精品解析：黑龙江哈尔滨市呼兰区2025-2026学年度下学期九年级质量检测数学试卷

2025—2026学年度下学期九年级质量检测 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色宇迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数． B、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． C、，是整数，属于有理数． D、，是整数，属于有理数． 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用幂的乘方、单项式乘以单项式、同底数幂除法和合并同类项的法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； B：是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不合题意； C：是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不合题意． 4. 如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的左视图是． 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：∵原抛物线解析式为． 根据平移规则，图象向右平移2个单位，对x进行“右减”操作，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”操作，得． ∴所得抛物线的表达式为． 6. 下列各点中，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂的法则化简函数，再将选项横坐标代入函数计算，若计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上． 【详解】解：首先化简函数，∵， ∴纵坐标为0的选项B，D直接排除； 代入选项A，当时，，∴A不符合要求； 代入选项C，当时，，与点的纵坐标一致， ∴C正确． 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 8. 如图，在纸片中，，将其绕点A逆时针旋转到的位置，连接，若，则旋转的最小角度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，由可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∴， ∴最小的旋转角为：； 故选A 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 9. 某机床厂原计划在一定期限内生产240套机床，在实际生产中通过改进技术，结果每天比原计划多生产4套，并且提前5天完成任务．设原计划每天生产x套机床，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关键描述语为：提前5天完成任务．等量关系为：原计划用的时间-5=实际用的时间． 【详解】实际用的时间为：；原计划用的时间为： 方程可表示为：． 故选：B． 【点睛】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 10. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 青藏高原的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为_____平方千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将2500000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，当函数表达式为分式时，需满足分式的分母不为0，据此计算求解． 【详解】解：由分式有意义的条件可得． ． 解得． 13. 计算的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键． 14. 分解因式：m3﹣2m2n+mn2=___． 【答案】m（m﹣n）2． 【解析】 【详解】试题分析：先提取公因式m，再用完全平方公式分解因式即可． m3﹣2m2n+mn2=m（m2﹣2mn+n2）=m（m﹣n）2． 故答案是m（m﹣n）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 15. 不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 16. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题为不放回摸球的等可能事件概率问题，通过画树状图列举出所有等可能的结果，得到总结果数与两次都摸到红球的结果数，再利用概率公式计算即可. 【详解】解：画树状图列举所有等可能结果： 第一次摸球共有种等可能情况，分别为白球，黄球，红球，红球， 由于摸出后不放回，因此第一次摸出任意一个球后，第二次对应有种等可能情况， 因此总共有 种等可能的结果， 其中两次都摸到红球的结果有种， 根据概率公式可得： 故答案为 17. 已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______. 【答案】30° 【解析】 【详解】设圆心角为n°，由题意得：=12π， 解得：n=30， 故答案为30°． 18. 如图，在中，弦、交于点E，若的半径为1，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 先证明是等腰直角三角形，是等边三角形，再根据其性质和三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：连接、、、如图所示， 的半径为1， ， ，， ，， 是等腰直角三角形，是等边三角形， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 19. 在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于__________． 【答案】20或12 【解析】 【分析】根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1所示: 在平行四边形中，边上的高为4，， , , , , 的周长等于 如图2所示: 在中，边上的高为4，， , , 的周长等于：, 则的周长等于20或12， 故答案为：20或12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论的方法是解题的关键． 20. 如图，正方形中，点、分别在边、上，连接分别交、于点、，若平分；则①；②；③若，则；④若，，则，其中正确的序号是_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得，此时与重合，证明，可判断①②；设，则，，由勾股定理得，求出，在中由勾股定理可求出，可判断③；将绕点顺时针旋转得，此时与重合，可得，， ，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，代入数据计算可判断④． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，此时与重合， ∴，， ∴， ∵平分 ∴, 又， ∴， ∴，故①正确； 由旋转得， 由得：， 又, ∴，故②正确； ∵， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，，，则：，故③正确； 将绕点顺时针旋转得，此时与重合， ∴， ∴，，，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④错误， 综上，正确的结论是①②③． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算括号内的，然后将除法转化为乘法化简，最后求解出的值并代入． 【详解】解：原式 ， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简、三角函数的求值，注意在分式化简的过程中，合理利用乘法公式可简化计算． 22. 如图的正方形方格纸中，点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1； （1）在图中画出平行四边形，且，点C、D均在小正方形的顶点上； （2）作出边上的中线（保留做题痕迹）； （3）直接写出（2）中所画线段的长_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可求解； （2）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解； （3）连接，根据勾股定理以及逆定理得出是等腰直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，平行四边形即为所求 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是的中点， ∴ ∵ ∴ 23. 某校为了解学生对生物知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图，其中抽取的学生成绩为良好的占抽取学生总人数的，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求被抽取学生的总人数； （2）通过计算补全条形统计图； （3）请估计该校3000名学生中有多少人的成绩为优秀？ 