第4章 专题特训(七) 因式分解的方法、技巧及应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

b=4,a-b=1时,原式=4×(1+ 2)=12. 12. 由题意,得剩余草地(涂色部 分)的面积是a2-4b2=(a+2b)(a- 2b)m2. 当a=43,b=5时,(a+2b)(a- 2b)=(43+2×5)×(43-2×5)= 53×33=1 749. 所以当a=43,b=5时,剩余草地(涂 色部分)的面积是1 749m2. 13. 原式=-2[(2a-b)2-(a+ 2b)2]=-2[(2a-b)+(a+2b)] · [(2a-b)-(a+2b)]=-2(3a+ b)(a-3b). 当3a+b=50,a-3b=11时,原式= -2×50×11=-1 100. 14. 因为a2-b2-5=0,c2-d2- 2=0, 所以(a+b)(a-b)=5,(c+d)· (c-d)=2. 所以原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+ bd-ad-bc)=[c(a+b)+d(a+b)]· [c(a-b)-d(a-b)]=(a+b)(c+ d)(a-b)(c-d)=(a+b)(a-b)· (c+d)(c-d)=5×2=10. 15. (1) 第 个等式为(2n+2)2- (2n)2=4(2n+1). 因为(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+ 2n)(2n+2-2n)=2(4n+2)= 4(2n+1), 所以(2n+2)2-(2n)2=4(2n+1). (2) 假设172能写成两个连续偶数的 平方差,则由(1),得4(2n+1)=172, 解得n=21. 所以2n=2×21=42,2n+2=42+ 2=44. 所以172可以写成两个连续偶数的平 方差,这两个偶数是42和44. 第2课时 用完全平方公式 分解因式 1. D 2. D 3. D 4. 答案不唯一, 如2x 5. 400 6. (1) 原式=(2x-3)2. (2) 原式= 13m+n 2 . (3) 原式=(x-y+5)2. (4) 原式=3a(a2-2a+1)=3a(a- 1)2. (5) 原式=(y2-1)(x2+2x+1)= (y+1)(y-1)(x+1)2. 7. A [解析] 因为ax2-4a= a(x2-4)=a(x+2)(x-2),2x2- 8x+8=2(x2-4x+4)=2(x-2)2, 所以多项式ax2-4a与多项式2x2- 8x+8的公因式为x-2. 8. D [解析] 16-8x+x2=(4- x)2.因为x>4,所以(4-x)2的算术 平方根为x-4.所以正方形的边长为 (x-4)cm.所以正方形的周长是 4(x-4)=(4x-16)cm. 9. B [解析] 由题意,得2a+2b= 14,ab=10,所以a+b=7.所以a3b+ ab3+2a2b2=ab(a2+b2+2ab)= ab(a+b)2=10×72=490. 10. (1) 0.36 [解析] 因为x+y= 0.2,x+3y=1,所以2x+4y=1.2, 即x+2y=0.6.所以原式=(x+ 2y)2=0.36. (2) -2023 [解析] 因为a与b互 为相反数,所以a+b=0.所以a2+ 2ab+b2-2023=(a+b)2-2023= 0-2023=-2023. 11. < [解析] -a3b3-2a2b2-ab= -ab(a2b2+2ab+1)=-ab(ab+ 1)2. 因为a<0,b<0,所以ab>0. 所以-ab<0,ab+1>0.所以(ab+ 1)2>0.所以-ab(ab+1)2<0. 12. (1) 原式 =2[(x2 +4)2 - 16x2]=2(x2+4+4x)(x2+4- 4x)=2(x+2)2(x-2)2. (2) 原式=-m[(a2+2)2-6(a2+ 2)+9]=-m(a2+2-3)2=-m· (a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. (3) 原式=(x+y)2+2×(x+y)× 6(x+2y)+[6(x+2y)]2=[(x+ y)+6(x+2y)]2=(x+y+6x+ 12y)2=(7x+13y)2. 因式分解的一般步骤 (1) 提,指多项式中若含有公 因式,一般先用提取公因式法 分解. (2) 套,指提取公因式后,若符 合完全平方公式或平方差公式特 征的多项式,均可套用公式进行因 式分解. (3) 查,一查括号,即因式分解 的结果只能出现小括号,若过程中 出现中括号、大括号,则需要转化 成小括号的形式,同时化简括号内 的多项式;二查各项是否分解彻 底,即要分解到不能再分解为止. 13. 将x2-y2分解因式. 原式=(x+y)2+4(x-y)2-4(x+ y)(x-y)=[(x+y)-2(x-y)]2= (x+y-2x+2y)2=(3y-x)2. 14. (1) ±4. (2) 10. (3) 因为 m2+2mn+2n2-8n+ 16=0, 所以(m2+2mn+n2)+(n2-8n+ 16)=0. 