2.5 三元一次方程组及其解法(选学)-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 第2课时运用二元一次方 臼基础进阶 1.新考向·跨学科一根弹簧原长（不挂重物） mcm,每挂上1kg的重物，它就伸长ncm. 当挂上xkg的重物时，弹簧的总长L(cm) 可用公式L=nx十m计算.已经测得当x 0.5时，L=16;当x=2时，L=19,则当重物 的质量为5kg(在弹性限度内)时，L的值是 A.22.5B.25C.27.5D.30 2.某市现有人口42万人，一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加1.1%，这样全市人口 增加1%，则这个城市现有城镇人口和农村 人口分别是 () A.28万人，14万人B.24万人，18万人 C.14万人，28万人D.18万人，24万人 3.已知原来购买A商品40件与购买B商品 30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商 品打八折，B商品打九折，此时购买A商品 40件比购买B商品30件少花600元，则原来 A商品和B商品每件的价格分别为() A.75元，100元B.120元，160元 C.150元，200元D.180元，240元 4.科学家通过实验发现：一定质量的某种气体， 在体积不变的情况下，压强p(kPa)与温度 T(℃)之间满足力=aT+k,且当温度 为100℃时，压强为140kPa;当温度为60℃ 时，压强为124kPa,则a= ,k= 5.今年某旅游景点共接待游客92.4万 人次，和去年相比，游客总数增加了 10%,其中省外游客增加了14%，省答案讲解 内游客增加了8%. (1)该景点去年接待的省外游客和省内游客 拍照批改 程组解决较复杂的实际问题 “答案与解析”见P17 分别为多少万人次？ (2)若省外游客每张门票的均价为100元， 省内游客每张门票的均价为80元，则今年该 景点的门票收入是多少万元？ 素能攀升 6.为了卫生防控，学校需用含30%和75%的消 毒药水，配制含60%的消毒药水30kg,则含 30%和75%的消毒药水各需 ( ) A.12 kg,18 kg B.19 kg,11 kg C.17 kg,13 kg D.10 kg,20 kg 7.某酒店有三人间普通客房和双人间普通客 房，其中，三人间的价格为150元/间，双人间 的价格为140元/间.为吸引游客，酒店实行 团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游 团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间 普通客房和双人间普通客房.若每间客房正 好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该 旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客 房共 () A.15间B.17间C.19间D.22间 8.新考向·跨学科在某地，人们发现某种蟋蟀 1min所叫次数x与当时温度t(℃)之间的 关系近似为t=a,x十b.这种蟋蟀1min所叫 次数与温度变化情况的对照表如下： 1min所叫次数x … 84 98 119 温度t/℃ 15 17 20 如果这种蟋蟀1min叫63次，那么该地当时 的温度约为 9.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习 俗.某商场从6月12日起开始打折促销，肉 粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和 5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和 10盒白粽需360元.轩轩同学想给敬老院送 肉粽和白粽各5盒，则他在6月13日购买比 在打折前购买节省 元 10.某次考试结束后，老师找小强进行了谈话. 老师：“小强，你这次考试的语文、数学、英语 三科的总成绩为348分，在下次考试中，要 使这三科的总成绩达到382分，你有什么计 划吗？” 小强：“老师，我争取在下次考试中，语文成 绩保持124分，英语成绩再多16分，数学成 绩增加15%，这样刚好达到382分.” 请问：小强这次考试的英语、数学成绩各是 多少？ 第2章二元一次方程组 思维拓展 11.