第1章 相交线与平行线 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 拍照批改 第1章整合拔尖 >“答案与解析”见P10 知识体系构建 相交线 两直线相交 对顶角 对顶角相等 相交成 在同一平面内，过一点有且只 直角垂线 垂线的性质。有一条直线与已知直线垂直 连结直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 垂线段的性质。 段最短 点到直线的距离 两条直线被第三条直线所截 同位角 内错角 同旁内角 相交线与平行线 概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线 平行线 画法。一落，二靠，三推，四画 基本事实。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行线的判定方法 同位角相等，两直线平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行线的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图形的平移 概念。原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离的图形运动 画法 一般先确定原图形中关键点平移后的位置，再顺次连结 性质1 平移不改变图形的形状和大小 个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行 性质2 (或在同一条直线上)且相等 1高频考点突破 考点一○与相交线有关的角的计算 A.24 典例1(2025·济南历下二模)如图，直线AB B.26° 与CD交于点O,OE⊥OC,OF平分∠BOE.若 C.28 D D.30° (典例1图) ∠COF=32°，则∠AOD的度数为 () 24 第1章相交线与平行线 [变式]如图，直线AB和直线 [变式](2025·宁波鄞州段考)如图，下列说法 CD相交于点O,OE⊥AB,垂 正确的是 足为O,OF平分∠BOD.若 ∠COE=3∠0F,则∠C0E 的度数为 考点二同位角、内错角、同旁内角的识别 A.若∠1=∠2，则BCDE 典例2(2024·杭州西湖期中)如图，下列说法 B.若∠2=∠4，则BCDE 中，错误的是 C.若∠1+∠2=180°，则BC∥DE A.∠A与∠EDC是同位角 D.若∠1+∠3=180°，则BC∥DE D B.∠A与∠ABF是内错角 考点四平行线的性质 C.∠A与∠ADC是同旁内角 典例4(2024·杭州上城期中)如图，C,F为直 D.∠A与∠C是同旁内角 (典例2图) 线AB上两点，在直线AB同侧有三条射线CE, [变式]如图，给出下列结论：①∠2与∠3是内 CD,FG,CD平分∠ECB,CDFG 错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是 (1)若∠ACE=50°，求∠BFG的度数： 同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角.其 (2)若∠ACE=m°，请用含m的代数式表示 中，正确的是 (填序号). ∠BFG的度数. 考点三平行线的判定 C F (典例4图) 典例3如图，∠C=∠1，∠2十∠D=90°，∠1+ ∠D=90°.试说明：ABCD. D (典例3图) 25 拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 [变式](2024·宁波海曙期末)如图，ABEF∥(2)若∠2+∠D=90°，则直线AB与CD平行 CD,点G在AB上，GE∥BC,BC交EF于点 吗？请说明理由. P,GE的延长线交DC的延长线于点H,则图中 与∠AGE相等的角（不含∠AGE)共有(） C A7个 B.6个C.5个 D.4个 考点五平行线的判定与性质的综合 典例5(2025·杭州期中)如图，∠1+∠BDE 180°，∠2+∠4=180° (1)AD与EF平行吗？请说明理由. (2)若∠3=90°，∠4=140°，求∠BAC的度数. 考点六运用平移的性质求图形的面积 (或周长) (典例5图) 典例6如图，某住宅小区内有一块长方形地， 长为18m,宽为12m.现计划在这块长方形地里 修同样宽的道路，余下部分进行绿化，道路的宽 为2m,则绿化的面积为 m2. 18m (典例6图) 一提示 因为进行绿化的面积比较分散，且有的是不规 则图形，所以直接求其面积较困难.因为道路的宽相 同，所以可以把道路平移到一起，这样绿化部分可变 成一个新的长方形，只要求出新长方形的长和宽，就 可得绿化的面积. [变式](2025·杭州萧山期中) 如图，将三角形ABC沿边BC向 [变式](2025·金华义乌期中)如图，∠1=∠C 右平移4cm得到三角形A'B'C'.B BE⊥DF于点P. 已知四边形AA'C'B的周长为23cm,则三角形 (1)若∠2=55°，求∠B的度数. ABC的周长为 26 第1章相交线与平行线 综合素能提升 1.