4.3 第2课时 用完全平方公式分解因式-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

当x=-1,y=2时，原式=(-1 2)×[5×(一1)+2×2]=（一3）× (-1)=3. 14.因为x+2y+4=0, 所以x十2y=-4. 因为xy=3, 所以原式=一6.xy(x+2y)=-18× (一4)=72. 15.小明得到的这个结论正确 理由：设原三位数的个位上的数字为 x,十位上的数字为y,百位上的数字 为z(x,y,2为小于10的自然数，x≠ 0,之≠0，x≠之). 所以原三位数为100z十10y+x,新 得到的数为100x+10y十之. 所以新得到的数一原三位数= (100x+10y+之)-(100z+10y+ x)=100x+10y+之-100z-10y- x=99x-99x=99(x-x). 所以新得到的数与原数之差一定能被 99整除， 4.3用乘法公式分解因式 第1课时用平方差公式 分解因式 1.C2.D3.C4.4051 6.(1)原式=(2mn+1)(2mn-1). (2)原式=ab(a2-9)=ab(a十3)· (a-3). (3)原式=[a+2(a-b)][a-2(a b)]=(3a-2b)(2b-a). (4)原式=[3a-5(a+b)][3a+ 5(a+b)]=(-2a-5b)(8a+ 5b)=-(2a+5b)(8a+5b). (5)原式=(.x-2)(x2-16)=(x 2)(x+4)(x-4). 7.A解析：如图，图①中阴影部分的 面积=S正方无ACDE一S正方无AxF=Q2一 b2.因为图②中的阴影部分是把图① 中的BC与FE拼接在一起得到的高 为a一b的梯形，所以图②中阴影部分 的面积= 2(2b+2a)(a-b)=(a+ b)(a一b).因为阴影部分的面积不 变，所以a2-b2=(a十b)(a-b). ① a ② (第7题) 8.D解析：根据平方差公式分解因 式的特点，可知该指数可能是2,4,6， 8,10,共5个数，即这个指数所有可能 的结果有5种。 9.(1)(m+3)(m-3) 一方法归纳 先整理，再分解 有的含有括号的多项式在进 行因式分解时，无法直接利用提取 公因式法或公式法，对此要先利用 整式的乘法法则去括号，整理、化 简后根据所得结果的特征选择合 适的方法进行因式分解」 (2)(a-b)(3.x+y)(3.x-y) 8)(号x+2y)(号x-2y）· (日2+4w） 10.17解析：因为(n+17)2-n2 (n+17+n)(n+17-n)=17(2+ 17),所以(n十17)2一n2的值总可以 被17整除.所以k的值为17. 11.12解析：原式=[(a+1)+(b 1)][(a+1)-(b-1)]=(a+1+b 1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+ 2).当a+b-4=0即a+b=4,a b=1时，原式=4×(1+2)=12. 12.由题意，得剩余草地（涂色部分） 33 的面积是a2-4b2=(a+2b)(a- 2b)m. 当a=43,b=5时，(a+2b)(a- 2b)=(43+2×5)×(43-2×5)= 53×33=1749. 所以当a=43,b=5时，剩余草地（涂 色部分)的面积是1749m2. 13.原式=-2[(2a-b)2-(a+ 2b)2]=-2[(2a-b)+(a+2b)]· [(2a-b)-(a+2b)]=-2(3a+b)· (a-3b). 当3a+b=50,a-3b=11时，原式= -2×50×11=-1100. 14.因为a2-b2-5=0,c2-d- 2=0, 所以(a+b)(a一b)=5,(c+d)· (c-d)=2. 所以原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+ bd-ad-b)=Tc(a+b)+d(a+b)7. [c(a-b)-d(a-b)]=(a+b)(c+ d)(a-b)(c-d)=(a+b)(a-b)· (c+d)(c-d)=5×2=10. 15.(1)第@个等式为(21+2)2 (2m)2=4(2n+1). 因为(21+2)2-(2)2=(2m+2+ 2m)(21+2-2)=2(4n+2)= 4(2+1), 所以(2m+2)2-(2n)2=4(2n+1). (2)能. 假设172能写成两个连续偶数的平方 差，则由(1)，得4(2+1)=172，解得 n=21. 所以21=2×21=42,21+2=42+ 2=44. 所以172可以写成两个连续偶数的平 方差，这两个偶数是42和44. 第2课时用完全平方公式 分解因式 1.D2.D3.D4.±105.400 6.