所以(m+n)2+(n-4)2=0. 所以m+n=0,n-4=0. 所以m=-4,n=4. 专题特训（七）　因式分解的 方法、技巧及应用 1. C 2. (1) (a-2)(2a+1) (2) 5a(x-y)(x-2y) 3. B [解析] x2+2xy+y2=(x+ y)2,故①不正确.-x2+2xy- y2=-(x2-2xy+y2)=-(x- y)2,故②正确.x2-6xy+9y2= (x-3y)2,故③不正确.-x2+ 1 4= 1 4-x 2= 12+x 12-x ,故④正 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 确.综上所述,正确的有②④,共2个. 4. (1) 原式=(x+3+4)(x+3- 4)=(x+7)(x-1). (2) 原式=[2(x+y)-5]2=(2x+ 2y-5)2. 5. D [解析] a2b-9ab2=ab(a- 9b),故选项 A 错误.2a2-4b2= 2(a2-2b2),故选项 B错误.a3- 2ab+ab2=a(a2-2b+b2),故选项C 错误.a2b2-4a2b+4a2=a2(b-2)2, 故选项D正确. 6. (1) 原式=m2(n-3)-4(n-3)= (n-3)(m2-4)=(n-3)(m- 2)(m+2). (2) 原式=-8a(2xy+x2+y2)= -8a(x+y)2. 7. (1) 原式=[(x+y+z)+(x- y+z)][(x+y+z)-(x-y+z)]= (x+y+z+x-y+z)(x+y+z- x+y-z)=2y(2x+2z)=4y(x+z). (2) 原式=[(a+2b)+3(a-2b)]2= [4(a-b)]2=16(a-b)2. 8. (1) 原式=x4y4-16=(x2y2+ 4)(x2y2-4)=(x2y2+4)(xy+ 2)(xy-2). (2) 原式=(x2+6x+9)2=[(x+ 3)2]2=(x+3)4. (3) 原式=[(a+b)2-1]2=[(a+ b+1)(a+b-1)]2=(a+b+1)2· (a+b-1)2. 9. (1) 原式=a2-10a+25=(a- 5)2. (2) 原式=8x2-16y2-7x2-xy+ xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y). 10. 原式=(x+3)(x+4)+(x+ 3)(x-3)=(x+3)[(x+4)+(x- 3)]=(x+3)(2x+1). 11. (1) 原式=4a2-(x2-4xy+ 4y2)=4a2-(x-2y)2=(2a+x- 2y)(2a-x+2y). (2) 原式=(ax-bx)+(a2-2ab+ b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a- b)(x+a-b). (3) 原式=x2-4x+4-4-y2+ 6y-9+9-5=(x2-4x+4)-(y2- 6y+9)+(-4+9-5)=(x2-4x+ 4)-(y2-6y+9)=(x-2)2-(y- 3)2=[(x-2)+(y-3)][(x-2)- (y-3)]=(x+y-5)(x-y+1). 12. 因为248-1=(224-1)×(224+ 1)=(212-1)×(212+1)×(224+ 1)=(26-1)×(26+1)×(212+1)× (224+1)=63×65×(212+1)× (224+1), 所以248-1可以被63和65这两个数 整除. 13. (1) 原式=-12ab (a2-2ab+ b2)=-12ab (a-b)2. 当b-a=-3,ab=-2时,原式= -12× (-2)×32=9. (2) 原式=(m+2n+3m-n)(m+ 2n-3m+n)=(4m+n)(3n- 2m)=-(4m+n)(2m-3n). 当4m+n=40,2m-3n=5时,原 式=-40×5=-200. 第4章复习 ［知识体系构建］ 都不变号 都变号 (a+b)(a- b) (a+b)2 (a-b)2 ［高频考点突破］ 典例1 D [跟踪训练] 1. A 典例2 (1) 原式=-7x2[2x(x+ 5)-y]=-7x2(2x2+10x-y). (2) 原式=10b2(a-2)-5b(a- 2)2=5b(a-2)[2b-(a-2)]= 5b(a-2)(2b-a+2). (3) 原式=(m-n)4-n(m-n)3+ m(m-n)3=(m-n)3(m-n-n+ m)=(m-n)3(2m-2n)=2(m- n)4. 运用提公因式法分解因式的 几个常见注意点 运用提公因式法分解因式时, 需注意以下几点:1. 必须将多项式 中每一项都含有的公因式全部提 出;2. 当一个多项式的首项的系数 为负数时,一般要将“-”提出,使 括号内首项的系数为正数;3. 当幂 的底数互为相反数时,要转化成同 底数幂;4. 结果中若出现相同的因 式,则要写成幂的形式. [跟踪训练] 2. (1) 原式=y(2a- b)-x(2a-b)=(2a-b)(y-x). (2) 原式=-an(3a2-a+1). (3) 原式=(2x+3)2-(2x+3)= (2x+3)(2x+3-1)=2(2x+3)· (x+1). 