4.2 提取公因式法-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

(子ry)]°=(6xy=r, N=(-3xyy÷（2xy) 9ry÷(2xy）=-18xy, 所以M+N=36.x4y4-18x3y3. (2)由(1)，得N2÷M (-18x3y3)÷36.xy4=324xy6÷ 36.xy=9x2y2. 6.(1)(x-2)(x2+mx)=x3十 mx2-2x2-2m.x=x3+(m-2)· x2-2m.x, 因为展开式中不含x的二次项， 所以m一2=0，解得m=2. (2)原式=4m2一4m+1+m2一9 (2m2-4m)=4m2-4m+1+m2 9-2m2+4m=3m2-8. 当m=2时，原式=3×22-8=4. 7.铺设草坪的面积为(3a一b)(a十 2b)-(a-b)2-[3a-b-(a-b)]× 2-[a+2b-(a-b)]×2=3a2+ 5ab-2b2-a2-b2+2ab-2a×2 3b×2=(2a2+7ab-3b2-4a-6b)平 方米 第4章因式分解 4.1因式分解的意义 1.D2.D3.C4.(1)整式的乘 法因式分解互逆(2)99× (99+1)9900 5. 6.(1)因为3xy(x+y)(x-y)= 3.xy(x2-y2)=3x3y-3xy3, 所以3.x3y一3.xy3=3xy(x+y)(x y)正确. (2)因为(2a+1)(2a一1)=4a2-1≠ 2a2-1, 所以2a2-1=(2a+1)(2a-1)不 正确。 (3)因为(x一1)(x-2)=x2一2x x+2=x2-3.x+2, 所以x2-3x+2=(x-1)(x-2) 正确。 7.B8.B 9.B解析：由题意，可知x2一kx一 24=(a.x+12)(x-2),所以x2 kx-24=a.x2-2a.x+12x-24.所以 x2-kx-24=a.x2-(2a-12)x 24.所以a=1,2a-12=k.把a=1代 人2a一12=k中，得2-12=k.所以 k=-10. 10.611.-12 12.x2+6.x+8=(x+4)(x+2) 解析：由题图可知，左边四个长方形的 面积和为x2+2x+4x十8=x2+ 6x十8，所拼成的大长方形的长为x+ 4,宽为x十2，故其面积为(x+4)· (x十2).由此可知，x2十6.x十8 (x+4)(x+2) 13.2026+2026×3既能被2026整 除，又能被2029整除， 因为20262+2026×3=2026× (2026+3)=2026×2029, 所以20262+2026×3既能被2026 整除，又能被2029整除， 14.(1)被墨水污染的一次式为(x 2)(2x+5)-(2.x2+3.x-6)=2x2+ 5.x-4x-10-2.x2-3x+6= -2.x-4. (2)根据题意，得一2x一4=2，解得 x=-3. 15.设另一个因式为x+a,则2x2+ 3x-k=(2x-5)(x+a). 所以2x2+3.x一k=2x2+(2a 5)x-5a 2a-5=3, 所以 解得=4， {-5a=-k, k=20. 所以另一个因式为x+4,k的值 为20. 4.2提取公因式法 1.D2.C3.D4.ab(a+b) 5.(1)-(2)+(3) 6.(1)原式=5x2y2(y-5.x). (2)原式=5a3b2(2ab-3a+4b). (3)原式=(2m+3m-n)(2m-n) 32 2(m+n)(2m-n). (4)原式=(x-2y)(x+3y-x+ 2y)=5y(x-2y). 7.C 8.A解析：因为2ab-4ab2= 2ab(a-2b)=-20,a-2b=5, 所以2ab=一4，即ab=一2. 9.A解析：因为长方体纸盒的底面 是边长为b一2a的正方形，所以长方 体纸盒的底面积为(b-2a)2.因为长 方体纸盒的侧面由4个长为b-2a、 宽为a的长方形组成，所以长方体纸 盒的侧面积为a·(b一2a)·4= 4a(b-2a).所以M=(b-2a)2- 4a(b-2a)=(b-2a)(b-2a-4a)= (b-2a)(b-6a). 10.(a+b-1)2解析：(a+b)· (a+b-1)-a-b+1=(a+b)(a+ b-1)-(a+b-1)=(a+b-1)(a+ b-1)=(a+b-1)2. 11.n≥4解析：因为多项式a3b4一 ab"c的公因式为ab,所以单项式 a3b,ab”c中a,b的最小指数分别为 1,4.