4.1 因式分解的意义-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

(子ry)]°=(6xy=r, N=(-3xyy÷（2xy) 9ry÷(2xy）=-18xy, 所以M+N=36.x4y4-18x3y3. (2)由(1)，得N2÷M (-18x3y3)÷36.xy4=324xy6÷ 36.xy=9x2y2. 6.(1)(x-2)(x2+mx)=x3十 mx2-2x2-2m.x=x3+(m-2)· x2-2m.x, 因为展开式中不含x的二次项， 所以m一2=0，解得m=2. (2)原式=4m2一4m+1+m2一9 (2m2-4m)=4m2-4m+1+m2 9-2m2+4m=3m2-8. 当m=2时，原式=3×22-8=4. 7.铺设草坪的面积为(3a一b)(a十 2b)-(a-b)2-[3a-b-(a-b)]× 2-[a+2b-(a-b)]×2=3a2+ 5ab-2b2-a2-b2+2ab-2a×2 3b×2=(2a2+7ab-3b2-4a-6b)平 方米 第4章因式分解 4.1因式分解的意义 1.D2.D3.C4.(1)整式的乘 法因式分解互逆(2)99× (99+1)9900 5. 6.(1)因为3xy(x+y)(x-y)= 3.xy(x2-y2)=3x3y-3xy3, 所以3.x3y一3.xy3=3xy(x+y)(x y)正确. (2)因为(2a+1)(2a一1)=4a2-1≠ 2a2-1, 所以2a2-1=(2a+1)(2a-1)不 正确。 (3)因为(x一1)(x-2)=x2一2x x+2=x2-3.x+2, 所以x2-3x+2=(x-1)(x-2) 正确。 7.B8.B 9.B解析：由题意，可知x2一kx一 24=(a.x+12)(x-2),所以x2 kx-24=a.x2-2a.x+12x-24.所以 x2-kx-24=a.x2-(2a-12)x 24.所以a=1,2a-12=k.把a=1代 人2a一12=k中，得2-12=k.所以 k=-10. 10.611.-12 12.x2+6.x+8=(x+4)(x+2) 解析：由题图可知，左边四个长方形的 面积和为x2+2x+4x十8=x2+ 6x十8，所拼成的大长方形的长为x+ 4,宽为x十2，故其面积为(x+4)· (x十2).由此可知，x2十6.x十8 (x+4)(x+2) 13.2026+2026×3既能被2026整 除，又能被2029整除， 因为20262+2026×3=2026× (2026+3)=2026×2029, 所以20262+2026×3既能被2026 整除，又能被2029整除， 14.(1)被墨水污染的一次式为(x 2)(2x+5)-(2.x2+3.x-6)=2x2+ 5.x-4x-10-2.x2-3x+6= -2.x-4. (2)根据题意，得一2x一4=2，解得 x=-3. 15.设另一个因式为x+a,则2x2+ 3x-k=(2x-5)(x+a). 所以2x2+3.x一k=2x2+(2a 5)x-5a 2a-5=3, 所以 解得=4， {-5a=-k, k=20. 所以另一个因式为x+4,k的值 为20. 4.2提取公因式法 1.D2.C3.D4.ab(a+b) 5.(1)-(2)+(3) 6.(1)原式=5x2y2(y-5.x). (2)原式=5a3b2(2ab-3a+4b). (3)原式=(2m+3m-n)(2m-n) 32 2(m+n)(2m-n). (4)原式=(x-2y)(x+3y-x+ 2y)=5y(x-2y). 7.C 8.A解析：因为2ab-4ab2= 2ab(a-2b)=-20,a-2b=5, 所以2ab=一4，即ab=一2. 9.A解析：因为长方体纸盒的底面 是边长为b一2a的正方形，所以长方 体纸盒的底面积为(b-2a)2.因为长 方体纸盒的侧面由4个长为b-2a、 宽为a的长方形组成，所以长方体纸 盒的侧面积为a·(b一2a)·4= 4a(b-2a).所以M=(b-2a)2- 4a(b-2a)=(b-2a)(b-2a-4a)= (b-2a)(b-6a). 10.(a+b-1)2解析：(a+b)· (a+b-1)-a-b+1=(a+b)(a+ b-1)-(a+b-1)=(a+b-1)(a+ b-1)=(a+b-1)2. 11.n≥4解析：因为多项式a3b4一 ab"c的公因式为ab,所以单项式 a3b,ab”c中a,b的最小指数分别为 1,4.所以n≥4. 12.(1)原式=-2x3y(4x-3y+1). 方法归纳 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数 是负号时，一般先提出负号，提出 负号后，括号内的各项都要变号 (2)分解因式时不要漏项」 (2)原式=(2a一3b)(x+3+3.x- 1-5.x-7)=-(2a-3b)(.x+5). (3)原式=是a-2a)>[2a+(x 1 2a]=4ax(x-2a)2. 13.(1)原式=m(m+n)(m-n m-n)=-2mm(m+n). 当m十n=1,m=合时，原式 -2x日×1= 6 (2)原式=(.x-y)[2x+5y+3(x- y)J=(x-y)(5x+2y).拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 拍照批改 第3章整合拔尖 》“答案与解析”见P31 知识体系构建 同底数幂的 同底数幂的乘法.a”.a=a"“(m,n都是正整数) 乘法 幂的乘方(a")”=a"(m,n都是正整数) 积的乘方_(ab)=ab(n为正整数) 单项式与单项式相乘的法则 单项式的乘法 单项式与多项式相乘的法则 多项式的乘法 法则。先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 字母表示(atn)(btm)=ab+am+nb+nm 文字描述两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 乘法公式 平方差公式 字母表示(a+b)(a-b)=a-b 整式的乘除 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和， 完全平方公式 文字描述 加上（或减去）这两数积的2倍 字母表示 (a+b)2=a2+2ab+b (a-b)2=a2-2ab+b 整式的化简 顺序。