/h 则普客的平均速度为3xkm/h. 由题意，得690_690=46， 1 x 32 解得x=300. 经检验，x=300是原分式方程的根， 且符合题意， 所以高铁的平均速度为300km/h. (2)1050÷300+1.5=5(h),14 8 号-5. .1 因为5<53’ 所以在高铁准点到达的情况下，他能 在开会之前赶到会议地，点， 6.设A型自行车去年每辆的售价为 x元，则今年每辆的售价为(x 200)元 由题意，得80000_80000X(1-106 x-200 解得x=2000. 经检验，x=2000是原方程的根，且 符合题意 所以A型自行车去年每辆的售价为 45 2000元 7.设B种书架的单价为x元，则 A种书架的单价为(1十10%)x元. 11000_8000=2, 根据题意，得1十10%)z 解得x=1000. 经检验，x=1000是所列方程的解， 且符合题意 所以(1+10%)x=(1+10%)× 1000=1100. 所以A种书架的单价为1100元， B种书架的单价为1000元. 8.D解析：设乙工程队单独完成此 项工程需要x天，则甲工程队单独完 成此项工程需要(x一6)天.根据题 意，得4份+)+41 解得x=18.经检验，.x=18是原方程 的解，且符合题意.所以x一6=18 6=12.所以甲工程队单独完成这项工 程所需的时间是12天. 9.设甲单独完成任务需要x小时，则 乙单独完成任务需要(x-5)小时. 根据题套，得兰-已解得=20 经检验，x=20是原分式方程的根，且 符合题意 所以甲单独完成任务需要20小时，乙 单独完成任务需要20-5=15（小时）， 即甲，乙的工作效率分别为205 11 因为丙的工作效率是乙工作效率 1 的2’ 所以丙的工作效率为2×言动 11 所以三人一轮的工作量为易十言 1 1 3 3020 因为1中易-6 所以需甲、乙、丙进行6轮工作 因为6轮后剩余的工作量为1一20× 3 6=0品x1, 所以还需要甲工作1小时 因为甲工作1小时后，剩余的工作量 为品-002动<站×1 所以乙还需要工作的时间为0 品-子小时 所以按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成 工作任务，共需要3×6+1十是 19子（小时。 第5章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：由表格可知当 x=-3时，分式%无意义，即 2x+b=0,所以2×（一3）+b=0,解 得6=6.当x=3时，分式%=0， 所以3一a=0.所以a=3.所以该分 式为当=p时，分式的值为 20=2,解得力-5 [变式]-1 解析：因为分式 (+D(x-3的值为0，所以1x- x-2-1 2-1=0,解得x=1或x=3.当x= 1时，分式的分母(x十1)(x一3)≠0， 符合题意.当x=3时，分式的分母 (x十1)(x一3)=0，不符合题意.所以 x=1.所以x一2的值为-1. 典例2A解析：若A=3.x+2y,则 分试为 2x+2X1 3× 2 v 11 2×2x+2y 2(3x+2y) (2x+) .1 十2Y,分式的值不 2x+y 变，故选项A符合题意；若A=3.x十 1 3X2x+3 3,则分式为+。 1,1 2x+2y 2(3x+6) 3x十6，分式的值改变， 2(2+y) 2.x+y 故选项B不符合题意；若A=2xy,则 1 2× 分式为2x+y’2X2x+2y 2xy 1+上 1 riy 2千，分式的值改变， 故选项C不符合题意：若A=3,则分 式为2x十y 3 3 1 1 2X2*+2y 3 6 2(2x+) 2十y分式的值改变， 故选项D不符合题意 [变式] 4a-5b 2a+3b 解析：分式 1 21 0.4a-2b 5a- 1 一，分子、分母 5a+0.36 1 3 5a+106 同时乘以10，则原式=如一动 2a+3b 典例3 原式=（x十1)(x-1) (+z (x+1)(x-1) 2 x x2+2.x+1 (x+1)(x-1) x [变式] 原式+ 1 x+2 (x+2)(x-2) = (x-1)2 + x-2 号1 x-1+x+1 典例4 原式=+1(x-· (x-1)2 2.x 2.x (x+1)(x-1D' x-1)2-x-1 2.x x+1 因为当x=一1,0,1时原分式无 意义， 所以x=2. 46 当=2时原式品 易错警示 忽视分式的分母不为0这个 隐含条件而导致错误 解这类开放性问题时，我们应 该首先通过分母不为0这个隐含 条件进行排除，然后从剩余的数中 选择自己喜欢的数代入化简后的 式子中求值，若忽视分式的分母不 为0这个隐含条件，直接从题目所 给的数中选择，就会导致错误 [变式] 解析：因为2=3，所 以x一y=3y.所以x=4y.所以原 式=2- x+y+x-y (x-y) (x+y)(x一y) 2x (x-y)2 2-(x+y)(z-） =2 x 2(x-y) =2 _24y-y2=2-y= x+y 4y+y 5y 2-6、4 55 7 典例5x=3 解析：分情况讨论： ①当古<名时mm 吕}=十所以原方程为十， 气3，去分母，得-1=2-3(x 2 1),解得x=2.