典例3 (1) 原式=(a+b)2+2× 1 2 ·(a+b)+ 12 2 = a+b+ 1 2 2 . (2) 原式=[(y+2x)+(x+2y)]· [(y+2x)-(x+2y)]=(y+2x+ x+2y)(y+2x-x-2y)=(3x+ 3y)(x-y)=3(x+y)(x-y). (3) 原式=(2x+y)2-2·(2x+ y)·3y+(3y)2=[(2x+y)- 3y]2=(2x+y-3y)2=(2x-2y)2= [2(x-y)]2=4(x-y)2. 遇到底数为多项式的幂进行 因式分解的方法 分解因式时,若遇到底数为多 项式的幂,一般不必用乘法公式展 开,而是把底数看作一个整体来分 解,如第(1)小题的a+b.第(2) (3)小题也可以先通过整式运算展 开,然后分解因式,不过运算量较 大,不可取. [跟 踪 训 练] 3. (1) 原 式 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 90 　专题特训（七）　因式分解的方法、技巧及应用 ▶ “答案与解析”见P34 类型一 因式分解的常规方法 (一) 提取公因式法 1. 下列各式中,运用提取公因式法分解因式正 确的是 ( ) A. 12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B. 3x2y-3xy=3y(x2-x) C. -a2+ab-ac=-a(a-b+c) D. x2y+5xy-y=y(x2+5x) 2. 分解因式:(1) a(2a+1)-4a-2= . (2) 10a(x-y)2+5ax(y-x)= . (二) 运用公式法 3. (2023·青岛市南期中)用公式法分解因式: ① x2+xy+y2=(x+y)2;② -x2+2xy- y2=-(x-y)2;③ x2+6xy-9y2=(x- 3y)2;④ -x2+14= 1 2+x 12-x .其中, 正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 分解因式: (1) (x+3)2-16. (2) (2023·重庆黔江期末)4(x+y)2- 20(x+y)+25. (三) 先提再套法 5. 下列因式分解中,正确的是 ( ) A. a2b-9ab2=a(a+3b)(a-3b) B. 2a2-4b2=2(a+2b)(a-2b) C. a3-2ab+ab2=a(a-b)2 D. a2b2-4a2b+4a2=a2(b-2)2 6. 分解因式: (1) (2024·宁波海曙期末)m2(n-3)+ 4(3-n). (2) -16axy-8ax2-8ay2. (四) 先套再提法 7. 分解因式: (1) (x+y+z)2-(x-y+z)2. (2) (a+2b)2+6(a+2b)(a-2b)+9(a- 2b)2. (五) 多次运用公式法 8. 分解因式: (1) -16+x4y4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 91 (2) (x2+6x)2+18(x2+6x)+81. (3) (a+b)4-2(a+b)2+1. 类型二 因式分解的技巧 (一) 先展开再分解法 9. 分解因式: (1) (2023·枣庄峄城一模)a2-5(2a-5). (2) 8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy. (二) 先局部再整体法 10. 分解因式:(x+3)(x+4)+(x2-9). (三) 分组分解法 11. 阅读下面的材料: 将一个多项式分组后,可提取公因 式或运用公式继续分解的方法称 为“分组分解法”. 例如:下列两个式子因式分解的方法就称为 “分组分解法”. ① am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+ bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n); ② x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)= x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1). 试用上述方法分解因式: (1) 4a2-x2+4xy-4y2. (2) ax+a2-2ab-bx+b2. (3) x2-y2-4x+6y-5. 类型三 因式分解的应用 (一) 判断整除性 12. 248-1可以被60和70之间的某两个数整 除,求这两个数. (二) 化简求值 13. (1) 已知b-a=-3,ab=-2,求-12a 3b+ a2b2-12ab 3的值. (2) (2023·无锡宜兴期中)已知4m+n= 40,2m-3n=5,求(m+2n)2-(3m-n)2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第4章　因式分解