新情境·现实生活水产养殖户李大 爷准备进行大闸蟹与河虾的混合 养殖，他了解到如下信息： 答案讲解 ①每公顷鱼塘的年租金为500元. ②每公顷鱼塘可在年初混合投放4千克蟹 苗和20千克虾苗. ③每千克蟹苗的价格为75元，其饲养费用 为525元，当年可获1400元收益 ④每千克虾苗的价格为15元，其饲养费用 为85元，当年可获160元收益 (1)如果租用鱼塘n公顷，那么年租金共需 元 (2)水产养殖的成本包括鱼塘年租金、苗种 费用和饲养费用，求每公顷鱼塘蟹、虾混合 养殖的年利润（利润=收益一成本）. (3)李大爷现有资金25000元，他准备再向 银行贷款不超过25000元，用于蟹、虾混合 养殖.已知银行贷款的年利率为10%，则李 大爷应该租多少公顷鱼塘，并向银行贷款多 少元，可使年利润达到36600元？ 41x=60, 解得 y=20. 所以A种物资购进了60吨，B种物 资购进了20吨， (2)设租用的大货车为a辆，小货车 为b辆 f8a+5b=60, 根据题意，得 2a+2.5b=20, 解得5， b=4: 所以租用的大货车为5辆，小货车为 4辆， 11.(1)9:15.解析：根据题意，每张 原材料板材可裁得3张150cm× 30cm的纸板条，每张纸板条又恰好 可以裁得3张A型长方形纸板或 5张B型正方形纸板，所以每张原材 料板材可以裁得A型长方形纸板3× 3=9(张)，每张原材料板材可以裁得 B型正方形纸板3×5=15（张）. (2)设用x张原材料板材裁剪A型 纸板，则用(260一x张原材料板材裁 剪B型纸板，设做竖式无盖长方体纸盒 y个，则做横式无盖长方体纸盒2y个. 9x=10y, 根据题意，得 解得 15(260-x)=5y, x=200, y=180. 所以260-x=60,2y=2×180=360. 所以用200张原材料板材裁剪A型 纸板，用60张原材料板材裁剪B型 纸板，能使剪出的A,B型纸板恰好用 完，能做竖式无盖长方体纸盒180个， 横式无盖长方体纸盒360个 第2课时运用二元一次方程组 解决较复杂的实际问题 1.B2.C 3.C解析：设原来A商品每件的价 格为x元，B商品每件的价格为y元. 根据题意，得 (40x=30y, 解得 40x×0.8+600=30y×0.9, =150,所以原未A商品每件的价 y=200. 格为150元，B商品每件的价格为 200元. 4.0.4100 5.(1)设该景点去年接待的省外游客 为x万人次，省内游客为y万人次. 由题意，得 (x+y)(1+10%)=92.4, (1+14%)x+(1+8%)y=92.4, x=28, 解得 y=56. 所以该景点去年接待的省外游客和省 内游客分别为28万人次，56万人次. (2)今年该景点的门票收入是28× (1+14%)×100+56×(1+8%)× 80=8030.4(万元). 6.D解析：设需含30%的消毒药水 xkg,含75%的消毒药水ykg.由题 意，得十y=30 解 30%.x+75%y=60%×30, x=10, 得 所以含30%和75%的消 y=20. 毒药水各需10kg,20kg. 7.C解析：设住三人间普通客房 x间，住双人间普通客房y间.由题 /3.x+2y=48, 意，得 秀 {50%(150x+140y)=1380, x=10, 得 所以x十y=19.所以该旅 y=9. 游团住了三人间普通客房和双人间普 通客房共19间， 8.12℃解析：根据题意，得 84a+b=15, 解得 a=7'所以t= 98a+b=17, b=3. 7x十3.将x=63代人，解得1=12. 所以该地当时的温度约为12℃. 9.145解析：设打折前每盒肉粽的价 格为x元，每盒白粽的价格为y元.根 据题意，得 /4x+5y=350, 解得 (0.6×5x+0.7×10y=360, 17 =50所以5x+5y-(0.6×5x+ y=30. 0.7×5y)=2x+1.5y=2×50+ 1.5×30=145.所以他在6月13日购 买比在打折前购买节省145元. 10.设小强这次考试的英语成绩为 x分，数学成绩为y分 由题意，得 /124+x+y=348, 124+x+16+(1+15%)y=382, x=104, 解得 {y=120. 所以小强这次考试的英语成绩为 104分，数学成绩为120分. 11.(1)500. (2)4×(75+525)+20×(15+85)+ 500=4900(元)，(1400×4+160× 20)-4900=3900(元). 所以每公顷鱼塘蟹、虾混合养殖的年 利润为3900元 (3)设李大爷应该租y公顷鱼塘，并 向银行贷款x元，x≤25000. 4900y=25000+x, 由题意，得 3900y-10%.x=36600, x=24000, 解得 y=10. 所以李大爷应该租10公顷鱼塘，并向 银行贷款24000元. 2.5三元一次方程组 及其解法（选学） 1.C2.2 y=x+x①， 3.(1)记4x+2y+之=3②， 25.x+5y+之=60③. 把①代人②，得4x十2(x十之)十之= 3,即2x+x=1④. 把①代人③，得25.x+5(x+z)+之= 60,即5.x+之=10⑤. 2x+g=1, 联立④⑤，得 解得 5.x+x=10, x=3, z=-5. 把x=3,z=-5代人①，得y=3+十 (-5)=-2. x=3, 所以原方程组的解为y=一2， x=-5. 3x-y+2x=3① (2)记2x+y-之=13②， x+2y+z=20③. ①+②，得5.x十x=16④. ①×2+③，得7x+5x=26⑤ ④×5-⑤，得18.x=54,解得x=3. 把x=3代人④，得之=1. 把x=3,x=1代人③，得y=8. x=3, 所以原方程组的解y=8, x=1. 方法归纳 运用消元法解三元一次 方程组的注意点 (1)确定消去哪个未知数时， 要从整体考虑，一般选择消去后可 以使计算量相对较小的未知数.消 元的方法有代入消元法和加减消 元法，具体用哪种方法，要根据方 程组的特点选用. (2)消去的未知数一定是同 未知数，否则达不到消元的目的 4.D fx+y=9a①， 5.C 解析：记y+之=11a②，由 之+x=10a③， ①+②+③，化简得x+y+之=15a④. 由④一①，得之=6a.由④-②，得 x=4a.由④-③，得y=5a.把x= 4a,y=5a,之=6a代入x+2y 32=-12,得4a+10a-18a=-12, 解得a=3. 6.1解析：根据非负数的性质，得 x一之一2=0①， 3x-6y一7=0②，由①X3-②，得 3y+3x-4=0③. 6y-3x+1=0④.由④+③，得9y= 3,解得y=子把y=子代入@，得 x=1.把之=1代入①，得x=3.所以 g=3×号×1=1. 7.39解析：设甲有x元，乙有y元， 丙有之元.根据题意，可得 x=2y, x=20. y=+1,解得y=10,所以x+ x一2=11， x=9. y十之=39.所以三人共有39元. 8.(1)因为代数式a.x2+bx+c,当 x=1和x=-3时，它的值都为5；当 x=一1时，它的值为1， a+b+c=5, a=1, 所以9a-3b+c=5,解得b=2, a-b+c=1, c=2. (2)由(1)，得ax2+bx+c=x2+ 2x+2. 把x=-2代入，得原式=(-2)2十 2×(-2)+2=2. 所以当x=一2时，代数式a.x2+bx+ c的值为2. fa+2b+c=9, 9.由题意，得一3a+3b+c=6, 1b+c=2, a=2, 解得b=5, 1c=-3. 所以x☒y=2x+5y-3. 所以(-2)☒5=2×(-2)+5×5 3=18. 10.设甲组植树x棵，乙组植树y棵， 丙组植树之棵 x+y+之=50， 1 根据题意，可得)=x十)， x=y+, fx=25, 解得y=10, x=15. 所以甲组植树25棵，乙组植树10棵， 丙组植树15棵， 11.(1)0:3. (2)设按裁法一裁x块，按裁法二裁 y块，按裁法三裁之块. 18 fx+2y=48, 根据题意，得2x十3z=36, x十y+之=35， x=6, 解得y=21, x=8. 所以按裁法一、裁法二和裁法三各裁 标准板材6块、21块和8块. 专题特训四二元一次 方程（组）的特殊解及其应用 1.B2.答案不唯一，如x十y=2 3.答案不唯一，如2x十3y=20. 这个方程的所有正整数解为 x=1,x=4,x=7, y=6,y=4,y=2. 4.16或7或-2解析：方程5x+ x=1,x=2, y=16的正整数解为{ y=11,y=6, x=3, 所以当x=1,y=11时，4× y=1. 1一11=9一k,解得k=16:当x=2, y=6时，4X2-6=9-k,解得k=7: 当x=3,y=1时，4×3-1=9-k,解 得k=一2.综上所述，k的值为16或 7或-2. x=2,{x=4, 5.(1) y=2,y=1. x十y=0, (2)由题意，得 解得 x+2y-6=0, x=一6， y=6. x=一6， 把 代人x-2y+m.x+5= (y=6 0,解得m=吕 (3)由题意，得(1十m)x一2y=-5. 因为无论实数m取何值，方程总有一 组固定的解， 5 所以当x=0时，y=2 x=0, 所以这个解为5 y=2 6.B解析：设购买x件甲种奖品，