23.2一次函数的图象和性质 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

23.2一次函数的图象和性质 素养目标 1.理解正比例函数的概念； 2.能列出正比例函数关系式，能利用正比例函数解决简单的实际问题. 重点 探究新知 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ 解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，需要的时间大约为： 1318 ÷ 300 ≈ 4.4（h） x -2 -1 0 1 y=3x y=3x+2 -3 3 -1 0 2 5 -6 -4 解：列表如下、 描点、连线（如图所示）： y=3x y=3x+2 a.图象的形状： . b.倾斜程度： . c.图象与y轴的交点及在y轴的位置. . 都是直线 相同 y=3x经过原点(0，0)，y=3x+2与y轴的交点为(0，2)，在y轴的上方 y=3x向上平移2个 单位可得到y=3x+2 1.比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 小组讨论 2.联系上面的结果，考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx(k≠0)有什么关系. 与小组同学交流下列问题，整理归纳得出的结论. 活动小结 (1)一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. (2)直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移 个单位长度而得到. （当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） （画它的图象时也可以用两点法快速画出） |b| 比较上面两个函数的图象回答下列问题： (2)函数 y=2x 的图象经过_______，函数y= 2x-3的图象与y轴交于点(_______)，即它可以看作由直线 y=2x向____平移____个单位长度而得到. (1)这两个函数的图象形状都是________，并且倾斜程度_____. 原点 0 ，-3 下 3 一条直线 相同 (3)在同一直角坐标系中，直线 y =2x -3与 y =2x的位置关系是______. 平行 K值相同 K值相同 归纳：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数y=kx的图象平移______个单位长度得到. 当b＞0时，向______平移； 当b＜0时，向______平移 下 上 |b| 联系上面结果，考虑一次函数 y=kx+b（k≠0） 的图象是什么形状，它与直线 y=kx （k≠0） 有什么关系？ 函数解析式 y = kx+b 满足条件的两定点 (x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象直线 l 选取 解出 画出 选取 从数到形 从形到数 整理归纳 例 5 “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg. 如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子价格打 8 折. （1）填写下表. 购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ... 付款金额/元 ... 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 分段函数 函数解析式 y=kx+b 满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象直线 l 选取 解出 选取 画出 从数到形 从形到数 设出一次函数的解析式 y=kx+b（k≠0） 解所列的方程组，求出k ，b的值 列 设 解 将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k ，b的二元一次方程组 用待定系数法求一次函数解析式的步骤 将求出的k ，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式 代 B D 1.已知正比例函数 y = 2x 的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则 y1 y2. < ∠1 = ∠2 分析：因为 k < 0，所以 y 的值随着 x 值的增大而减小，又-3 < 1，则 y1＞y2. 2.已知正比例函数 y = kx (k < 0) 的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则 y1 y2. > 练一练 例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：∵ 正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4）， ∴ 4 = m · m，解得 m = ±2. 又∵ y 的值随着 x 值的增大而减小， ∴ m < 0，故 m = －2. 新知探究 一次 函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0） k,b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 经过的象 限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 一、二、三 x y O x y O x y O x y O x y O x y O 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 1. 在直角坐标系中，函数 y=-5x+3 的图象经过（ ） A. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 B. 一、二、四象限 D. 一、三、四象限 B -5<0，经过第二、四象限；3>0，经过y的正半轴. 跟踪训练 新知探究 B B 探究新知 思考 经过原点与点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？ 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象.一般地，过原点与点(1，k)(k≠0)的直线，即正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象. 知识归纳 y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 另外：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx 在正比例函数y=kx中： 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 练习1 已知正比例函数 的图像经过点 ，则a的值为( ) A.3 B.4 C.1 D. 解析：∵ 在函数 的图像上， ∴ . 故选：B. 练习2 已知正比例函数 的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：由正比例函数 的图象经过第一、三象限， 得比例系数 ， 解得 ，故选D. 练习3 已知点 在第二象限,则函数 的图象在平面直角坐标系中的位置大致是( ) A. B. C. D. 解析：∵点 在第二象限,∴ , , ∴函数 的图象经过第一、二、四象限,故选：B. 练习4 两个一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图像可能是( ) A.B.C.D. 练习8 已知y与 成正比例,且当 时, . (1)y与x之间的函数关系式. (2)当 时,求y的值. 解析：(1)设 , ∵当 时, ,∴ , 解得 ,∴ . (2)由(1)知 , 当 时, . $