第2章 二元一次方程组 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 第2章拔尖测评 拍照批改 ◎满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.若方程(a十1)x十3ya=1是关于x,y的二元一次方程，则a的值为 A.-1 B.士1 C.0 D.1 4x+3y=2①， 2.用加减消元法解二元一次方程组 下列方法中，消元正确的是 2.x-5y=7②， A.①×5+② B.①+②X3 C.①-②X2 D.①+②X2 x+3y=-3, 3.下列方程组中，与方程组 有相同解的是 ( x+y=-2 x-y=1, x=y-1, x=y-1, x=y-1, A. B. D. 3.x=5-y 3.x+5+y=0 3.x+5-y=0 3x=5-y 4.已知关于x,y的二元一次方程(k一2)x一(k一1)y一3k+5=0,当k取一个确定的值时就得到一个方 程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 () x=1, x=2, x=-2, x=-1, A. B. C. D.{ y=2 y=-1 y=1 ly=-2 (x+y=5k, 5.若关于x,y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x十3y=6的解，则k的值为() x-y=9k A月 B-子 c n青 6.小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，中靶情况如图所示.规定投中同一圆环得分相同，若小 明得21分，小亮得17分，则小颖得 ) A.19分 B.20分 C.21分 D.22分 D 小明 小亮 小颖 (第6题) (第8题) 7.一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟，当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的子当树是 乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年 龄为 () A.55岁 B.66岁 C.77岁 D.88岁 8.如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大 长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍.若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD的面 积是 () A.16 B.20 C.25 D.36 9.甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰.四人购买的数量及总价如下表： 甲 3 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是 () A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.已知关于x,y的方程组 3x-4y=2a-3(a为常数，有下列结论：①若a=1,则方程组的解x与》 -2x+3y=1-a x=3, 互为相反数；②若方程组的解也是方程y=x的解，则a=1;③方程组的解可能是 ④无论a为 y=2: 何值，代数式x一2y的值为定值.其中，正确的是 ( A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.若-2a"b4与5a"+2b2m+可以合并成一项，则m= x=2, 12.已知 (ax+by=-4, 是关于x,y的二元一次方程组 的解，则a十7b的值为 {y=-3 2a.x-by=10 m=8, 2m+3m=31, 2(x+2)+3(y-2)=31, 13.已知 是二元一次方程组 的解，则关于x,y的方程组 的 n=5 3-2n=14 3(x+2)-2(y-2)=14 解是 14.已知x,y,k为有理数，观察表中的运算和运算结果，则k= x,y的运算 x-y x+y 3.x-2y 运算结果 -3 1 k-5 15.有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十 位上的数字之和大4，个位、十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为 16.某酒店客房有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为三人间150元/间、双人间140元/间.为了 吸引游客，该酒店实行团体人住5折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些 三人间普通客房和双人间普通客房.若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团 住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间. 三、解答题（共52分） 17.(10分)解方程组： 4(x-y-1)=3(1-y)-2, x+2y+之=8， (1) (2)2x-y-x=-3, 3.x+y-2x=-1. 2x-3y=3,3.x+2y=11, 18.(8分)已知关于x,y的方程组 和{ 的解相同，求(8a十3b)225的值. a.x+by=-1"2a.x+3by=3 19.(10分)我们定义：若代数式M与N满足M+N=(k为整数)，则称M与N为关于k的“平衡代数 式”.例如：若2x十3y=4,则我们称2x与3y为关于4的“平衡代数式”. (1)若2a一5与4a十9为关于1的“平衡代数式”，求a的值. (2)若2x一9与y为关于2的“平衡代数式”，3x与4y十1为关于5的“平衡代数式”，求x+y的值. 20.(10分)【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机 和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷. 【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷. (1)用含x,y的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作1小时共收割小麦多少公顷；3台大 收割机和2台小收割机同时工作1小时共收割小麦多少公顷， (2)建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷。 21.(14分)请根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索解决问题. 如何合理搭配消费券 为促进消费，杭州市人民政府发放“爱在西湖·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费 素材一 券（满35元减15元）2张，B型消费券（满68元减25元）2张，C型消费券（满158元减60元）1张. 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券，某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减 素材二 了390元. (1)若小明一家用了5张A型消费券，3张B型消费券，则用了 张C型消费券，此时的实际消 费最少为 元 (2)若小明一家用13张A,B,C型消费券消费，已知A型消费券比C型消费券多1张，则A,B,C型 消费券各多少张？ (3)若小明一家仅用了A型消费券和C型消费券进行消费，求出此时消费券的搭配方案。因为∠B=∠E, 所以∠BAE+∠B=180°. 所以AEBC. (2)①如图①，过点D作DF∥AE, 则∠EDF=∠E=70 因为DE⊥DQ, 所以∠EDQ=90. 所以∠FDQ=∠EDQ一∠EDF= 90°-70°=20° 由平移，知AEPQ. 因为DF∥AE, 所以DF∥PQ. 所以∠Q=∠FDQ=20°. ②易知当PQ在点D的下方时， ∠Q≠2∠EDQ, 所以PQ只能在点D的上方. 如图②，过点D作DG∥AE交AB于 点G 因为DG∥AE,PQ∥AE, 所以DGPQ. 所以∠QDG=180°-∠Q. 因为∠Q=2∠EDQ, 所以∠EDQ=号∠Q. 因为DG∥AE,∠E=70°， 所以∠EDG=180°-∠E=180°- 70°=110°. 所以∠QDG-∠EDQ=180°-∠Q 2∠Q=110 所以∠Q=(0) 如图③，过点D作DH∥AE交AB于 点H. 因为PQ∥AE,DH∥AE, 所以DHPQ. 所以∠QDH=180°-∠Q: 因为∠Q=2∠EDQ, 所以∠EDQ-号∠Q. 因为DH∥AE,∠E=70°， 所以∠EDH=180°-∠E=110°. 所以∠QDH+∠EDQ=180°一 ∠Q+7∠Q=110 所以∠Q=140° 综上所述，∠Q的度数为() 或140° ① C ③ (第21题) 第2章拔尖测评 -、1.D2.C3.B 4.B解析：令k=1,得一x十2=0. 所以x=2.令k=2,得-y-1=0.所 以y=一1.所以这个公共解是 x=2, (y=-1 5.A解析：记 |x+y=5k①， ①+ x-y=9k②. ②，得2x=14k,所以x=7k.把x= 7k代人①，得7k+y=5k,所以 x=7k, y=-2k.所以 因为关于 y=-2k. x+y=5k, x,y的二元一次方程组 x-y=9k 的解也是二元一次方程2x十3y=6 的解，所以2×7k+3×(-2k)=6,解 得及子 6.A解析：设投中内环得x分，投 中外环得y分.由题意，得 3.x+2y=21, x=5, 解得{ 所以2x+ x+4y=17, y=3. 3y=19,即小颖得19分. 61 7.C解析：设乌龟现在的年龄为 x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现 在的年龄为(264一x一y)岁.由题意， 1 x一 7x=264-x-y-x, 解得 (-)=x- x=77, 所以乌龟现在的年龄为 y=44. 77岁 8.A解析：设小长方形的长为a,宽 为b,则大长方形的长为2a,宽为2b. a=b+1, 由题意，得 解得 2a=2b+a+b, 3 a-21 所以大正方形的面积为 1 b2 (2a+26r=(2x号+2x2)'=16. 9.C解析：设红豆棒冰的单价为 x元，奶油棒冰的单价为y元.假设 3.x+4y=18, 甲、乙两人都正确，则 (9x+11y=51, x=2, 解得 当x=2,y=3时，6x十 y=3. 2y=6×2+2×3=18≠20,4x+7y= 4×2+7×3=29.所以甲、乙、丁三人 的总价都算对了，丙的总价算错了. 10.D解析：若a=1,则 /3.x-4y=-1① ①×3+②×4，可 {-2x+3y=0②. 得x=一3.把x=一3代人①，可得 3×(-3)一4y=一1，解得y=一2.所 x=一3， 以原方程组的解是《 因为 y=-2. 一3+（一2）=一5≠0，所以方程组的 解x与y不互为相反数.所以结论① 不符合题意.若方程组的解也是方程 -x=2a-3①， y=x的解，则 ①+ {x=1一a②. ②，可得(2a-3)+(1-a)=0,解得 a=2.所以结论②不符合题意.把 x3, 3x-4y=2a-3,可得 y=2 代人 -2x+3y=1-a, 3×3-4×2=2a-3①， 由①解得 -2×3+3×2=1-a②. a=2,由②解得a=1,所以方程组的 解不可能是=3， 所以结论③不符 y=2. 3x-4y=2a-3①， 合题意 ①+ -2x+3y=1-a②. ②×2，可得一x+2y=一1，所以x 2y=1.所以无论a为何值，代数式 x一2y的值为定值，定值为1.所以结 论④符合题意。 二、11.0 x=2, 12.15解析：把 代人二元一 y=-3 a.x+by=-4, 次方程组 得 2a.x-by=10, 2a-3b=-4, 解得 a=1, 所以a十 4a+3b=10, b=2. 7b=1+14=15. {x=6, 13. 解析：令x十2=m,y y=7 2m+3n=31, 2=,则有 因为 3m-2=14. m=8, 是二元一次方程组 n=5 2m+3=31, x+2=8, 的解，所以 3m-2n=14 y-2=5, x=6, 解得 y=7. 14.一2解析：根据题意，得 x-y=一3， x=-1, 解得 所以 x十y=1, y=2. 3.x-2y=3×(-1)-2×2=-7.整 理，得k-5=-7,解得k=-2. 15.671解析：设这个三位数个位上 的数字为x,十位上的数字为y,百位 上的数字为之.由题意，得 x十之=y, x=1, 2x=x十y十4，解得y=7,所以这 x+y+之=14， 2=6. 个三位数是671. 16.18解析：设住了三人间普通客 房x间，双人间普通客房y间.根据 13x+2y=46, 题意，得 2150x+140y)=1310, x=10, 解得 所以x十y=18.所以该 y=8. 旅游团住了三人间普通客房和双人间 普通客房共18间. 三、17.(1)整理，得 /4z-y=5①， 3x+2y=12②】 ①×2十②，得11x=22,解得x=2. 把x=2代人①，得y=3. x=2 所以方程组的解为 y=3. x+2y+x=8①， (2)记2.x-y-2=-3②， 3.x+y-2x=-1③ ①+②，得3.x+y=5④. (①×2+③)÷5，得x+y=3⑤. ④-⑤，得2x=2,解得x=1. 把x=1代人⑤，得y=2. 把x=1,y=2代人①，得之=3. x=1, 所以方程组的解为y=2, z=3. 12x-3y=3, 18.因为方程组 和 ax+by=-1 3x+2y=11, 的解相同， 2a.x+3by=3 所以这两个方程组的解也是方程组 2x-3y=3, 的解 3x+2y=11 2x-3y=3, （x=3, 解 得{ 3x+2y=11,y=1. =3·代入方程组 将 y=1 a.x+by=-1, 3a+b=-1, 得 解得 2a.x+3by=3, {6a+3b=3, a=-2, b=5. 所以(8a+3b)225=(-16+ 15)2035=-1. 19.(1)因为2a-5与4a+9为关于 1的“平衡代数式”， 62 所以2a-5+4a+9=1. 所以6a十4=1，解得a=-2 (2)因为2x-9与y为关于2的“平 衡代数式”， 所以2x-9十y=2①. 因为3x与4y+1为关于5的“平衡 代数式”， 所以3.x+4y+1=5② 2.x-9+y=2①， 联立方程组，得 3.x+4y+1=5②. /2.x+y=11③ 化简，整理得 3.x+4y=4④. ③+④，得5.x+5y=15. 所以x十y=3. 20.(1)由题意，得2台大收割机和 5台小收割机同时工作1小时共收割 小麦(2x十5y)公顷；3台大收割机和 2台小收割机同时工作1小时共收割 小麦(3x+2y)公顷. (2)由题意，得 2(2x+5y)=3.6·解 (5(3.x+2y)=8, x=0.4, 得 y=0.2. 所以1台大收割机每小时收割小麦 0.4公顷，1台小收割机每小时收割小 麦0.2公顷. 21.(1)4:621.解析：根据题意，得 用了(390一15×5一25X3)÷60= 240÷60=4(张)C型消费券，所以此 时的实际消费最少为(35-15)×5十 (68-25)×3+(158一60)×4=100+ 129+392=621(元). (2)设小明一家用了x张A型消费 券，y张B型消费券，则用了(x一1)张 C型消费券。 根据题意，得 x+y+x-1=13, 15.x+25y+60(.x-1)=390, x=4, 解得{ y=6. 所以x-1=4一1=3. 