经检验，x=2是原方 2 程的根.所以一2-1二2 -2. 因为-1>一2，所以x=2不符合题 意舍去②当己>己时， m已名=吕所以原方 程为己，马一3未分母，得 -2=2-3(x-1),解得x=3,经检 验，上=子是原方程的根所以 1 -32 3 4 7 1一3拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 专题特训九有关 类型一巧解分式方程 (一)换元法 1.*阅读材料，解答下列问题. 解二元一次方程组的基本方法有“代入法” “加减法”两种消元策略.有一种方程组，不是 二元一次方程组，但结构类似，如 2+3=5, x y 我们分析x≠0，y≠0，可以采用 5_2=3. x y “换元法”来解：设1=m, =m,1=.原方程组转 y 2m+3m=5, m=1 化为 解得 所以=1,1 5m-2m=3, n=1. y x=1, 1,则原方程组的解为 y=1. )直接写出满足方程+2=4的一个解： 3+2=4, (2)解方程组： 5_6=2. x y (二)局部通分法 2.解分式方程： x+5,x+2_x+3,x+4 x+4x+1x+2x十31 114 拍照批改 解分式方程的问题“答案与解析见P44 类型二分式方程的增根和有无解问题 3.(2025·宁波镇海模拟)已知关于x的分式方 程2m 程，二十5有塔根，则m的值是 A.-3B.-2C.0 D.2 4.(2024·宁波海曙期末)若关于x的 分式方程2+-=，1无解，则 x-33-x 答案讲解 常数k的值为 5*已知关于x的分式方程，二4一2是 2 3 x+2 (1)当m=3时，求分式方程的解. (2)若这个关于x的分式方程会产生增根， 求m的值. 6.已知关于x的分式方程m十x一13士=1. (1)当m=一1时，请判断这个方程是否有 解，并说明理由 (2)若这个分式方程有解，求m的取值范围. 拍照批改 专题特训十分 类型一根据实际问题列出分式方程 1.(2025·温州温岭二模)某中学针对九年级学 生开设了烹饪课程.课程开设后学校花费 6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花 费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采 购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉 的价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量 为x千克，依题意，所列方程正确的是( A. 9600_6000=0.4 1.5x x 96006000 B. =0.4 1.5x 60009600 C.1.5x =0.4 D60009600 1.5x =0.4 2.在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的 读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班 学生人数多2，甲班学生读书256本，乙班学 生读书180本，乙班平均每人读书的本数是 甲班平均每人读书的本数的？，求甲、乙两班 各有多少人.设乙班有x人，依题意，可列方 程为 类型二列分式方程解行程问题 3.小明的爸爸开车从A地到B地，若走原来的 普通道路，则行程为80千米，而走新扩建成 的高速公路，则路程不但缩短了20千米，驾 车时间也节省了40分钟.若小明的爸爸在高 速公路上驾车的速度比在普通道路上驾车的 速度快50%，则小明的爸爸在普通道路上的 速度是 ( A.50千米/时 B.60千米/时 C.65千米/时 D.70千米/时 第5章分式 心方程的实际应用 ，“答案与解析”见P45 4.(2025·山东模拟)新能源车的技术越来越成 熟，而且更加环保节能.小松同学的爸爸准备 换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃 油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶 费用比新能源车多0.54元.已知燃油车的油 箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源 车的电池容量为60千瓦时，电费为0.6元 千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航 里程是 A.600千米 B.500千米 C.450千米 D.400千米 类型三列分式方程解消费问题 5.新情境·现实生活高速铁路列车（以下简称 “高铁”)是人们出行的重要交通工具.已知高 铁的平均速度是普通旅客列车（以下简称普 客)平均速度的3倍.同样行驶690km,高铁 比普客少用4.6h (1)求高铁的平均速度. (2)某天王老师乘坐8：40出发的高铁，到 A市参加当天14：00召开的会议.若列车全 程行驶1050km,王老师从A市高铁站到会 议地，点最多还需要1.5h,则在高铁准点到达 的情况下，他能在开会之前赶到会议地点吗？ 115