1.1 第2课时 垂线-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 第2课时 自基础进阶 1.下列结论中，不正确的是 A.一条直线的垂线只有一条 B.若两条直线相交所成的四个角相等，则这 两条直线互相垂直 C在同一平面内，垂直的两条直线一定相交 D.在同一平面内，过一点只能画出已知直线 的一条垂线 2.(2025·杭州上城段考)如图，直线AB,CD 相交于点O,OE⊥AB于点O.若∠DOB= 43°，则∠COE的度数是 () A.43°B.137°C.57°D.47 D -B C (第2题) (第3题) 3.(2025·杭州段考)如图，BD⊥AC,垂足为D, 则下列线段关系中，不一定成立的是() A.AB>AD B.BC>BD C.AB>BD D.BC>AB 4.过一条线段外一点，画出这条线段的垂线，垂 足在 () A.这条线段上 B.这条线段的端点上 C.这条线段的延长线上 D.以上都有可能 5.(2024·宁波镇海期末)如图，直线AB,CD相 交于点O,EO⊥CD于点O.若∠BOD· ∠BOC=2:7,则∠AOE的度数为 0 (第5题) 4 拍照批改 垂线 “答案与解析”见PI 6.如图，直线AB,CD相交于点O,P是直线 CD上的一点 (1)过点P画AB的垂线段PE, (2)过点P画CD的垂线，与AB交于点F. (3)试写出线段PE,PO,FO的长度的大小 关系（用“<”连接），并指出其依据 C P (第6题) 幻素能攀升 7.如图，直线EF,CD交于点O,OA⊥OB,且 OC平分∠AOF.若∠AOE=n°，则∠BOD 的度数为 () 4B°C3D.D (第7题) (第9题) 8.分类讨论思想在同一平面内，已知线段AB 的长为10cm,点A,B到直线l的距离分 别为6cm和4cm,则符合条件的直线l有 条 9.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分 ∠AOC,OF⊥AB,OG平分∠EOF.若 ∠BOC=48°，则∠AOG的度数为 10.新考法·操作实践题如图，河流EF 边上有A,B,C,D四个村庄，为解 决饮水问题，政府准备投资修建一答案讲解 个蓄水池. (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小. (2)政府计划把河水引入蓄水池H中，怎 样开渠最短？请说明理由. .A C B ·D (第10题) 11.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分 ∠BOD,OF⊥CD.若∠BOC的度数比 ∠DOE的大75°，求∠AOD和∠EOF的 度数 (第11题) 第1章相交线与平行线 的思维拓展 2.如图①，射线OC⊥AB,垂足为O, ∠DOE=90°，OM平分∠BOD. (1)∠BOE与∠COD的数量关系答案讲解 是 ,理由是 (2)探索∠AOD与∠COM的数量关系，并 说明理由. (3)如图②，在上述条件下，将∠DOE旋转 至直线AB的下方，请继续探索∠AOD与 ∠COM的数量关系，并说明理由. 0 0 ① ③ (第12题) 5第1章相交线与平行线 1.1直线的相交 第1课时对顶角 1.A2.C3.对顶角相等 4.因为∠COE=90°，∠COF=32 所以∠EOF=∠COE-∠COF=58. 因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=∠FOE=58°. 所以∠COA=∠AOF-∠FOC= 58°-32°=26° 所以∠BOD=∠COA=26°. 5.A解析：如图，延长AO至点B. 因为∠1=47°，所以∠3=43°.所以 ∠2+∠4=43°.又因为∠2=30，所 以∠4=13°，即光的传播方向改变的 度数为13°. (第5题) 6.B解析：因为∠BOE=90,所以 ∠AOE=180°-∠BOE=180° 90°=90.所以∠AOC+∠COE= 90°.所以∠AOC与∠COE互为余角. 故①正确.由对顶角相等，可得 ∠AOC=∠BOD.故②正确. ∠AOE=∠AOC+∠COE=90°，但 ∠AOC与∠COE不一定相等，故③ 错误.