4.1 因式分解的意义 同步培优 2025-2026学年 浙教版七年级数学下册

4.1 因式分解的意义 模块一：知识清单 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 模块二：同步培优题库 全卷共24题 测试时间：70分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可． 【详解】解：A．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； B．，原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法（平方差公式和完全平方公式），十字相乘法等． 2．判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】A．是因式分解，不符合题意； B．是乘法运算，符合题意； C．是因式分解，不符合题意； D．是因式分解，不符合题意；故选B． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 3．若分解因式，则（ ）． A．10 B．-11 C．11 D．-10 【答案】B 【分析】根据整式的乘法计算，即可求得的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：＝ 解得故答案为：B 【点睛】本题考查因式分解与整式的乘法运算，掌握因式分解与整式的乘法之间的关系是解题的关键． 4．下列各选项中，因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别对各式因式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意； C、原式=（m-2）2，符合题意；D、原式=-2y（y-3），不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5．已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，然后代入求值即可． 【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6， 解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故选：A． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的关键． 6．若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】 把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值． 【详解】又 ，，均为整数故选C． 【点睛】本题考查多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键． 7．在中，若有一个因式为，则k的值为（　　　） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解． 【详解】解：设， ∵ ，∴，， ，解得，，．故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 8．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由多项式分解因式后有一个因式是得出当时，多项式的值为，由此得出关于的方程，求出方程的解即可， 【详解】解：多项式分解因式后有一个因式是， 当时，多项式的值为， 即，解得：，故选． 【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键． 9．已知多项式3x2＋bx＋c分解因式为3(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（ ） A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝-9 C．b＝－6，c＝9 D．b＝－4，c＝-6 【答案】B 【分析】根据整式的计算，得到3(x－3)(x＋1)=，根据两个整式相等，得到一次项系数和常数项分别相等，即可得出结果． 【详解】3x2＋bx＋c=3(x－3)(x＋1) ，c=-9，故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算及代数式相等的条件，属于基础题，将已知的式子进行乘法运算是解题的关键． 10．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先设原式，进而求出即可． 【详解】解：原式 故，，， 解得：，，或，，，∴．故选C． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 11．若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 【详解】解：根据题意设， ∴，，解得：，．故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 12．对于①，②，从左到右的变形表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法运算 C．①是因式分解，②是整式乘法运算 D．①是整式乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法． 故选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解和整式乘法的定义，掌握解因式分解是整式乘法的逆运算成为解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．若多项式可以因式分解成，那么a=_____． 【答案】1 【分析】把展开后合并，根据对应系数相等即可得出关于的方程，求出即可． 【解析】解：， 即，，解得：．故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键． 14．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____． 【答案】21． 【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可． 【解析】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6， 乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为：21． 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解． 15．若能分解成，则的值为______． 【答案】 【分析】根据多项式分解成，所以整式乘法得出的多项式与相同，由此得出一次项系数的值． 【详解】解：， ∵是由分解成的，∴一次项系数．故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握整式乘法与因式分解为互逆的运算过程是解题的关键． 16．已知多项式能分解为，则______，______． 【答案】     ；     ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：．故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 17．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________. 【答案】 【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可． 【解析】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)， 即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6， ∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)， ∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得， ②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得, ③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得， ④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得， ∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7， ∴整数k的值是7，-7．故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解． 18．已知为实数，若均为多项式的因式，则__________. 【答案】100 【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可. 【解析】解法一（直接展开法）：均为多项式的因式，且三次项系数为1 设另一个因式为 则 整理得：由此可得： 解法二（利用方程或等式的性质）：均为多项式的因式，且三次项系数为1 设另一个因式为 则 取x=1和x=-4带入上面的方程中得到：解得： =100；故答案为：100. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解、以及乘法法则，依据题意正确设立第三个因式是解题关键. 三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值． 【答案】k=2，m=1． 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，进而得出m，k的值． 【解析】解：∵多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）（x-4y）的形式， ∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y）=2mx2-8mxy+2xy-8y2=2mx2-（8m-2）xy-8y2，∴8m-2=6， 解得：m=1，故k=2，m=1． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键． 20．已知二次三项式有一个因式是，另一个因式为（a、b为常数），求另一个因式及k的值． 【答案】另一个因为，k的值为65 【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得，结合，进而得出方程组，可得答案． 【详解】解：由题意可得：， 而， ∴，解得：，∴另一个因式为，k的值为65． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解三元一次方程组，理解题意建立方程组是解题的关键． 21．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则，，，解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5． 【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝， ∴a﹣1＝﹣5，解得：a＝﹣4；故答案是：﹣4 （2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，∴b＝﹣1．故答案是：﹣1． （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n）， 则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，解得n＝5，k＝5， ∴另一个因式为x+5，k的值为5． 【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 22．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 【答案】(1)；；；(2)解题过程见详解，(3)； 【分析】（1）根据材料提示，当时，的值为，由此即可求解； （2）多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，根据材料提示，即可求解；（3）多项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为，根据材料提示，即可求解． 【详解】（1）解：当时，的值为， ∴原式可分解为与另一个整式的积，设另一个整式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴，故答案为：；；；． （2）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，则， ∵，∴， ∴，解方程得，，∴多项式（为常数）为， ∴因式分解为． （3）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解方程组得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因数分解为，故答案为：，． 【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴，解得：，，∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为． 【分析】根据例题的方法进行计算即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，得：， 则 ∴解得：，∴另一个因式为，的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，准确进行计算． 24．阅读：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解“设另一个因式为，得则 ∴解得∴另一个因式为，的值为 问题：仿照上述方法解答下列问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． (2)已知有一个因式，则______． 【答案】(1)另一个因式为x+4，k的值为20 (2)18 【分析】（1）设另一个因式为x+n，依题意得＝，列出式子计算即可； （2）设另一个因式是2x+n，根据题意得=，即可列式得解； （1）设另一个因式为x+n，依题意得＝， 即， 比较系数得：，解得：，∴另一个因式为x+4，k的值为20； （2）设另一个因式是2x+n，根据题意得=， 即，= 比较系数得：，解得：，故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，准确分析计算是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1因式分解的意义 模块一：知识清单 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 模块二：同步培优题库 全卷共24题 测试时间：70分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．若分解因式，则（ ）． A．10 B．-11 C．11 D．-10 4．下列各选项中，因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 6．若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ） A．2 B．4 C． D． 7．在中，若有一个因式为，则k的值为（　　　） A．2 B． C．6 D． 8．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知多项式3x2＋bx＋c分解因式为3(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（ ） A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝-9 C．b＝－6，c＝9 D．b＝－4，c＝-6 10．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 11．若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 12．对于①，②，从左到右的变形表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法运算 C．①是因式分解，②是整式乘法运算 D．①是整式乘法运算，②是因式分解 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．若多项式可以因式分解成，那么a=_____． 14．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____． 15．若能分解成，则的值为______． 16．已知多项式能分解为，则______，______． 17．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________. 18．已知为实数，若均为多项式的因式，则__________. 三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值． 20．已知二次三项式有一个因式是，另一个因式为（a、b为常数），求另一个因式及k的值． 21．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则，，，解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 22．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴，解得：，，∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 24．阅读：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解“设另一个因式为，得则 ∴解得∴另一个因式为，的值为 问题：仿照上述方法解答下列问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． (2)已知有一个因式，则______． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$