第2章 专题特训5 二元一次方程组的实际应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 拍照批改 专题特训四 二元一次方程（组)的 特殊解及其应用 >“答案与解析”见P18 类型一二元一次方程的特殊解 (2)若方程组的解满足x十y=0,求m的值. 1.(2025·杭州期中)二元一次方程2x+3y (3)无论实数m取何值，方程x一2y十mx十 15的正整数解的个数是 ( 5=0总有一组固定的解，请求出这个解. A.1 B.2 C.3 D.4 2.写出一个关于x,y的二元一次方程，使它的 自然数解有且仅有三个，这个方程可以是 x=4十3t·是一个二元一次方程的一组 3.若 y=4-2t 解，写出符合题意的二元一次方程，并写出这 个方程的所有正整数解， 类型三二元一次方程（组）的特殊解的实际应用 6.(2025·绍兴嵊州期中)某班为奖励在数学竞 赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了 甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其 中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元.购 买方案有 () A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 7.新情境·现实生活一个33人的旅游团到一家 类型二二元一次方程组的特殊解 酒店住宿，酒店的客房只剩下4间单人间和 4.已知关于x,y的二元一次方程组 若干间三人间，住宿价格是单人间每晚100元， 5x+y=16, 三人间每晚130元（说明：男士只能与男士 有正整数解，则k的值为 4x-y=9-k 同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以 不住满，但每间每晚仍需支付130元). 5.已知关于x,y的二元一次方程组 (1)若该旅游团一晚的住宿房费为1530元， x+2y-6=0, 则他们租住了 间单人间. x-2y+mx+5=0. (2)若该旅游团租住了3间单人间，且共有 (1)请直接写出方程x+2y一6=0的所有正 19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 整数解. 元 44 第2章二元一次方程组 8.(2025·绍兴诸暨期中)小明在某商 9.某工厂承接了一批纸箱加工任务， 场购买甲、乙两种商品若干次（每次 用如图①所示的长方形和正方形纸 甲、乙两种商品都购买)，其中前两答案讲解 板（长方形的宽与正方形的边长相答案讲解 次按标价购买，第三次购买时，甲、乙两种商 等)加工成如图②所示的竖式和横式两种无 品同时打折，三次购买甲、乙两种商品的数量 盖的长方体纸箱（加工时接缝材料不计）.该 和费用情况如下表所示： 工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一 购买甲商品 购买乙商品 购买 共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张， 的数量/件 的数量/件 总费用/元 全部加工成上述两种纸箱，且120<a<136, 第一次 6 4 880 个竖式纸箱的成本为300元，一个横式纸 第二次 4 6 920 箱的成本为200元，则关于这一天加工的两 第三次 9 8 912 种纸箱，当a取何值时成本最低，最低成本是 (1)求甲、乙两种商品每件的标价各是多 多少元？ 少元 横式 (2)若小明第三次购买时，甲、乙两种商品的 折扣相同，则商场是打几折出售这两种商 品的？ (第9题) (3)在(2)的条件下，若小明第四次购买甲、 乙两种商品共花去1200元，则小明可能有哪 几种购买方案？ 45y件乙种奖品.依题意，得4x十3y 48,所以x=12- 3 .又因为，y均 为正整数，所以r9, x=6, 或 或 y=4 y=8 x=3, 所以购买方案有3种. y=12. 7.(1)1解析：设该旅游团租住了 x间单人间，y间三人间.因为单人间 每晚100元，三人间每晚130元，所以 该旅游团一晚的单人间、三人间的住 宿房费分别为100x元、130y元.因为 该旅游团一晚的住宿房费为1530元， 所以100x+130y=1530.所以y= 153-10虹.因为酒店的客房只利下 13 4间单人间，所以x,y均为自然数，且 .当=4时y晋=8号不 合题意：当=3时y=将=-9合 913 不合题意：当x=2时，y=133 13 10,不合题意：当x=1时，y 11,符合题意；当x=0时，y户 骨=11号不合题意，所以 x=1, y=11. 所以他们租住了1间单人间. (2)1600解析：当租住的三人间全 部住满时，租住一晚的住宿房费最少 因为有19名男士，所以女士有33 19=14(名).因为19÷3=6（间）… 1(名)，14÷3=4（间）…2（名），男女 不能混住，所以租住一晚的住宿房费 最少的租住方案为租住的3间单人间 里面1间住男士，2间住女士，另租住 6十4=10（间）三人间，此时租住一晚 的住宿房费为100×3+130×10= 1600(元)，即租住一晚的住宿房费最 少为1600元 8.(1)设甲商品每件的标价是x元， 乙商品每件的标价是y元. 6x+4y=880, 依题意，得 4x+6y=920, x=80, 解得 y=100. 所以甲商品每件的标价是80元，乙商 品每件的标价是100元 (2)设商场是打m折出售这两种商 品的。 依题意，得9X80×品十8X10× m 10 =912,解得m=6. 所以商场是打6折出售这两种商 品的. (3)设小明购买了a件甲种商品， b件乙种商品 依题意，得80×0.6a+100×0.6b= 1200, 所以b=20-50. 4 又因为a,b均为正整数， .a=5, {a=10,.{a=15 所以 或《 或 b=16b=12 b=8 .{a=20, 或 6=4. 