(1)原式=(2x-3)2 (2原式=（兮m+n)月 (3)原式=(x-y十5)2. (4)原式=2m(m2-6m+9)= 2m(m-3)2」 (5)原式=(y2-1)(x2+2x+1)= (y+1)(y-1)(x+1)2. 7.D解析：16-8x+x2=(4一x)2. 因为x>4,所以(4一x)2的算术平方 根为x一4.所以正方形的边长为(x 4)cm.所以正方形的周长是4(.x 4)=(4.x-16)cm. 8.D解析：a4-2a2+1=(a2 1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a+1)2· (a-1)2. 9.B解析：由题意，得2a+2b=14, ab=10,所以a+b=7.所以a3b+ ab3+2a262=ab (a2+b2+2ab)= ab(a+b)2=10X72=490. 10.(1)0.36解析：因为x+y 0.2,x+3y=1,所以2x+4y=1.2, 即x+2y=0.6.所以原式=(x+ 2y)2=0.36: (2)-2026解析：因为a与b互为 相反数，所以a十b=0.所以a2+ 2ab+b2-2026=(a+b)2-2026= 0-2026=-2026. 11.<解析：-a3b3-2a2b2-b= -ab(a262+2ab +1)=-ab (ab+ 1)2.因为a<0,b<0,所以ab>0. 所以-ab<0,ab+1>0.所以(ab+ 1)2>0.所以-ab(ab+1)2<0. 12.(1)原式=2[(x2+4)2 16.x2]=2(x2+4+4x)(x2+4 4x)=2(.x+2)2(.x-2)2」 (2)原式=-m[(a2+2)2-6(a2+ 2)+9]=-m(a2+2-3)2=-m· (a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. (3)原式=(x+y)2+2×(x+y)× 6(x+2y)+[6(x+2y)]2=[(x+ y)+6(x+2y)]=(x+y+6.x+ 12y)2=(7x+13y)2. 一方法归纳 因式分解的一般步骤 (1)提，指多项式中若含有公 因式，一般先用提取公因式法分解 (2)套，指提取公因式后，若符 合完全平方公式或平方差公式特 征的多项式，均可套用公式进行因 式分解. (3)查，一查括号，即因式分解 的结果只能出现小括号，若过程中 出现中括号、大括号，则需要转化 成小括号的形式，同时化简括号内 的多项式；二查各项是否分解彻 底，即要分解到不能再分解为止， 13.将x2-y2分解因式 原式=(x+y)2+4(x-y)2-4(x+ y)(x-y)=[(x+y)-2(x-y)]= (x+y-2x+2y)2=(3y-x)2. 14.(1)原式=m2-14m+49-49+ 24=(m2-14m+49)-25=(m 7)2-52=(m-7+5)(m-7-5)= (m-2)(m-12). (2)原式=-(m2-12m+36-36) 18=-(m-6)2+18. 因为无论m取何值时，一(m一6)2都 小于或等于0， 所以-(m-6)2+18≤18，则-(m 6)2+18有最大值，为18. 专题特训七因式分解的 方法、技巧及应用 1.C2.(1)(a-2)(2a+1) (2)5a(x-y)(x-2y) 3.B解析：x2+2xy+y2=(x+ y)2,故①不正确.一x2十2xy- y2=-(.x2-2xy+y2)=-(x y)2,故②正确.x2一6.xy+9y2= -3y),故③不正确-x2+} 子-=（分+x)(号-小，故④正 确.综上所述，正确的有②④，共2个 4.(1)原式=(x+3+4)(x+3 4)=(x+7)(x-1). (2)原式=[2(x+y)-5]=(2x+ 34 2y-5)2. 5.D解析：a2b-9ab2=ab(a- 9b),故选项A错误.2a2-4b2= 2(a2-2b2),故选项B错误.a3 2ab十ab2=a(a2一2b+b2),故选项C 错误.a2b2-4a2b+4a2=a2(b-2)2, 故选项D正确 6.(1)原式=m2(n-3)-4(n-3)= (n-3)(m2-4)=(n-3)(m- 2)(m+2). (2)原式=-8a(2.xy+x2+y2)= -8a(x+y)2. 7.(1)原式=[(x+y+之)+(x y+x)](z+y+)-(x-y+z)]= (x+y+之+x一y+之)(x+y+之 x+y-x)=2y(2x+2x)=4y(x+). (2)原式=[(a+2b)+3(a一2b)]2= [4(a-b)]2=16(a-b)2. 8.