先乘方、再乘除、最后算加减 原则，能运用乘法公式的则运用公式 同底数幂的 法则同底数幂相除，底数不变，指数相减 除法 字母表示a"÷aa(a≠0，m,n都是正整数，且m>n) 零指数幂。a=1(a≠0) 负整数指数幂4立a≠0，p是正整数) 整式的除法 单项式除以单项式的法则 多项式除以单项式的法则 9)高频考点突破 考点一 幂的运算性质 考点二 逆用幂的运算性质求值 典例1(2025·凉山)下列运算正确的是( 典例2(2024·金华东阳期中)若4”=18,8"= A.m+m=m B.(mn2)5=mn 9,则22m-3m+1的值为 () C.m3·m2=m9 D.m8÷m2=m0 A.11 B.3 C.4 D.164 [变式](2025·杭州西湖模拟)下列计算结果正 提示一 逆用同底数幂的乘法、除法法则将2m+1变 确的是 ( 形为2m÷2×2,只要根据已知条件通过适当变形 A.x4·x2=x8 B.x6÷(-x)3=-x3 确定出2m与2”的值后即可求得结果. C.(a5)2=a7 D.(-3x)2=6.x2 78 第3章整式的乘除 [变式]已知9m=3,27”=4,则32m+”的值为 考点四乘法公式的变形 ( 典例4若a+b=10,ab=11,则代数式a2一ab+ A.1 B.6 C.7 D.12 b2的值是 （) 考点三与多项式乘法相关的缺项问题 A.89 B.-89 典例3★(2024·台州椒江期中)已知关于x C.67 D.-67 的多项式mx一n与2x2一3x十4的乘积的结果 提示 把a十b=10两边平方，利用完全平方公式化 中不含x的二次项，且常数项为一6，求m十n 简，将ab=11代入求出a2十b2的值，代入原式计算 的值. 即可得到结果 提示 先根据多项式乘多项式的运算法则，计算并化 [变式]若(x一y)2=4,xy=3,则(x+y)= 简两个已知的多项式的乘积，然后根据这个乘积的结 果中不含x的二次项，且常数项为一6，得到关于m, 考点五用科学记数法表示较小的数 n的方程组，解方程组即可求得m,n的值，进而可得 m十n的值. 典例5一个正方体盲盒的棱长为0.4m. (1)这个盲盒的体积是多少（用科学记数法 表示)？ (2)若一个小立方块的棱长为1×103m,则需 要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？ [变式](2025·温州瑞安期中)已知关于x的多 项式a.x十b与3x2一x一2的乘积的展开式中不 含x的二次项，且一次项的系数为一7，则ab的 值为 79 拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 [变式]光具有很多性质，比如它的速度最快为[变式](2025·杭州期中)先化简，再求值：(x十 每秒300000km,它按粒子性和波动性运动.我 3)(x-3)-4x(x-1)+(x-1),其中x的值 们日常用肉眼感受到的光称为可见光，它可分 满足x2一x一2=0. 解为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色，它的波长入 4000~7600A,其中1A=10-8cm.请用科学记 数法表示可见光的波长在多少米至多少米之间. 考点六整式的化简求值 典例6(2025·嘉兴期中)张老师在黑板上布 置了一道题： 已知y=-1,求代数式[(x+2y)2+(x+ 考点七求与多项式乘法相关的不规则图形的 y)(y-x)-5y2]÷(2x)的值，小白和小红展开 面积 了讨论（如图）. 典例7边长分别为a和b(a>b)的两个正方 形按如图所示的方式摆放，则图中涂色部分的面 只知道y的值，没 这道题与x的 有告诉x的值，求 值无关，是可 积为 不出答案。 以求的. A. a2+b2 小白 小红 2 (典例6图》 B.2ab 根据上述情景，你认为谁说得对？请说明理由 a -b 并将代数式化简求值. C.ab (典例7图) D a2-b2 2 [变式]如图，将边长分别为a和b(a<b)的两 个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 80 第3章整式的乘除 综合素能提升 1.下列运算正确的是 )6.(2025·杭州西湖期中)已知多项式(x一2)· A.(-3xy)2=3x2y2 (x2十mx)的展开式中不含x的二次项. B.3x2+4x2=7x4 (1)求m的值： C.t(3t2-t+1)=3t3-t2+1 (2)化简：(2m-1)2+(m+3)(m-3)-2m· D.(-a3)4÷(-a4)3=-1 (m一2)并在(1)的条件下求值， 2.已知25×5弘=56,4÷4=4，则代数式 a2+ab+3c的值为 A.3 B.6 C.7 D.8 3.若(a-b)2=17,ab=-3,则代数式[8(a+ b)7-4(a+b)5+(-a-b)3]÷[2(a+b)3] 的值为 4.新考向·跨学科雷达可用于飞机导航，也可用 来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向飞机发 射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达 接收.已知飞机与雷达之间的距离是7.86× 7.如图，某小区准备修建一个长AD为(3a 103米，电磁波的传播速度为3×10米/秒，则 b)米、宽AB为(a+2b)米的长方形广场 整个过程共用了 秒（飞机的速度忽 ABCD.在长方形ABCD内修筑一个正方形 略不计) 活动区EFGH和连接活动区到长方形 5.已知M= -2y=(-N ABCD四边的四条笔直小路，正方形活动区 的边长为(a一b)米，小路的宽均为2米.活动 (-3÷(ry求： 区与小路铺设鹅卵石，其他地方铺设草坪（图 中涂色部分)，求铺设草坪的面积（用含有a, (1)M+N. b的代数式表示，结果写成最简形式). (2)N2÷M. (第7题) 81