因为∠COE+∠DOE=180°， 所以∠COE与∠DOE互为补角.故 ④正确.∠COE+∠DOE=180,但 ∠AOC与∠COE不一定相等，故⑤ 错误.因为∠BOD=∠AOC,且 ∠COE+∠AOC=90°，所以 ∠BOD+∠COE=90°.所以∠BOD 与∠COE互为余角.故⑥正确.综上 所述，错误的有③⑤. 7.3解析：因为∠1十∠5=180°， ∠6+∠5=180°，所以∠1=∠6.因为 ∠6=∠8，所以∠1=∠8.又因为 ∠1=∠3，所以题图中与∠1相等的 角有3个. 8.70或30°解析：如图①，∠EOD 在∠BOD的外部.因为∠AOC=50°， 所以∠BOD=50°.所以∠BOE ∠BOD+∠EOD=70°.如图②， ∠EOD在∠BOD的内部.因为 ∠AOC=50°，所以∠BOD=50°.所以 ∠BOE=∠BOD-∠EOD=30°.综 上所述，∠BOE的度数为70°或30， E D D 0 C 0 B B ① ② (第8题) 9.因为OE平分∠AOF, 所以∠AOF=2∠EOF. 因为∠AOF=∠BOD,∠COB=90°， 所以2∠EOF-∠COD=∠AOF- ∠COD=∠BOD-∠COD= ∠COB=90°. 10.(1)因为∠AOC与∠BOD是对 顶角， 所以∠AOC=∠BOD=65. 因为∠AOE:∠COE=2:3, 所以∠A0E=2∠A0C=26. 6 所以∠BOE=180°-∠AOE=180°- 26°=154」 (2)设∠AOE=2.x,∠COE=3.x. 因为∠AOE=∠BOF-10, 所以∠BOF=4.x+20°. 因为OF平分∠BOE, 所以∠BOE=2∠BOF=8x+40° 又因为∠AOE+∠BOE=180°， 所以2.x+8.x+40°=180°，解得 x=14°. 所以∠COE=3.x=42」 11.A解析：由角的和差，得 ∠ACD+∠BCE=∠ACB+ ∠BCD+∠BCE=∠ACB+ ∠DCE=180°，所以∠ACD=180°一 ∠BCE=180°-n.所以∠PCF= ∠ACD=180°-n. 12.(1)2. 1 (2)6. (3)12. (4)若有n条直线相交于一点，则可 形成n(n一1)对对顶角. (5)2025×(2025-1)=4098600(对)， 所以若有2025条直线相交于一点， 则可形成4098600对对顶角. 方法归纳 找对顶角的方法 找一个角的对顶角时，可以分 别反向延长这个角的两边，以这两 条反向延长线为边的角即为原角 的对顶角， 第2课时垂线 1.A2.D3.D4.D 5.130°解析：因为∠BOD: ∠BOC=2:7,∠BOD+∠BOC= 180,所以∠0D=号×180=40 所以∠BOD=∠AOC=40°.因为 EO⊥CD,所以∠EOC=90°.所以 ∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+ 40°=130. 6.(1)如图所示 (2)如图所示」 (3)PE<PO<FO. 依据是连结直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短 C A/FE O B D (第6题) 7.B解析：因为∠AOF+∠AOE= 180°，∠AOE=n°，所以∠AOF= 180°-n°.因为OC平分∠AOF,所以 1 ∠AOC=2∠AOF=90°- 如因 为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.所以 ∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC= 1 n: 8.3解析：根据从直线外一点到这 条直线的垂线段的长度，叫作点到直 线的距离，画出图形进行判断.如图 ①，在线段AB的两旁可分别画一条 满足条件的直线：如图②，作线段AB 的垂线，将线段AB分成6cm,4cm 的两部分.故符合条件的直线1有 3条. 6cm46cm 6cm B 4cm B ① ② (第8题) 9.12°解析：因为∠BOC=48°，所以 ∠AO0C=180°-48°=132°.因为OE 平分∠AOC,所以∠EOC=∠AOE= 3∠A00=2X15驼=6因为 OF⊥AB,所以∠BOF=90°.