第5章 专题特训9 有关解分式方程的问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

需(x十5)天.依题意，得4十2 xx+5 1,解得x=20.经检验，x=20是原分 式方程的解，且符合题意.所以x十 5=25.这三种施工方案需要的费用 为：方案①：1.5×20=30（万元）：方案 ②：1.1×(20+5)=27.5（万元），但乙 厂单独完成这项任务超过了日期，不 能选：方案③：1.5×4+1.1×20 28(万元).因为30>28，所以方案③ 最节省费用， 7.3解析：设该市去年居民用水的 价格为x元/米3，则今年居民用水的 价格为(1+20%)x元/米3.由题意， 60 得1+20%)x 40=4,解得x= 2.5.经检验，x=2.5是所列分式方程 的解，且符合题意.所以(1+20%)· x=3.所以该市今年居民用水的价格 为3元/米3. 8.120解析：设黄老师单独整理这 批实验器材需要xmin,则黄老师的 工作效率为子由题意，得（品十 )+30×=1,解得x=120经检 验，x=120是原分式方程的根，且符 合题意.所以黄老师单独整理这批实 验器材需要120min 9.(1)设大巴车的平均速度是xkm/h, 则小车的平均速度是1.5.xkm/小h. 由题意，得90=90+30+15 x1.5.x60601 解得x=40. 经检验，x=40是原分式方程的根，且 符合题意。 折以1.5x=60. 所以大巴车的平均速度是40km/h, 小车的平均速度是60km/h. (2)设王老师追上大巴车时，距离基 地还有ykm. 由题意，得30+90-y-90-y 60 60 40 解得y=30. 所以王老师追上大巴车时，距离基地 还有30km. 10.(1)设甲工程队单独完成这项工 程需要x天，则乙工程队单独完成这 项工程需要(x十6)天 由题意，(2+十)×4十十6× x+6/ (x一4)=1，解得x=12, 经检验，x=12是原分式方程的根，且 符合题意. 所以这项工程规定的工期是12天. (2)因为a一b=2, 所以b=a-2. 设甲工程队单独完成这项工程需要 y天，则乙工程队单独完成这项工程 需要(y十a)天. 由题意，得十义=1，即二2+ y'y+a y =1，解得y=024 y+a 2 经检验，y=,2是原分式方程的 2 根，且符合题意 a 所以y十a=42十a, 2 所以甲、乙两支工程队单独完成这项 工程需要的天数分别为之，号 专题特训九有关解分式 方程的问题 x=1, 1.(1)答案不唯一，如 y=2. 1 (2)设 二uy (3u+20=4, 原方程组可化为 解得 5u-6=2, u=1, 1 所以=1，=2 11 所以由倒数的定义，得 x=1, y=2. x=1, 所以原方程组的解为 y=2. 44 方法归纳 整体换元巧解方程 解数学题时，把某个式子看成 一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化，这种方法叫 作换元法.我们常用的是整体换元 法，是在已知或者未知中，某个代 数式反复出现，而用一个字母来代 替它从而简化问题，当然有时候要 通过变形才能发现。 2.原方程可化为 (x+4)+1 x+4 x+1)+1_(x+2)+1+(x+3)+1 x+1 x+2 x+3 1 所以1+ 十4+1+中=1十 1 1 十2+1++3 所以十十中中中 1.1 1 所以+2z十1)x+4-(+3) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) 1 1 所以x+1)(x+2)(+3)x+4)' 去分母，得(x+3)(x十4)=(x+1)· (x+2). 解得x=一2 5 5 经检验，x=一 是原分式方程的根 所以原分式方程的解为x=一2 5 3.D解析：方程的两边同时乘x 1,得2x=m+5(x一1)，解得m 一3x十5.因为原方程有增根，所以 x一1=0，解得x=1.所以m=一3× 1+5=2. 4号或2解析：方程的两边同时乘 x-3,得2(x-3)+1-k.x=-1,整 理，得(2-k)x=4.当x=3时，分式 方程有增根，无解.把x=3代人(2 0x=4:解得&=号当2一6=0时， 方程(2一k)x=4无解，此时k=2.