【答案】（1）100人 （2）图见解析 （3）估计该校3000名学生中有600人成绩为优秀 【解析】 【分析】（1）由抽取的学生成绩为良好的占抽取学生总人数的，则其他三个级别的占抽取学生总人数的；再用其他级别的人数除以即可解答； （2）先求出抽取的学生成绩为良好的学生人数，然后补全条形统计图即可； （3）由学校共有学生人数乘以抽取的学生成绩为优秀的所占的比例即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：抽取的学生总数为100人． 【小问2详解】 解：（人）， 补图如图所示 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校3000名学生中有600人成绩为优秀． 24. 如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； （1）求证：； （2）请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换即可； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ 25. 亚东会期间，哈市某服装店到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，已知用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等； （1）求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）服装店老板决定，购进两种品牌的儿童服装共52套，若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 【答案】（1）A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100 元和 75 元 （2）16 套 【解析】 【分析】此题考查了分式方程应用和一元一次不等式的应用，根据题意列分式方程和不等式是解题的关键． （1）设品牌进价为元/套，则每套A品牌服装进价元，用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等，据此列方程并解方程即可； （2）设购进品牌套，根据总利润不少于1200元列一元一次不等式并解不等式即可求出答案． 【小问1详解】 解：设品牌进价为元/套，则每套A品牌服装进价元， 检验：经检验是原方程的解， 答： A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100元和75元． 【小问2详解】 设购进品牌套， 答： 最少购进A品牌的服装16套． 26. 如图，已知四边形内接于，对角线、交于点，连接，； （1）如图1，求证：； （2）如图2，若恰好为的直径，连接，过点作的切线交的延长线于点F，点为上一点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交、于点、，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，由圆周角定理可得，可得，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角是直角，可得，设，由同角的余角相等，可得，由切线的性质，可得，，由垂径定理，可得，证明，可得，可得，即可证得结论； （3）延长交于，连接，，设交于，由同弧所对的圆周角相等，可得，结合圆周角定理可得，由等角对等边，结合同圆半径相等，可得，证明，可得，可得，由等腰三角形三线合一，可得，证明，可得，可得，由勾股定理可得，可得，由勾股定理可得，可得，可得，，由勾股定理可得，即可得线段的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为的直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长交于，连接，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 设交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 27. 已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入解析式可得，再由，可求出点C的坐标，即可求解； （2）作轴于K，连接，根据，即可求解； （3）先证明轴，可得，设，证明，可得，作于，可得，且，，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，且， ， ， ， ， ， ∴， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图：作轴于K，连接， 根据题意得：，则，， ． 【小问3详解】 解：，， ， ∵， ， ， 轴， ， ， ， 设， ∵ ， ， ， ， ， 如图：作于， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ，即 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期九年级质量检测 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色宇迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A. B. C. D. 6. 下列各点中，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在纸片中，，将其绕点A逆时针旋转到的位置，连接，若，则旋转的最小角度为（ ）． A. B. C. D. 9. 某机床厂原计划在一定期限内生产240套机床，在实际生产中通过改进技术，结果每天比原计划多生产4套，并且提前5天完成任务．设原计划每天生产x套机床，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 青藏高原的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为_____平方千米． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 13. 计算的结果是_________． 14. 分解因式：m3﹣2m2n+mn2=___． 15. 不等式组的解集是______． 16. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是_____ 17. 已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______. 18. 如图，在中，弦、交于点E，若的半径为1，，，则的度数为______． 19. 在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于__________． 20. 如图，正方形中，点、分别在边、上，连接分别交、于点、，若平分；则①；②；③若，则；④若，，则，其中正确的序号是_____． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图的正方形方格纸中，点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1； （1）在图中画出平行四边形，且，点C、D均在小正方形的顶点上； （2）作出边上的中线（保留做题痕迹）； （3）直接写出（2）中所画线段的长_____． 23. 某校为了解学生对生物知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图，其中抽取的学生成绩为良好的占抽取学生总人数的，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求被抽取学生的总人数； （2）通过计算补全条形统计图； （3）请估计该校3000名学生中有多少人的成绩为优秀？ 24. 如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； （1）求证：； （2）请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 25. 亚东会期间，哈市某服装店到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，已知用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等； （1）求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）服装店老板决定，购进两种品牌的儿童服装共52套，若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 26. 如图，已知四边形内接于，对角线、交于点，连接，； （1）如图1，求证：； （2）如图2，若恰好为的直径，连接，过点作的切线交的延长线于点F，点为上一点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交、于点、，若，，求线段的长． 27. 已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $