第2章 二元一次方程组 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 专题特训五 二元一次方程 类型一信息补全问题 1.一段长为180米的河道的整治任务由甲、乙 两支工程队先后接力完成.甲工程队每天整 治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天. 甲、乙两支工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两名同学提出的解题思路 如下： 小明同学：设甲工程队整治河道x米，乙工程 队整治河道y米。 x十y= 根据题意，得 X =20. 小华同学：设m表示 ,n表示 m十n=20, 根据题意，得 8m+12m=180. 请你补全小明、小华两名同学的解题思路。 (2)请从(1)中任选一个解题思路写出完整 的解答过程， 46 拍照批改 组的实际应用 ●“答案与解析”见P19 类型二方案设计类问题 2.(2025·台州温岭二模)某校准备组 织七年级400名学生参加综合实践 活动.已知1辆小客车和2辆大客答案讲解 车均满载，每次可运送学生110名；3辆小客 车和1辆大客车均满载，每次可运送学生 105名. (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名 学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车 y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满！ ①请你设计出所有的租车方案 ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每 辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方 案，并求出最少租金： 类型三营销问题 3.小聪到某超市购买A,B,C三种商品，其中 A,B两种商品的单价之和恰好等于C商品 的单价，小聪前两次购买的商品的数量和总 费用如下表： 购买 A商品的B商品的C商品的 总费 次序 数量/个 数量/个 数量/个 用/元 第一次 3 2 160 第二次 2 3 170 (1)求A,B,C三种商品的单价 (2)若小聪第三次需要购买A,B,C三种商 品共k个（每种商品至少购买1个），其中 C商品的数量是A商品数量的2倍，恰好花 了270元. ①求k的最大值 ②若小聪在第三次购买A,B,C三种商品时 正好遇上“买一送一”的促销活动，即购买一 个C商品赠送一个A商品或一个B商品（优 先赠送A商品)，求k的值 第2章二元一次方程组 类型四分段计费问题 4.新情境·现实生活为了鼓励市民节约 用水，某市居民生活用水按阶梯式 水价计费.下表是该市“一户一表”生答案讲解 活用水阶梯式计费价格表的部分信息（说明： ①每户生产的污水量等于该户自来水用量； ②水费=自来水费+污水处理费)： 自来水的销售 污水的处理 每户每月的用水量 价格/（元/吨）价格/（元/吨） 17吨及以下 a 0.9 超过17吨但不超 6 0.9 过30吨的部分 超过30吨的部分 6.0 0.9 已知小王家7月用水16吨，缴水费43.2元； 8月用水25吨，缴水费75.5元 (1)求a,b的值 (2)如果小王家9月缴水费156.1元，那么小 王家9月用水多少吨？ (3)小王家10月忘了去缴水费，当小王11月 去缴水费时发现两个月一共用水50吨，其中 10月用水超过30吨，一共缴水费215.8元， 包含30元滞纳金.求小王家11月用水多少 吨（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴 纳的“罚款金额”). 47每辆大客车能坐b名学生， a+2b=110, 根据题意，得 t3a+b=105, 解得 a=20, 6=45 所以每辆小客车能坐20名学生，每辆 大客车能坐45名学生， (2)①由题意，得20x+45y=400, .9 整理，得x=20-4y, 因为x,y为非负整数， x=20, x=11,.（x=2, 所以 或{ 或 y=0 y=4 y=8 所以学校的租车方案有3种： 方案1：小客车20辆，大客车0辆： 方案2：小客车11辆，大客车4辆 方案3：小客车2辆，大客车8辆. ②由①可知，方案1的租金为 1600×20=32000(元)： 方案2的租金为1600×11+2700× 4=28400(元)： 方案3的租金为1600×2+2700× 8=24800(元). 因为32000>28400>24800， 所以学校最省钱的租车方案为租用 2辆小客车，8辆大客车，最少租金为 24800元. 3.(1)设A商品的单价是x元，B商 品的单价是y元，则C商品的单价是 (x十y)元. 根据题意，得 3.x+2y+4(x+y)=160, 2x+5y+3(x+y)=170, x=10, 解得 y=15. 所以x+y=10+15=25. 所以A商品的单价是10元，B商品 的单价是15元，C商品的单价是 25元. (2)设购买a个A商品，b个B商品， 则购买2a个C商品！ ①根据题意，得10a+15b+25× 2a=270. 所以b=18-4a. 所以k=a+b+2a=-a+18. 又因为a为正整数 所以当a=1时，k取得最大值，最大 值=一1+18=17. 所以k的最大值为17. ②因为优先赠送A商品， 所以购买2a个C商品，可以先送 a个A商品，即A商品不需要购买， 然后送2a一a=a(个)B商品，即只需 要购买(b-a)个B商品. 因为270÷25=10.8， 所以b一a≥1. 根据题意，得15(b-a)+25×2a= 270. 整理，得15b+35a=270. 所以b=18-3. 7 又因为a,b均为正整数， 所以a为3的倍数 当a=3时，b=11,此时b-a=11- 3=8,符合题意： 当a=6时，b=4,此时b一a=4一6< 1,不符合题意 a=3, 所以 6=11. 所以k=a+b+2a=3+11+2× 3=20. 所以k的值为20. 4.(1)根据题意，得 16(a+0.9)=43.2①， 17(a+0.9)+8(b+0.9)=75.5②， fa=1.8, 解得 b=2.8. (2)设小王家9月用水x吨. 因为1.8+0.9=2.7（元/吨），2.8十 0.9=3.7(元/吨)，6.0+0.9= 6.9(元/吨)， 所以月用水17吨需缴水费2.7× 17=45.9(元)，月用水30吨需缴水费 45.9+(30-17)×3.7=94(元) 因为156.1>94， 所以小王家9月的用水量超过了 20 30吨，即x>30. 根据题意，得94十(x一30)×6.9= 156.1,解得x=39. 所以小王家9月用水39吨. (3)设小王家11月用水y吨，则 10月用水(50一y)吨， 因为10,11月两个月共用水50吨， 10月用水超过30吨， 所以11月用水少于30吨. 所以分两种情况： ①当y≤17时，2.7y+94+(50- y-30)×6.9=215.8-30,解得 y=11. ②当17<y<30时，45.9+(y- 17)×3.7+94+(50一30-y)× 6.9=215.8-30,解得y=9.125 (舍去). 所以小王家11月用水11吨. 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B [变式]8 x=一2， 典例2A解析：把 代入 (y=m 方程2z十5y=4,得-4十5m=4, 4 所以m5n5,所以3m-3 4 12,=12.所以 =4×3,即3m-50=5 51=5 12+3=12+3=3. 3m- 5m+5=5+5 ,x=2, [变式]6解析：把 和 y=-1 x=一1， 代入方程mx十y=3,得 y=2 2m-=3①， ①十②，得m十n=6. -m+21=3②. 典例3(1)记 y=x-2①， x+2y=5②. 将①代人②，得x+2(x一2)=5， 解得x=3. 将x=3代人①，得y=1. x=3, 所以方程组的解是 y=1. /3x+2y=7①， (2)记x十y_x二义=1②. 2 6 整理②，得x十2y=3③. ①一③，得2x=4,解得x=2. 将x=2代人③，得2+2y=3, 解得y子 1x=2, 所以方程组的解是1 y-2 [变式]一8解析：因为3x一y一 8|+(4y-x+12)2=0,所以 3.x-y-8=0, 整理，得 4y-x+12=0. 