专题2.5三元一次方程组及其解法七大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题2.5三元一次方程组及其解法七大题型（一课一讲） （内容:三元一次方程组及其实际应用） 【浙教版】 题型一：判断是否为三元一次方程组 【经典例题1】下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 【变式训练1-1】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 【变式训练1-3】下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-4】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式训练1-5】（23-24七年级下·吉林通化·期末）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三元一次方程组的定义得 是三元一次方程组， 故选：C． 题型二：三元一次方程组的解题过程 【经典例题2】（23-24七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，得，，， ∴消去z，组成关于x、y的方程组为， 故选：C． 【变式训练2-1】三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 得，， 得：， ∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是， 故选A． 【变式训练2-2】观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 【变式训练2-3】（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 【变式训练2-4】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 【变式训练2-5】（23-24七年级下·吉林长春·期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 【答案】C 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 题型三：利用三元一次方程组求代数式的值 【经典例题3】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练3-1】已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 【变式训练3-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式训练3-4】已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 【变式训练3-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 得，． 故选A． 题型四：三元一次方程组特殊解法 【经典例题4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【变式训练4-1】（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知，则 ． 【答案】1 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 【变式训练4-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ． 【答案】 【详解】解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为：． 【变式训练4-3】（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【答案】 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练4-4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于，，的方程组，则的算术平方根为 ． 【答案】 【详解】， 由①设， ∴，，， 代入②得：，    ， ， ，，， 方程组的解为． ，则算术平方根为， 故答案为：． 【变式训练4-5】已知，且，求的值． 【答案】 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 题型五：解三元一次方程组 【经典例题5】解方程组：． 【详解】解：， 把①代入②，可得，整理可得， ④×2，可得， ③+⑤，可得，解得， 把代入①，可得， 把代入③，可得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式训练5-1】解下列方程组： (1) (2) 【详解】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 【变式训练5-2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）解方程组： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 整理可得， 由，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为； （2）解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 【变式训练5-3】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 【变式训练5-4】解方程组： (1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， 方程组的解为：； （2）解： 由，得：． 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是． 【变式训练5-5】解方程组： (1) (2) 【详解】（1）解：， 把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为； （2）解：， 由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 题型六：构建三元一次方程组求解 【经典例题6】已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 【变式训练6-1】对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 【变式训练6-3】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-4】（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【答案】8，9，13 【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 【变式训练6-5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 【答案】(1). (2)15． 【详解】（1）由已知得 解得 即. （2）由(1)得. 当时，. 即y 的值是15． 题型七：三元一次方程组的应用 【经典例题7】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 【变式训练7-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【答案】D 【详解】解：由图可知，， ①②得：， 则， 解得， 故选：D． 【变式训练7-2】[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 【答案】或或 【详解】解：设丙的钱数为z， 根据丙语得：整理得， 根据甲语得：整理得， 根据乙语得：整理得， 故答案为：或或． 【变式训练7-3】一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 【变式训练7-4】今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？ 【答案】他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次 【详解】解：设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次， 由题意得：， 整理得：， 又，且、、均为正整数， ∴当时，，不符合题意；当时，，此时；当时，，此时，不符合题意； ， 答：他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次． 【变式训练7-5】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与 ∴x与y都不能大于16， 解得或． ∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆； 两种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）； ∵， ∴方案②最省． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5三元一次方程组及其解法七大题型（一课一讲） （内容:三元一次方程组及其实际应用） 【浙教版】 题型一：判断是否为三元一次方程组 【经典例题1】下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-4】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（23-24七年级下·吉林通化·期末）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型二：三元一次方程组的解题过程 【经典例题2】（23-24七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【变式训练2-3】（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】（23-24七年级下·吉林长春·期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 题型三：利用三元一次方程组求代数式的值 【经典例题3】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【变式训练3-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【变式训练3-4】已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【变式训练3-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 题型四：三元一次方程组特殊解法 【经典例题4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【变式训练4-1】（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知，则 ． 【变式训练4-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ． 【变式训练4-3】（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【变式训练4-4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于，，的方程组，则的算术平方根为 ． 【变式训练4-5】已知，且，求的值． 题型五：解三元一次方程组 【经典例题5】解方程组：． 【变式训练5-1】解下列方程组： (1) (2) 【变式训练5-2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）解方程组： (1)； (2)． 【变式训练5-3】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【变式训练5-4】解方程组： (1) (2) 【变式训练5-5】解方程组： (1) (2) 题型六：构建三元一次方程组求解 【经典例题6】已知，则代数式的值为 ． 【变式训练6-1】对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【变式训练6-2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【变式训练6-3】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ． 【变式训练6-4】（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【变式训练6-5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 题型七：三元一次方程组的应用 【经典例题7】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式训练7-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【变式训练7-2】[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 【变式训练7-3】一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【变式训练7-4】今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？ 【变式训练7-5】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 学科网（北京）股份有限公司 $