综 上所述k的值为号或2 5.(1)把m=3代人原方程，得 3x23 x2-42-xx+21 方程两边同乘(x十2)(x一2)，得 3x+2(x十2)=3(x一2)，解得x -5. 经检验，x=一5是原分式方程的解 所以分式方程的解为x=一5. (2)方程两边同乘(x+2)(x一2)，得 mx+2(x+2)=3(x-2). 整理，得(1一m)x=10. 因为分式方程会产生增根， 所以(x+2)(x一2)=0，即x=2或 x=-2. 把x=2代人整式方程，得(1一m)× 2=10,解得m=一4；把x=一2代人 整式方程，得(1一m)×(-2)=10,解 得m=6. 综上所述，m的值为一4或6. 一方法归纳 分式方程增根问题的求解方法 增根问题的求解可按如下步 骤进行：①化分式方程为整式方 程：②令最简公分母为0确定增 根；③把增根代入整式方程即可求 得相关字母的值 6.(1)这个方程无解 理由：当m=一1时，方程变为二2 希=1 去分母，得x2-x-2十2x=x2十x. 整理，得一2=0，此等式不成立. 所以当m=一1时，这个方程无解. 2)将m+x_3m+1=1化为整 x+1 式方程，得2(m+1)x=m-1. 因为这个分式方程有解， 所以m≠-1. 因为当x=0或一1时，这个分式方程 无解，此时m=1或-3， 所以m的取值范围是m≠士1且 专题特训十分式方程的 实际应用 1.A2路子圆 3.B解析：设小明的爸爸在普通道 路上的速度是x千米/时，则在高速 公路上驾车的速度是(1+50%)x千 米/时.根据题意，得80-80-20 x (1+506)x 0 解得=60，经检验，t=60是所 列方程的解，且符合题意.所以小明的爸 爸在普通道路上的速度是60千米/时. 4.A解析：设两台汽车的续航里程 是x千米.由题意，可得0X9 60X0.6+0.54,解得x=600.经检 验，x=600是原方程的解，且符合题 意.所以小松爸爸选择的两台汽车的 续航里程是600千米， 5.(1)设高铁的平均速度为xkm/h 则普客的平均速度为3xkm/h. 由题意，得690_690=46， 1 x 32 解得x=300. 经检验，x=300是原分式方程的根， 且符合题意， 所以高铁的平均速度为300km/h. (2)1050÷300+1.5=5(h),14 8 号-5. .1 因为5<53’ 所以在高铁准点到达的情况下，他能 在开会之前赶到会议地，点， 6.设A型自行车去年每辆的售价为 x元，则今年每辆的售价为(x 200)元 由题意，得80000_80000X(1-106 x-200 解得x=2000. 经检验，x=2000是原方程的根，且 符合题意 所以A型自行车去年每辆的售价为 45 2000元 7.设B种书架的单价为x元，则 A种书架的单价为(1十10%)x元. 11000_8000=2, 根据题意，得1十10%)z 解得x=1000. 经检验，x=1000是所列方程的解， 且符合题意 所以(1+10%)x=(1+10%)× 1000=1100. 所以A种书架的单价为1100元， B种书架的单价为1000元. 8.D解析：设乙工程队单独完成此 项工程需要x天，则甲工程队单独完 成此项工程需要(x一6)天.根据题 意，得4份+)+41 解得x=18.经检验，.x=18是原方程 的解，且符合题意.所以x一6=18 6=12.所以甲工程队单独完成这项工 程所需的时间是12天. 9.设甲单独完成任务需要x小时，则 乙单独完成任务需要(x-5)小时. 根据题套，得兰-已解得=20 经检验，x=20是原分式方程的根，且 符合题意 所以甲单独完成任务需要20小时，乙 单独完成任务需要20-5=15（小时）， 即甲，乙的工作效率分别为205 11 因为丙的工作效率是乙工作效率 1 的2’ 所以丙的工作效率为2×言动 11 所以三人一轮的工作量为易十言 1 1 3 3020 因为1中易-6 所以需甲、乙、丙进行6轮工作 因为6轮后剩余的工作量为1一20× 3 6=0品x1,拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 第2课时分 自基础进阶 1.