所以 ∠EOF=360°-∠EOC-∠BOC ∠BOF=360°-66°-48°-90°= 156°.因为OG平分∠EOF,所以 ∠P0G=∠FOG=2∠BOF=2× 156°=78°.所以∠AOG=∠EOG ∠AOE=78°-66°=12. 10.(1)如图，连结AD,BC交于点 H,则点H为所求蓄水池的位置. (2)如图，过点H作HG⊥EF,垂足 为G,按照HG开渠最短. 理由：连结直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短 A C B D G (第10题) 11.因为OE平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠DOE=2∠EOB. 因为∠BOC=∠DOE+75°， 所以∠DOE+75°+2∠DOE=180°. 所以∠DOE=35. 所以∠BOE=∠DOE=35°，∠BOD= 2∠DOE=70° 所以∠AOD=180°-∠BOD=180° 70°=110 因为OF⊥CD, 所以∠BOF=90°一∠BOD=90° 70°=20°. 所以∠EOF=∠FOB+∠BOE= 20°+35°=55. 所以∠AOD和∠EOF的度数分别为 110°，55°. 12.(1)相等；同角的余角相等， (2)∠AOD=2∠COM! 理由：因为OM平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠BOM, 所以∠AOD=180°-∠BOD= 180°-2∠BOM=2(90°-∠BOM). 因为OC⊥AB, 所以∠COB=90 所以∠COM=∠COB-∠BOM= 90°-∠BOM. 所以∠AOD=2∠COM. (3)∠AOD+2∠COM=360. 理由：因为∠DOE=90°，OC⊥AB, 所以易得∠COE=∠AOD. 因为OM平分∠BOD, 所以∠BOM=∠DOM. 所以易得∠COM=∠EOM. 因为∠COE+∠EOM+∠COM= 360°， 所以∠AOD+2∠COM=360°. 1.2同位角、内错角、 同旁内角 1.B2.C3.8080100 4.(1)同位角：∠1与∠8，∠2与∠5， ∠3与∠6，∠4与∠7：内错角：∠3与 ∠8，∠4与∠5：同旁内角：∠3与∠5， ∠4与∠8. (2)∠A与∠5是直线AC截直线 AB,DE形成的同旁内角；∠A与∠6 是直线AC截直线AB,DE形成的内 错角；∠A与∠8是直线AC截直线 AB,DE形成的同位角. 5.D解析：题图中的内错角有 ∠ABC与∠BCD,∠EBC与∠BCF, ∠ABC与∠BCF,∠EBC与∠BCD. 2 共4对 6.A解析：结合题图，可知∠1的内 错角只有∠3，故①正确.∠A的同旁 内角有∠1，∠5，∠E,∠ABC,故②错 误.∠2的内错角有∠4，∠E,故③错 误.题图中的同位角有∠A与∠EDF, ∠E与∠5，∠E与∠4，∠EDF与 ∠EFC,∠EFC与∠2，∠4与∠C, ∠3与∠5，∠EFD与∠1，共8对，故 ④错误.综上所述，正确的有1个. 7.a<b解析：因为∠1的同位角只 有∠E,所以a=1.因为∠1的内错角 有∠DBF,∠DBA,所以b=2.所以 a<b. 8.16解析：题图中同位角有∠1与 ∠C,∠5与∠C,内错角有∠2与∠4， ∠3与∠5，同旁内角有∠2与∠5，∠3 与∠4，∠4与∠C,∠3与∠C,所以 a=2,b=2,c=4.所以abc=2×2× 4=16. 9.(1)如图所示（画法不唯一）. (2)因为∠1=3∠2，∠2=3∠3， 所以∠1=9∠3. 因为∠1+∠3=180， 所以9∠3+∠3=180°. 所以∠3=18 所以∠1=162°，∠2=54°. (第9题) 10.分别把这三类角所对应的基本图 形从题图中分离出来.如图①，∠1与 ∠2是直线BH,CG被直线BC所截 形成的同旁内角：如图②，∠1与∠4 是直线AD,BC被直线AB所截形成 的内错角；如图③，∠2与∠5是直线 AD,BC被直线FC所截形成的同位 角：如图④，∠3与∠4是直线DE AB被直线AD所截形成的同旁内 角；如图⑤，∠3与∠5是直线DE, AF被直线AD所截形成的内错角； 如图⑥，∠3与∠6是直线DA,EG被