所以n≥4. 12.(1)原式=-2x3y(4x-3y+1). 方法归纳 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数 是负号时，一般先提出负号，提出 负号后，括号内的各项都要变号 (2)分解因式时不要漏项」 (2)原式=(2a一3b)(x+3+3.x- 1-5.x-7)=-(2a-3b)(.x+5). (3)原式=是a-2a)>[2a+(x 1 2a]=4ax(x-2a)2. 13.(1)原式=m(m+n)(m-n m-n)=-2mm(m+n). 当m十n=1,m=合时，原式 -2x日×1= 6 (2)原式=(.x-y)[2x+5y+3(x- y)J=(x-y)(5x+2y). 当x=-1,y=2时，原式=(-1 2)×[5×(一1)+2×2]=（一3）× (-1)=3. 14.因为x+2y+4=0, 所以x十2y=-4. 因为xy=3, 所以原式=一6.xy(x+2y)=-18× (一4)=72. 15.小明得到的这个结论正确 理由：设原三位数的个位上的数字为 x,十位上的数字为y,百位上的数字 为z(x,y,2为小于10的自然数，x≠ 0,之≠0，x≠之). 所以原三位数为100z十10y+x,新 得到的数为100x+10y十之. 所以新得到的数一原三位数= (100x+10y+之)-(100z+10y+ x)=100x+10y+之-100z-10y- x=99x-99x=99(x-x). 所以新得到的数与原数之差一定能被 99整除， 4.3用乘法公式分解因式 第1课时用平方差公式 分解因式 1.C2.D3.C4.4051 6.(1)原式=(2mn+1)(2mn-1). (2)原式=ab(a2-9)=ab(a十3)· (a-3). (3)原式=[a+2(a-b)][a-2(a b)]=(3a-2b)(2b-a). (4)原式=[3a-5(a+b)][3a+ 5(a+b)]=(-2a-5b)(8a+ 5b)=-(2a+5b)(8a+5b). (5)原式=(.x-2)(x2-16)=(x 2)(x+4)(x-4). 7.A解析：如图，图①中阴影部分的 面积=S正方无ACDE一S正方无AxF=Q2一 b2.因为图②中的阴影部分是把图① 中的BC与FE拼接在一起得到的高 为a一b的梯形，所以图②中阴影部分 的面积= 2(2b+2a)(a-b)=(a+ b)(a一b).因为阴影部分的面积不 变，所以a2-b2=(a十b)(a-b). ① a ② (第7题) 8.D解析：根据平方差公式分解因 式的特点，可知该指数可能是2,4,6， 8,10,共5个数，即这个指数所有可能 的结果有5种。 9.(1)(m+3)(m-3) 一方法归纳 先整理，再分解 有的含有括号的多项式在进 行因式分解时，无法直接利用提取 公因式法或公式法，对此要先利用 整式的乘法法则去括号，整理、化 简后根据所得结果的特征选择合 适的方法进行因式分解」 (2)(a-b)(3.x+y)(3.x-y) 8)(号x+2y)(号x-2y）· (日2+4w） 10.17解析：因为(n+17)2-n2 (n+17+n)(n+17-n)=17(2+ 17),所以(n十17)2一n2的值总可以 被17整除.所以k的值为17. 11.12解析：原式=[(a+1)+(b 1)][(a+1)-(b-1)]=(a+1+b 1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+ 2).当a+b-4=0即a+b=4,a b=1时，原式=4×(1+2)=12. 12.由题意，得剩余草地（涂色部分） 33 的面积是a2-4b2=(a+2b)(a- 2b)m. 当a=43,b=5时，(a+2b)(a- 2b)=(43+2×5)×(43-2×5)= 53×33=1749. 所以当a=43,b=5时，剩余草地（涂 色部分)的面积是1749m2. 13.原式=-2[(2a-b)2-(a+ 2b)2]=-2[(2a-b)+(a+2b)]· [(2a-b)-(a+2b)]=-2(3a+b)· (a-3b). 当3a+b=50,a-3b=11时，原式= -2×50×11=-1100. 14.因为a2-b2-5=0,c2-d- 2=0, 所以(a+b)(a一b)=5,(c+d)· (c-d)=2. 