(1)原式=x4y4一16=(x2y2+ 4)(x2y2-4)=(x2y2+4)(xy+ 2)(xy-2). (2)原式=(x2+6.x+9)2=[(x+ 3)2]2=(x+3)4. (3)原式=[(a+b)2-1]=[(a+ b+1)(a+b-1)]=(a+b+1)2· (a+b-1)2. 9.(1)原式=a2一10a+25=(a-5)2, (2)原式=8.x2-16y2-7x2-xy+ xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y). 10.原式=(x+3)(x+4)+(x+3)· (x-3)=(x+3)[(x+4)+(x 3)]=(x+3)(2x+1). 11.(1)3(x-1)2. (2)①x2-xy+6.x-6y=(x2 xy)+(6.x-6y)=x(x-y)+6(x- y)=(x-y)(x+6). ②m2-n2+6m+9=(m2+6m+ 9)-n2=(m+3)2-n2=(m+3+ n)(m+3-n). (3)2a2-4a+4+2ab+b2=a2- 4a+4+a2+2ab+b2=(a-2)2+ (a+b)2=0, 所以a一2=0，a+b=0,即a=2, b=-2.拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 4.3 用乘法 第1课时用平 边基础进阶 1.(2025·绍兴二模)下列多项式中，能运用平 方差公式来分解因式的是 () A.a2+4b2 B.2a-b2 C.25a2-b2 D.-a2-62 2.把64一(3a一2b)2分解因式的结果是( A.(8+3a-2b)(8-3a-2b) B.(8+3a+2b)(8-3a-2b) C.(8+3a+2b)(8-3a+2b) D.(8+3a-2b)(8-3a+2b) 3.给出下列因式分解：①x2十（一y)2=(x+ y)(x-y);②16a2-25=(4a+5)(4a-5): ③-9+4x2=(2x+3)(2x-3);④x2y y=y(x一1)(x+1).其中，正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.计算20262一2025的结果是 5.已知a2一9b2=5,a+3b=-2,则代数式a一 3b的值为 6.分解因式： (1)-1+4m2n2. (2)a3b-9ab. (3)a2-4(a-b)2. 86 公式分解因式 拍照批改 方差公式分解因式 >“答案与解析”见P33 (4)9a2-25(a+b)2. (5)x2(x-2)-16(x-2). 幻素能攀升 7.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长 为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪成 两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形，通过 计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个 等式为 () (第7题) A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-ab=a(a-b) 8.小聪在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 x的指数，他只知道该数为不大于10的正整 数，并且能利用平方差公式分解因式，抄在作 业本上的式子为x口一4y2(“☐”表示漏抄的 指数)，则这个指数所有可能的结果有() A2种B.3种C.4种D.5种 9.分解因式： (1)*(m+1)(m-9)+8m= (2)9x2(a-b)+y2(b-a)= (3)7-16y= 10.若n为任意整数，且(n+17)2一n2的值总 可以被k(k为正整数，且k≠1)整除，则k 的值为 11.若a+b一4=0，a一b=1,则 (a+1)2-(b一1)的值为 答案讲解 12.如图，某街心花园要在一块边长为am的正 方形草地的四个角上各设计一个边长为 bm(b<号)的正方形景点.利用因式分解， 请你计算当a=43,b=5时，剩余草地（涂色 部分)的面积 单位：m (第12题)》 13.若3a+b=50,a-36=11,求-2(2a-b)2+ 2(a十2b)2的值. 第4章因式分解 14.已知a2-b2-5=0,c2-d2-2=0,求(ac+ bd)2-(ad+bc)2的值. 的思维拓展 15.新考法·探究题观察两个连续偶数 的平方差： ①42-22=12； 答案讲解 ②62-42=20： ③82-62=28； …… (1)请写出第@个等式，并验证这个规律的 正确性 (2)172是否可以写成两个连续偶数的平方 差？如果能，请写出这两个偶数；如果不能， 请说明理由 87