(2024·杭州拱墅段考)如图，有下列说法：5.(2025·杭州滨江期中)如图，DA∥BCEF, ①若DE∥AB,则∠DEF+∠EFB=180°； CE平分∠BCF,∠DAC=125°，∠ACF= ②能与∠DEF构成内错角的角的个数为2； 15°，则∠FEC的度数是 ③能与∠BFE构成同位角的角的个数为2； ④能与∠C构成同旁内角的角的个数为4. 其中，正确的是 o B(D) A.①②B.③④C.①③④D.①②④ (第5题) (第6题) 6.分类讨论思想将一副三角尺按如图所示的方 式叠放在一起，其中点B,D重合，固定三角 尺AOB,改变三角尺ACD的位置（其中点A (第1题) (第2题) 的位置始终不变).若∠BAD小于平角，则当 2.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB, ABCD时，∠BAD的度数为 垂足为O,OF平分∠BOD.若∠AOC+ 7.(2025·绍兴诸暨期中)如图，在三 ∠DOF=39°，则∠EOF的度数为( 角形ABC中，点D,F在边BC上， A.77°B.74°C.67° D.649 点E在边AB上，点G在边AC上，答案讲解 3.如图，AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥ EF与GD的延长线交于点H,∠1=∠B, DE,则∠ABE与∠D的关系是 () ∠2+∠3=180°. A.∠ABE=3∠D (1)试判断EH与AD的位置关系，并说明 B.∠ABE+∠D=90 理由 C.∠ABE+3∠D=180° (2)若∠DGC=58°，且∠H=∠4+10°，求 D.∠ABE=2∠D ∠H的度数 (第3题) (第4题) (第7题) 4.如图，在三角形ABC中，BC=6cm,将三角 形ABC以每秒1cm的速度沿线段BC所在 直线向右平移，得到三角形DEF,设平移时 间为ts(t≤6).若在B,E,C三个点中，其中 一个点到另外两个点的距离存在2倍的关 系，三人的说法如下，甲：t的值为2或3；乙： t的值为2或3或4；丙：t的值为2或3或4 或5.下列判断中，正确的是 A.甲对 B.乙对 C.丙对 D.三人都错 27角形DEF,所以AC∥DF,AD∥CF、 AB∥DE,CF=AD=2.5cm.故①② ③正确.又因为∠BAC=90°，所以 AB⊥AC.所以DE⊥AC.故④正确. 综上所述，正确的有4个. 7.5000m解析：为了求草坪的面 积，我们不妨将题图中上方的两部分 图形进行平移，使它们各先沿着DC 所在的直线向中间平移1m,再沿着 DA或CB所在的直线向下平移1m, 此时草坪就变成了如图所示的长方 形，其长为102-2=100(m),宽为 51一1=50(m),则面积为100×50= 5000(m2). D (第7题) 方法归纳 借助平移巧求面积 根据实际问题的特点，运用平 移将不规则图形的面积转化为规 则图形的面积，是用数学知识解决 实际的面积问题的重要思路之一、 本题通过图形的平移，巧妙地解决 了草坪面积的计算问题，体现了数 学知识与生活的紧密联系 8.(1)如图，四边形A'BCD即为 所求. (2)如图，线段AA',BB,CC,DD 即为所求 3:10. (3)四边形CDD'C'的面积为8×7 2x7×3×6-2×日 ×5×1= 33(cm2). D (第8题) 9.(1)因为三角形ABC沿直线AB 向右平移得到三角形DEF,AE= 8 cm,DB=2 cm, 所以AD=BE=?(AE-DB)= 3 cm. 所以三角形ABC向右平移的距离是 3 cm. (2)由平移，可得EF=BC=3cm, CF=AD=3 cm, 所以四边形AEFC的周长为AE十 EF+CF+AC=8+3+3+4= 18(cm). 10.(1)因为点B向右平移1次到 点B1,点B向右平移2次到点B2, 所以根据平移的性质可知，BB,=1× 5=5,BB2=2×5=10. 所以AB,=AB+BB1=6+5=11, AB2=AB+BB2=6+10=16. (2)因为点B向右平移n次到点Bn 所以根据平移的性质可知，BB,=nX 5=5m 所以ABn=AB+BBn=6+5u. 因为ABn的长为56， 所以6+5n=56,解得n=10. 所以n的值为10 第1章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：因为OE⊥OC,所 以∠EOC=90°.因为∠COF=32°，所 以∠E0F=90°-32°=58°.因为OF 平分∠BOE,所以∠EOF=∠BOF 58°.所以∠BOC=∠BOF ∠C0F=58°-32°=26°.因为 ∠AOD=∠BOC,所以∠AOD=26°. [变式]30°解析：因为OE⊥AB, 所以∠EOB=90°.设∠COE=x.因 为∠C0E=号∠D0F,0F平分 ∠BOD,所以∠DOF=∠BOF= 2∠COE=2.x.所以∠BOC=180° 4x.因为∠BOE=90°，所以x+ 10 180°-4x=90°.