3.x-y=8①， 由①×4-②，得 x-4y=12②. 1=20,解得x碧把x代入 ①，得y=- 所以4x+6y=4X 28 9+6×(-》 =-8 典例4(1)由题意，得A=2×2 3=1,B=2×3=6,C=3+5=8, 所以接收方收到的密码是1,6,8. 2a-b=2, (2)由题意，得2b=8,解得 b+c=11, a=3, b=4, c=7. 所以发送方发出的密码是3,4,7. [变式]5,6,4解析：根据题意，得 a+5+b=16①， b+c+6=16②，①-②，得a-c=1 a+c+7=16③ ④.④+③，得2a+7=17,解得a=5. 把a=5分别代人①④，解得b=6, c=4.所以a,b,c这三个数按顺序分 别为5,6,4. 典例5(1)y=-x+4. (2)易得二元一次方程y=3x+5的 “反对称二元一次方程”是y=5x十3. 因为二元一次方程y=3x+5的解 下=m'也是它的“反对称二元一次 y=n 方程”的解， 3m十5=·解得 m=1, 所以 5m+3=n, n=8. 所以m=1,n=8. [变式](1)x+3y=5. (2)因为关于x,y的二元一次方程组 x+(2-5a)y=-b-4, 为共轭方 (1-2b)x+y=-5-a 程组， 所以2-5a=1-2b,-b-4= -5a. f5a-2b=1①， 整理，得 a-b=-1②. ①-②X2,得3a=3,解得a=1. 把a=1代入②，得1-b=-1,解得 b=2. 所以2-5a=2-5=-3,-b-4= -2-4=-6. 所以此共轭方程组的共轭系数为 -3,-6. 典例6(1)设1辆A型车都装满材 料一次可运x吨，1辆B型车都装满 材料一次可运y吨. 2.x+y=11, 由题意，得 x+2y=13, x=3, 解得{ y=5. 所以1辆A型车都装满材料一次可 运3吨，1辆B型车都装满材料一次 可运5吨 (2)根据题意，得3a+5b=29, 因为a,b均为正整数， 所以=8或=3, 6=1b=4. 所以有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆，租 车费为8×100+1×150=950（元）： ②租用A型车3辆，B型车4辆，租 车费为3×100+4×150=900（元）. 因为950>900， 所以最省钱的租车方案为租用A型 21 车3辆，B型车4辆，最少租车费为 900元. [变式]9解析：设甲种文具的单价 为x元，乙种文具的单价为y元，丙 种文具的单价为之元.依题意，得 |x+2y-z=9①， (①×3+②)÷ 2x+8z-y=18②. 5,得x+y十之=9.所以购买甲、乙、 丙三种文具各一件，共需花费9元. [综合素能提升] 1.D 2.C解析：因为x比y的2倍少3， 所以x=2y-3.将x=2y-3代人原 5y=a+11, 方程组，整理，得 由 (7y=a+3. 5y=a+11,得y=+,由1)= 5 a十3，得y=3,所以- 5 23,所以7(a+1)=5(a+3),解得 a=-31. 3.B解析：设签字笔的单价为x元， 小江身上的钱为y元.根据题意，得 20x+15.x=y+25, 解 得 19x+12.x=y-15, x=10, 所以小江购买17支签字笔 y=325. 和9本笔记本的费用为17×10+9× 10=260(元).所以小江身上的钱会剩 下325-260=65（元）. 4.2解析：由题意，得方程组 f2x+y十x=-1①， 3y-2=-1②， ①X3-③X t3.x+2y+32=-5③. 2,得一y一3x=7④.②十④X3,得 一10z=20,解得之=一2.将之=-2 代人②，得y=一1.将y=一1，之= 一2代入①，得x=1.所以原方程组 x=1, 的解是y=一1，所以xyg=1× =-2. (-1)×(-2)=2. 5.24解析：设每个小长方形花圃的 长为xm,宽为ym.根据题意，得 2.x+y=10, x=4. 解得 所以3xy= x+2y=8, y=2. 3×4×2=24.所以花圃的总面积为 24m2. 6.①③④解析：将原方程组中两个 方程相加，得2x十y=5a-1,所以方 程组的解也是2.x+y=5a一1的解. 