(2025·杭州上城段考)甲、乙二人做某种机 械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做 120个所用的时间与乙做150个所用的时间 相等.设甲每小时做x个零件，下列方程中， 正确的是 () A.120150 B.120_150 x-8 x十8x C.120_150 120_150 x-8 x D x+8 2.某校计划投资9000元建设几间新教室，为了 保证教学质量，实际每间的建设费用增加了 20%,并比原计划多建设了两间新教室，总投 资追加了3000元.根据题意，则原计划每间 新教室的建设费用是 元 3.(2024·湖州德清期末)某商店4月购进一批 T恤衫，进价合计3200元.由于该T恤衫十 分畅销，商店又于5月购进一批同品牌T恤 衫，进价合计6800元，数量是4月的2倍，但 每件进价涨了2.5元. (1)该商店4月购进T恤衫多少件？ (2)这两批T恤衫开始都以每件60元的价 格出售，到6月初，商店把剩下的40件打九 折出售，很快售完.该商店共获毛利润（销售 收入减去进价总计)多少元？ 112 拍照批改 式方程的应用 “答案与解析”见P43 幻素能攀升 4.(2025·宁波鄞州期末)暑假期间，小明一家 计划自驾去离宁波1200km远的某风景区游 玩.途中 .设原计划以每小时akm的 速度开往该景区，可得方程1200-120 a a+15 1. 根据此情景，题中“ ”上应填的条 件为 ( A.实际每小时比原计划快15km,结果提前 1h到达 B.实际每小时比原计划慢15km,结果提前 1h到达 C.实际每小时比原计划快15km,结果延迟 1h到达 D.实际每小时比原计划慢15km,结果延迟 1h到达 5.已知公式u= S1-S2 (u≠0)，则公式变形后 t-1 t等于 ) A S1-S2-u B S1-S2+u C.S-S2-u D.S1-S2+4 6.(2025·泰安模拟)某市需要紧急生 产一批民生物资，现公开招标，甲、 乙两家资质合格的工厂前来应标.答案讲解 投标文件显示，甲厂加工一天需收费1.5万 元，乙厂加工一天需收费1.1万元.指挥中心 的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三 种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期 完成； 方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期 多用5天； 方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的工 程由乙厂单独做也正好如期完成.在不耽误 工期的前提下，最节省费用的施工方案是 A,方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 7.某市从今年1月起调整居民用水价格，每立 方米的价格上涨20%，小明家去年12月的水 费是40元，而今年4月的水费是60元.已知 小明家今年4月的用水量比去年12月多 4立方米，则该市今年居民用水的价格为 元/米3. 8.学校新到一批实验器材需要整理，若张老师 一人单独整理需要1h完成.现在张老师与 黄老师共同整理30min后，张老师因事外 出，黄老师又单独整理了30min才完成任 务，则黄老师单独整理这批实验器材需要 min. 9.周末某校组织部分师生乘坐大巴车前往爱国 主义实践教育基地参观学习，基地离学校有 90km,大巴车7：00从学校出发，王老师因事 耽搁，7：30从学校自驾小车以大巴车的1.5倍 速度追赶，结果比大巴车提前l5min到达基地. (1)大巴车与小车的平均速度各是多少？ (2)王老师追上大巴车时，距离基地还有 多远？ 第5章分式 粉思维拓展 0.某市为了创建生态文明城市，对公 路旁的绿化带进行全面改造.现有 甲、乙两支工程队，甲工程队单独答案讲解 完成这项工程，刚好如期完成；乙工程队单 独完成这项工程要比规定工期多用α天.若 先由甲、乙两支工程队一起做b天，剩下的 工程由乙工程队单独做，也正好如期完工 (1)当a=6,b=4时，求这项工程规定的 工期 (2)若a一b=2,a是偶数，且a>2,求甲、 乙两支工程队分别单独完成这项工程需要 的天数（用含a的代数式表示）. 113