所以x=30°.所以 ∠C0E=30° 典例2D [变式]①②③ 典例3因为∠2+∠D=90°，∠1十 ∠D=90°， 所以∠2=∠1. 因为∠C=∠1， 所以∠2=∠C. 所以ABCD. [变式]C 典例4(1)因为∠ACE=50, 所以∠BCE=180°-∠ACE=130°， 因为CD平分∠ECB, 所以∠DCB=号∠BCE=65 因为CD∥FG, 所以∠BFG=∠DCB=65. (2)因为∠ACE=m°， 所以∠BCE=180°-∠ACE= 180°-m. 因为CD平分∠ECB, 所以∠DCB=2 ∠BCE=90° 2m 因为CDFG, 所以∠BFG=∠DCB=90°-2m, [变式]B 典例5(1)ADEF 理由：因为∠1+∠BDE=180°， 所以AC∥DE. 所以∠2=∠ADE 因为∠2+∠4=180°， 所以∠ADE+∠4=180°. 所以ADEF. (2)因为AD∥EF, 所以∠BAD=∠3=90， 因为∠2+∠4=180°，∠4=140°， 所以∠2=40°. 所以∠BAC=90°-40°=50°. [变式](1)因为∠1=∠C, 所以BECF 所以∠B=∠2=55°. (2)AB//CD. 理由：因为BE⊥DF, 所以∠DPE=90°. 由(1)，得BECF, 所以∠CFD=∠DPE=90° 所以∠2+∠BFD=180°-∠CFD= 90. 因为∠2+∠D=90, 所以∠BFD=∠D. 所以ABCD 典例6160解析：如图，把几条2m 宽的道路分别平移到长方形的上边和 左边，则进行绿化的部分可变成一个 新的长方形.因为这个新的长方形的 长是18-2=16(m),宽是12-2=10(m), 所以绿化的面积为16×10=160(m). 18m (典例6图) [变式]15cm解析：因为三角形 ABC沿边BC向右平移4cm得到三 角形A'BC,所以AA'=BB'= CC'=4cm,AC=A'C'.因为四边形 AA'C'B的周长为23cm,所以AA'+ AB+BC+CC'+A'C'=23cm.所以 AB+BC+AC=23-(4+4)= 15(cm),即三角形ABC的周长为 15cm. [综合素能提升] L.A解析：若DE∥AB,则 ∠DEF+∠EFB=180°，故①正确： 能与∠DEF构成内错角的角是 ∠EFA和∠EDC,共2个，故②正确： 能与∠BFE构成同位角的角是∠A, 只有1个，故③错误：能与∠C构成同 旁内角的角是∠CDE,∠B,∠CED, ∠CEF,∠A,共5个，故④错误.综上 所述，正确的是①②. 2.A解析：因为EO⊥AB,所以 ∠BOE=90°.因为OF平分∠BOD 所以∠BOD=2∠BOF=2∠DOF.所 以∠AOC=∠BOD=2∠BOF.因为 ∠AOC+∠DOF=39°，所以 3∠BOF=39°.所以∠BOF=13°.所 以∠EOF=∠BOE-∠BOF=90°- 13°=77 3.D解析：如图，延长DE交AB的 延长线于点G.因为AB∥CD,所以 ∠D=∠G.因为BF∥DE,所以 ∠G=∠ABF.所以∠D=∠ABF.因 为BF平分∠ABE,所以∠ABE= 2∠ABF=2∠D. D B -G (第3题) 4.B解析：因为三角形ABC以每秒 1cm的速度沿线段BC所在直线向右 平移，得到三角形DEF,所以BE= CF=tcm,则CE=(6-t)cm.①当 BE=2CE时，t=2(6-t),解得t=4: ②当CE=2BE时，6-1=2t,解得 t=2;③当BC=2BE时，6=2t,解得 t=3;④当BC=2EC时，6=2(6 t),解得t=3.综上所述，t的值为2 或3或4，故乙对. 5.35°解析：因为AD∥BC,所以 ∠ACB=180°-∠DAC=180° 125°=55°.因为∠ACF=15°，所以 ∠BCF=∠ACB+∠ACF=55°+ 15°=70°.因为CE平分∠BCF,所以 ∠BCE=∠BC=2X70=35 因为EF∥BC,所以∠FEC=∠BCE= 35°. 6.150°或30°解析：分两种情况讨 论：①如图①，当AB∥CD时， ∠BAD=∠D=30°.②如图②，当 AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，所 11 以∠BAD=60°+90°=150°.综上所 述，当ABCD时，∠BAD的度数为 150或30° 0 ② (第6题) 7.(1)EH∥AD. 理由：因为∠1=∠B, 所以ABGD. 所以∠2=∠BAD 因为∠2+∠3=180°， 所以∠BAD+∠3=180°. 所以EH∥AD (2)由(1)，得ABGD, 所以∠2=∠BAD,∠DGC=∠BAC. 因为∠DGC=58°， 所以∠BAC=58, 因为EH∥AD, 所以∠2=∠H. 所以∠H=∠BAD, 所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+ ∠4=58° 因为∠H=∠4+10°， 所以∠4+10°+∠4=58. 所以∠4=24°， 所以∠H=∠4+10°=34， 第2章二元一次方程组 2.1二元一次方程 1.C2.A3.3.x+2y=260