故①正确.解关于x,y的方程组 2 x=3a- (x+2y=a, 3 得 必 x-y=4a-1, 1 y=-a+3 x,y的值互为相反数时，x+y=0,即 是-a十-0，解得a=行所 1 以当a=。时，y的值互为相反数。 故②不正确.因为x十3y= (3a-号)+3(-a+3）=3a 号-a+1=日，所以不论a取什么 实数，x十3y的值始终不变，都为写 故③正确.若2x十y=9,则 2(3a号)+(-a+3)=9,解得 a=2.故④正确.综上所述，正确的结 论是①③④. 7.(1)4.解析：设安排甲型车8辆， 乙型车5辆，丙型车m辆可将全部物 资一次运完.根据题意，得5×8+8× 5+10m=120,解得m=4.所以安排 甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆 可将全部物资一次运完， (2)设甲型车需a辆，乙型车需b辆. 5a+8b=120, 根据题意，得 {450a+600b=9600, 解得8， 6=10 所以甲型车需8辆，乙型车需10辆. (3)设甲、乙、丙三种型号的车各需 x辆，y辆，辆， x+y+2=14, 根据题意，得 5.x+8y+10x=120. 消去x,得3y+5x=50, 因为xy,之取正整数， 所以x=2,y=5,2=7. 此时总运费为450×2+600×5+ 700×7=8800(元). 所以甲、乙、丙三种型号的车各需 2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元. 第3章整式的乘除 3.1同底数幂的乘法 第1课时同底数幂的乘法 1.B2.D3.D4.B5.1.5× 108 6.(1)原式=x5+x5=2x5」 (2)原式=102×103×10×10= 1030 (3)原式=p2·p·b5=p" (4)原式=a4·a3·a8=a8. 7.B8.A 9.C解析：因为(4,12)=a,(4,5)= b,(4,60)=c,所以4“=12①，4=5 ②，4=60③.所以①×②，得4· 4=12×5,即4+=60④.把③代人 ④，得4+b=4.所以a十b=c. 10.-1解析：因为5×5m× 52m+1=55,所以53+m+2m+1=525,即 53m+4=55.所以31十4=25，解得 m=7.所以原式=(-1)2025=-1. 11.125解析：因为2x十y-3=0, 所以2x+y=3.所以5×5= 52x+y=53=125. 12.6解析：9×27+3×9×9+3× 81=32×33+3×32×32+3X34= 35+35+3=3×35=3,所以36= 3”.所以n=6. 13.(1)原式=m4+m3-m 2m3=-m3. (2)原式=(x一y)m+1+(x y)m+3 14.因为xm”·x2m+1=xm+n+1= x”,ym-1·y4"=ym-+3=y5, m+n+1=11,. m=6, 所以《 解得{ m-n+3=5, n=4. 22 所以mm2=6×42=96. 15.(1)12☆3=1012×103=1015,4☆ 8=104×108=1012」 (2)相等 理由：因为(a十b)☆c=10+b×10= 10+b+r,a☆(b+c)=10X10+c= 10+b+. 所以(a十b)☆c=a☆(b十c). 16.(1)设S=1+5+52+53+.+ 51①. 将等式两边同时乘5，得5S=5+52+ 53+54+.+510+51②. ②-①，得5S-S=511-1,即4S= 51-1. 所以S=5”二1 4 所以1+5+52+53+…+510= 5”-1 4 2)设M=+++… 0. 将等式两边同时乘3，得3M=1+ ②-①，得3M-M=1- 35,即 2M=1-391 1 所以M=×(-)》 所以十子++…+ 319= 1-动)合×动 第2课时幂的乘方 1.A2.C3.B4.A5.10 6.(1)a21(2)36(3)2 7.(1)原式=-10×104=-101“. (2)原式=p3·p=p9. (3)原式=a2十a12-3a12=-a12. 8.C 9.B解析：因为16=32，所以 (2)“=(25).所以2如=20.所以