4.1 因式分解的意义（3大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级下册

4.1 因式分解的意义 题型一 整式乘法与因式分解 1．对于下列两个自左向右的变形： 甲：6x2y＝2x•3xy； 乙：x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1； 其中说法正确的是（　　） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【详解】解：因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故甲和乙都是错误的． 故本题选：B． 2．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【详解】解：x﹣3xy＝x（1﹣3y）是因式分解， （x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3是整式乘法． 故本题选：C． 3．若x2+kx+25＝（x﹣5）2，那么（　　） A．k＝10，从左到右是因式分解 B．k＝﹣10，从左到右是因式分解 C．k＝10，从左到右是乘法运算 D．k＝﹣10，从左到右是乘法运算 【详解】解：∵x2+kx+25＝（x﹣5）2＝x2﹣10x+25， ∴k＝﹣10，从左到右是因式分解． 故本题选：B． 4．数学老师布置了一道数学题：化简（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） … 解：原式＝（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）] … （1）对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是　　． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法 D．甲、乙都是因式分解 （2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【详解】解：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2），为整式的乘法， （x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]，为因式分解， 故本题选：A； （2）选择甲同学的解法： 原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2）＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣2y2， 选择乙同学的解法： 原式＝（x﹣y）[x+y﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（x+y﹣x+y）＝（x﹣y）•2y＝2xy﹣2y2． 题型二 因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的（　　） A．5x2y﹣10xy2＝5xy（x﹣2y） B．p（q+h）＝（pq+ph） C．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 D．x+2y＝（x+y）+y 【详解】解：5x2y﹣10xy2＝5xy（x﹣2y，从左到右是因式分解，故A符合题意； p（q+h）＝（pq+ph），是整式的乘法，不是因式分解，故B不合题意； 4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1，等式右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故C不合题意； x+2y＝（x+y）+y，等式右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故D不合题意． 故本题选：A． 2．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解． 故本题选：B． 3．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．（1+a）（1﹣a）＝1﹣a2 B． C．a2+4a﹣20＝（a﹣3）（a+7）+1 D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故A不合题意； B、等号右侧不是整式，不是因式分解，故B不合题意； C、没有把式子化为整式的乘积，不是因式分解，故C不合题意； D、是因式分解，故D符合题意． 故本题选：D． 4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy B．（x+y）•（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 D．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） 【详解】解：根据因式分解的定义， A、右边不是积的形式，不是因式分解，不合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不合题意； C、等号右侧不是积的形式，不是因式分解，不合题意； D、符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意． 故本题选：D． 5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2） C．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z 【详解】解：由因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）． 故本题选：B． 题型三 利用因式分解的意义求参 1．若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　） A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2 【详解】解：∵（x+5）（x﹣3） ＝x2+5x﹣3x﹣15 ＝x2+2x﹣15 ＝x2+px+q， ∴p＝2． 故本题选：D． 2．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　　，n＝　　． 【详解】解：∵x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m）， ∴x2﹣3x+n＝x2+（m﹣1）x﹣m， ∴m﹣1＝﹣3，n＝﹣m，解得：m＝﹣2，n＝2． 故本题答案为：﹣2，2． 3．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　　． 【详解】解：∵甲看错了b，但a是正确的，分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， ∵乙看错了a，但b是正确的，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴b＝9， ∴a+b＝15． 故本题答案为：15． 4．如果多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝　　． 【详解】解：∵多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2， ∵，， ∴另一个因式是（2x+1），即6x2﹣kx﹣2＝（3x﹣2）（2x+1）＝6x2﹣x﹣2， ∴k的值为1． 故本题答案为：1． 5．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　　． 【详解】解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2， ∴设另一个因式是x+a， 则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m， ∵（x2﹣x+2）（x+a） ＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a ＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a， ∴a﹣1＝0，2a＝m，解得：a＝1，m＝2． 故本题答案为：2． 6．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得：n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0， 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得：m＝﹣21， ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【详解】解：（1）设另一个因式为x+a， 则x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）， ∴x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得：a＝2，p＝1， 故本题答案为：1； （2）设另一个因式为（x+n）， 则2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）， ∴2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n， ∴，解得：n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 1．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 【详解】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①， 取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②， 由①、②解得m＝﹣5，n＝20． 2．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）， ∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0， ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0， ∴1﹣a﹣2＝0， ∴a＝﹣1． （1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　　． （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 【详解】解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n）， ∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0， ∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0， ∴25﹣5m﹣10＝0， ∴m＝3； 故本题答案为：3； （2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1， ∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）， ∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a+b+1＝0①， 当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a﹣b+1＝0②， 联立①②解得a＝4，b＝0， ∴2． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 因式分解的意义 题型一 整式乘法与因式分解 1．对于下列两个自左向右的变形： 甲：6x2y＝2x•3xy； 乙：x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1； 其中说法正确的是（　　） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 2．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 3．若x2+kx+25＝（x﹣5）2，那么（　　） A．k＝10，从左到右是因式分解 B．k＝﹣10，从左到右是因式分解 C．k＝10，从左到右是乘法运算 D．k＝﹣10，从左到右是乘法运算 4．数学老师布置了一道数学题：化简（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） … 解：原式＝（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）] … （1）对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是　　． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法 D．甲、乙都是因式分解 （2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 题型二 因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的（　　） A．5x2y﹣10xy2＝5xy（x﹣2y） B．p（q+h）＝（pq+ph） C．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 D．x+2y＝（x+y）+y 2．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．（1+a）（1﹣a）＝1﹣a2 B． C．a2+4a﹣20＝（a﹣3）（a+7）+1 D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2 4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy B．（x+y）•（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 D．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） 5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2） C．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z 题型三 利用因式分解的意义求参 1．若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　） A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2 2．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　　，n＝　　． 3．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　　． 4．如果多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝　　． 5．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　　． 6．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得：n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0， 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得：m＝﹣21， ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 1．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 2．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）， ∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0， ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0， ∴1﹣a﹣2＝0， ∴a＝﹣1． （1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　　． （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$