所以原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+ bd-ad-b)=Tc(a+b)+d(a+b)7. [c(a-b)-d(a-b)]=(a+b)(c+ d)(a-b)(c-d)=(a+b)(a-b)· (c+d)(c-d)=5×2=10. 15.(1)第@个等式为(21+2)2 (2m)2=4(2n+1). 因为(21+2)2-(2)2=(2m+2+ 2m)(21+2-2)=2(4n+2)= 4(2+1), 所以(2m+2)2-(2n)2=4(2n+1). (2)能. 假设172能写成两个连续偶数的平方 差，则由(1)，得4(2+1)=172，解得 n=21. 所以21=2×21=42,21+2=42+ 2=44. 所以172可以写成两个连续偶数的平 方差，这两个偶数是42和44. 第2课时用完全平方公式 分解因式 1.D2.D3.D4.±105.400 6.(1)原式=(2x-3)2 (2原式=（兮m+n)月 (3)原式=(x-y十5)2.第4章 因式分解 4.1因式 白基础进阶 1.(2025·嘉兴期中)下列从左到右的变形，是 因式分解的为 A.3a2b2=3ab·ab B.x2+x-3=x(x+1)-3 C.(a+3)(a-3)=a2-9 D.2a2+4a=2a(a+2) 2.若一个多项式分解因式的结果是b(b十2)， 则这个多项式为 () A.b2-4 B.4-b3 C.b3+2 D.63+26 3.下列多项式中，分解因式的结果为(3a y)(3a+y)的是 A.9a2+y2 B.-9a2+y2 C.9a2-y2 D.-9a2-y2 4.(1)对于a(a十b)=a2十ab,从左到右的变 形是 ,从右到左的变形是 它们具有 关系 (2)简便计算：99+992= 5.把左右两边相等的代数式连起来： 51mn-10m2 (十6n)2 m2-4n2 5m(n-2m) m2+1mm-2m2 (m+2)(m-n) m2+12m+36m (m+2)(m-2m） 6.检验下列因式分解是否正确 (1)3.x3y-3xy3=3.xy(x+y)(x-y). 82 拍照批改 分解的意义 ●“答案与解析”见P32 (2)2a2-1=(2a+1)(2a-1). (3)x2-3x+2=(x-1)(x-2). )素能攀升 7.给出下列从左到右的变形：①2x2y=4x· 6xy;②x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1: ③xm+xm=xm(x3m+1);④x2+1= z(x+2）,⑤x2-9y2=(x+3y)x-3y. 其中，是因式分解的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.利用因式分解简便计算57×99+44×99一 99,正确的是 () A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 9.(2025·浙江期中)已知将多项式 x2一kx一24进行因式分解的结果为 (ax十12)(x一2)，则k的值是()答案讲解 A.10B.-10C.±10D.14 10.多项式x2+5.x十a分解因式后的一个因式 为x+2,则a= 11.若4a2+kab+9b2可以因式分解为(2a一 3b)2,则k的值为 12.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式 的因式分解： 口0口0一 (第12题) 13.20262+2026×3能被2026整除吗？能被 2029整除吗？为什么？ 14.下面是一个正确的因式分解，但是其中部分 一次式被墨水污染看不清了. 2x2+3x-6十=(x-2)(2x十5). (1)求被墨水污染的一次式 (2)若被墨水污染的一次式的值为2，求x 的值 第4章因式分解 思维拓展 15.新考法·阅读理解阅读材料. 例题：已知二次三项式x2一4x十m 有一个因式为x十3，求另一个因式答案讲解 以及m的值 解：设另一个因式为x十n, 则x2-4x+m=(x十3)(x十n). 所以x2一4x+m=x2+(n+3)x十3m. n十3=一4，m n=-7, 所以 解得{ m=3n, m=-21. 所以另一个因式为x一7，m的值为一21. 仿照以上方法解答问题： 已知二次三项式2x2十3x一k有一个因式 为2x一5，求另一个因式以及k的值， 83