所以小明一家用了4张A型消费券， 6张B型消费券，3张C型消费券 (3)设小明一家用了m张A型消费 券，n张C型消费券 根据题意，得15m十601=390， 所以m=26-4n 因为m,n均为正整数， m=22,.m=18, 所以〈 或 或 2=1 n=2 m=14,m=10,m=6, 或{ 或 或 n=3 2=4 {n=5 m-2, n=6. 又因为在此次活动中，小明一家5人 共领取了2×5=10（张）A型消费券， 1×5=5(张)C型消费券， 所以m≤10，n5. m=10,m=6, 所以 或 (n=4 {n=5. 所以共有2种搭配方案： 方案1：用了10张A型消费券，4张 C型消费券： 方案2：用了6张A型消费券，5张 C型消费券。 第3章拔尖测评 -、1.B2.B3.A 4.D解析：根据单项式乘多项式法 则，可知（一5a)·(2a2一3a+1)= -10a3+15a-5a,故选项A错误. (2m+3)(m-2)=2m2一m一6，故选 项B错误.根据完全平方公式，可知 (5m+21)2=25m2+20m+4n2,故 选项C错误.根据多项式除以单项式 的法则，可知（27m一18m）÷ (-3m)2=(27m4-18m2)÷(9m2)= 3m2一2，故选项D正确. 5.A解析：根据给出的两个多项式 相乘的运算过程中的规律可知，若 (.x+a)(x+b)=x2-7x+12,则a+ b=一7，ab=12.只有选项A符合 题意 3.x+y=2m-1①， 6.D解析：记 x-y=n②. ①-②，得2x+2y=2m-n-1,即 2m-n-1=2(x+y.因为x十y= 1,所以2m一n-1=2,即2m-n=3. 所以原式=(22)m÷2”=2m÷2”= 22m”=23=8. 7.C解析：由题意可得，一4x2· B=32x5-16x4,所以B=(32x5 16.x4)÷(一4x2)=一8.x3+4x2.所以 B+A=-8x3+4.x2+(-4.x2)= -8x3. 8.A解析：因为(x+y)2=3,(x y)2=7,所以x2+2xy+y2=3①， x2-2xy+y2=7②.由①-②，得 4xy=一4，解得xy=一1.因为原 式=(x2y2-4-2x2y2+4)÷ (分)=-÷（分）=-2a 所以当xy=一1时，原式=一2× (-1)=2. 9.D解析：a*b=(a一b),b*a= (b-a)2=(a-b)2,故①正确. (a￥b)2=[(a-b)2]2,a2*b2= (a2-b2)2,故②错误.（-a)*b= (-a-b)2=(a+b)2,a￥(-b)= (a十b)2,故③正确.a(b十c)= (a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab- 2ac+2bc,a b+a c=(a-b)2+ (a-c)2=a2-2ab+b2+a2-2ac+ c2=2a2+b2+c2-2ab-2ac,故④错 误.综上所述，正确的是①③. 10.C解析：设正方形A的边长为 a,正方形B的边长为b.由题图①，得 a2-b2-2b(a-b)=2,所以a2 b2-2ab+2b2=2.所以a2-2ab+ b2=2.由题图②，得(a十b)2-a2 b2=16,所以a2+2ab+b2-a2 b2=16.所以2ab=16.所以a2+b2= 18.所以如题图②所示的大正方形的 面积=(a+b)2=a2+2ab+b2=18十 16=34. 二、11.9解析：因为m十2一2 0,所以m+2m=2.所以3"·9” 3m·320=3m+20=32=9. 63 12.34解析：由题意，得x=2.原 式=42+4.x+1-(4x2-25)=4x十 26.把x=2代人，得原式=8+ 26=34. 13.3.x2+17xy解析：可将题图补 全，变成一个大长方形，则题图中阴影 部分的面积等于大长方形的面积减去 两个小长方形的面积.所以该工件横 截面的面积为(3x+2×2x)(x十 3y)-(x+y)X2xX2=7x(x+ 3y)-4x(x+y)=7.x2+21.xy 4x2-4xy=3.x2+17.xy. 14.M<N解析：根据题意可知 M-N=(x+3)(x-7)-(x+1)· (x-5)=x2+3.x-7x-21-(x2+ x-5x-5)=x2+3x-7x-21 x2-x+5.x+5=-16<0,所以 M<N. 15.1.5解析：因为M=2x+y, N=2.x-y,M=4,N=2,所以(2x+ y)2=42,(2.x-y)2=22.所以4x2十 4xy+y2=16①，4x2-4xy+y2=4 ②.由①-②，得8.xy=12,解得xy= 1.5.所以P=xy=1.5. 16.①②③解析：因为2”=6=2× 3=2×2"=21+m,所以n=1十m.所 以m=n-1.因为22=12=22×3= 2X2"=22+m,所以p=2十m.所以 p=n十1，m=p-2.所以n=p-1. m十p=一1十n+1=2.故①正确： m+n=p-2+p-1=2p-3,故②正 确；n2-mp=(1十m)2-m(2十m)= 1+m2十2m-2m-m2=1,故③正 确.综上所述，正确的是①②③. 三、17.(1)原式=a3+4-)+a8+ 4a8÷1=6a8. 4 (2)原式=2m”-1+9=2°一 1+号-81+号g (3)原式=(x3y2-x2y-x2y十 x3y2)÷(3x2y)=(2x3y2-2x2y)÷ (3xy)=2xv-2 =3xy-3