所以小明共有4种购买方案： 方案1：购买了5件甲种商品，16件乙 种商品 方案2：购买了10件甲种商品，12件 乙种商品： 方案3：购买了15件甲种商品，8件乙 种商品： 方案4：购买了20件甲种商品，4件乙 种商品 9.设加工竖式纸箱m个，加工横式 纸箱n个 m+22=50①， 根据题意，得 4m+3n=a②. 由①，得m=50-2③. ①×4-②，得5n=200-a. 所以1=40号 因为，a为正整数， 所以a为5的倍数 又因为120<a<136, 所以满足条件的a的值为125， 19 130,135 当a=125时，n=15,把n=15代人 ③，得m=50-2×15=20. 此时的成本是300×20+200×15= 9000(元)： 当a=130时，n=14,把n=14代人 ③，得m=50-2×14=22. 此时的成本是300×22+200×14= 9400(元)： 当a=135时，n=13,把n=13代人 ③，得m=50-2×13=24. 此时的成本是300×24+200×13= 9800(元). 因为90009400<9800， 所以当a=125时成本最低，最低成本 是9000元. 专题特训五 二元一次 方程组的实际应用 x y 1.1)180:8:立：甲工程队工作的 天数：乙工程队工作的天数， (2)选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道x米，乙工程队 整治河道y米， x+y=180, 根据题意，得 x=120, 解得〈 y=60. 所以甲工程队整治河道120米，乙工 程队整治河道60米. 选择小华同学的解题思路： 设m表示甲工程队工作的天数，n表 示乙工程队工作的天数： 根据题意，得 m+n=20, 8m+12=180, m=15, 解得 n=5. 所以8m=8×15=120,12=12× 5=60. 所以甲工程队整治河道120米，乙工 程队整治河道60米. 2.(1)设每辆小客车能坐a名学生， 每辆大客车能坐b名学生， a+2b=110, 根据题意，得 t3a+b=105, 解得 a=20, 6=45 所以每辆小客车能坐20名学生，每辆 大客车能坐45名学生， (2)①由题意，得20x+45y=400, .9 整理，得x=20-4y, 因为x,y为非负整数， x=20, x=11,.（x=2, 所以 或{ 或 y=0 y=4 y=8 所以学校的租车方案有3种： 方案1：小客车20辆，大客车0辆： 方案2：小客车11辆，大客车4辆 方案3：小客车2辆，大客车8辆. ②由①可知，方案1的租金为 1600×20=32000(元)： 方案2的租金为1600×11+2700× 4=28400(元)： 方案3的租金为1600×2+2700× 8=24800(元). 因为32000>28400>24800， 所以学校最省钱的租车方案为租用 2辆小客车，8辆大客车，最少租金为 24800元. 3.(1)设A商品的单价是x元，B商 品的单价是y元，则C商品的单价是 (x十y)元. 根据题意，得 3.x+2y+4(x+y)=160, 2x+5y+3(x+y)=170, x=10, 解得 y=15. 所以x+y=10+15=25. 所以A商品的单价是10元，B商品 的单价是15元，C商品的单价是 25元. (2)设购买a个A商品，b个B商品， 则购买2a个C商品！ ①根据题意，得10a+15b+25× 2a=270. 所以b=18-4a. 所以k=a+b+2a=-a+18. 又因为a为正整数 所以当a=1时，k取得最大值，最大 值=一1+18=17. 所以k的最大值为17. ②因为优先赠送A商品， 所以购买2a个C商品，可以先送 a个A商品，即A商品不需要购买， 然后送2a一a=a(个)B商品，即只需 要购买(b-a)个B商品. 因为270÷25=10.8， 所以b一a≥1. 根据题意，得15(b-a)+25×2a= 270. 整理，得15b+35a=270. 所以b=18-3. 7 又因为a,b均为正整数， 所以a为3的倍数 当a=3时，b=11,此时b-a=11- 3=8,符合题意： 当a=6时，b=4,此时b一a=4一6< 1,不符合题意 a=3, 所以 6=11. 所以k=a+b+2a=3+11+2× 3=20. 所以k的值为20. 4.(1)根据题意，得 16(a+0.9)=43.2①， 17(a+0.9)+8(b+0.9)=75.5②， fa=1.8, 解得 b=2.8. (2)设小王家9月用水x吨. 因为1.8+0.9=2.7（元/吨），2.8十 0.9=3.7(元/吨)，6.0+0.9= 6.9(元/吨)， 所以月用水17吨需缴水费2.7× 17=45.9(元)，月用水30吨需缴水费 45.9+(30-17)×3.7=94(元) 因为156.1>94， 所以小王家9月的用水量超过了 20 30吨，即x>30. 根据题意，得94十(x一30)×6.9= 156.1,解得x=39. 所以小王家9月用水39吨. (3)设小王家11月用水y吨，则 10月用水(50一y)吨， 因为10,11月两个月共用水50吨， 10月用水超过30吨， 所以11月用水少于30吨. 所以分两种情况： ①当y≤17时，2.7y+94+(50- y-30)×6.9=215.8-30,解得 y=11. ②当17<y<30时，45.9+(y- 17)×3.7+94+(50一30-y)× 6.9=215.8-30,解得y=9.125 (舍去). 所以小王家11月用水11吨. 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B [变式]8 x=一2， 典例2A解析：把 代入 (y=m 方程2z十5y=4,得-4十5m=4, 4 所以m5n5,所以3m-3 4 12,=12.所以 =4×3,即3m-50=5 51=5 12+3=12+3=3. 3m- 5m+5=5+5 ,x=2, [变式]6解析：把 和 y=-1 x=一1， 代入方程mx十y=3,得 y=2 2m-=3①， ①十②，得m十n=6. -m+21=3②. 典例3(1)记 y=x-2①， x+2y=5②. 将①代人②，得x+2(x一2)=5， 解得x=3. 将x=3代人①，得y=1. x=3, 所以方程组的解是 y=1.