第12章 专题特训11 三角形内、外角平分线的夹角问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 照批改 专题特训十一三角形内、外角平分线的夹角问题，“答案与解析"见46 1.如图，在△ABC中，∠ACB>∠B,AD平分3.如图，在△ABC中，点D在AB上， ∠BAC,P为线段AD上的一点，PE⊥AD, 过点D作DE∥BC,交AC于点E, 交BC的延长线于点E,若∠E=25°， DP平分∠ADE,交∠ACB的平分答案讲解 ∠ACB=85°，求∠B的度数， 线于点P,CP与DE相交于点G,点F在边 BC的延长线上，∠ACF的平分线CQ与DP 相交于点Q, D (1)若∠A=48°，∠B=62°，则∠DP℃= (第1题) °，∠Q (2)若∠A=m,当∠B的度数发生变化时， ∠DPC,∠Q的度数是否发生变化？若变 化，请说明理由；若不变，求出∠DPC,∠Q 的度数（用含m的代数式表示）， (3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个 内角的4倍，请直接写出所有符合条件的 2.(1)如图①所示的图形我们把它称为“8字 ∠A的度数. 形”，求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)①如图②，AP,CP分别平分∠BAD, ∠BCD,若∠B=36°，∠D=16°，求∠P的 度数 ②AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,直接 (第3题) 写出∠B,∠D,∠P三者之间的数量关系， (第2题) 128 第12章定义命题证明 4.如图，作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的5.如图，在△ABC中，∠A>∠C,BD 平分线交于点Q. 平分∠ABC,DE⊥AC于点E. (1)试求出∠Q,∠A之间的数量关系 (1)若∠A=80°，∠C=40°，求∠D答案讲解 (2)延长BP,QC交于点E,若在△BQE中， 的度数 存在一个内角等于另一个内角的4倍，求 (2)如图①，求证：∠D=2(∠A-∠C). ∠A的度数. (3)如图②，若点D恰好在△ABC的外角 ∠ACF的平分线上，且∠BDE=24°，求 是∠ABC+∠EDC的度数 (第4题) (第5题 1297.A8.B9.A10.a≥( 11.答案不唯一，如0一2 12.已知：如图，∠ACD是△ABC的 一个外角 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：假设∠ACD≠∠A十∠B. ∴.∠ACD≠180°-∠ACB. 又，∠ACD+∠ACB=180°，即 ∠ACD=180°-∠ACB, 假设不成立 .∠ACD=∠A+∠B. (第12题) 13.≠=≠平角为180°≠ 14.假设∠B十∠E+∠D≠360， 延长BE交CD的延长线于点F,G 为DF的延长线上的点」 AB//CD, .∠B=∠EFG」 ∴.∠BED+∠CDE+∠EFG≠ 360°，这与多边形的外角和等于360° 矛盾。 .∠B+∠BED+∠CDE=360 15.B解析：由题意可知，所举的反 例需满足该角的余角小于或等于这个 角.选项A,所设的角与它的余角相 等，故选项A正确，不符合题意.选项 B,所设的角小于它的余角，故选项B 错误，符合题意.选项C,所设的角大 于它的余角，故选项C正确，不符合 题意.选项D,所设的角大于它的余 角，故选项D正确，不符合题意 易错警示 未举出恰当的反例导致错误 解决这类说明一个命题是 假命题的问题时，常常会出现 所举的反例不符合条件导致解 题错误的情况.解题时要注意 提出与命题结论相反的结论， 本题中所举的反例需满足该角 的余角小于或等于这个角，再 进行推理、判断 16.不能 理由：假设能 如图，设所填的互不相同的4个数为 a,b,c,d a2+c2=b2+d2①， .a2+d2=c2+b2@, a2+b2=c2+d③. ①-②，得c2-d=d2-c2. .c2=d2. c≠d, .c=-d. 同理，可得c=-b. ∴.b=d,与已知条件b≠d矛盾. .不能。 (第16题) 专题特训十一三角形内、 外角平分线的夹角问题 1.PE⊥AD .∠EPD=90° ∠E=25°， ∴.∠ADC=180°-∠EPD-∠E= 180°-90°-25°=65° 在△ACD中，∠ACD=85°， ∠ADC=65°， ∴.∠CAD=180°-∠ACD ∠ADC=180°-85°-65°=30. AD平分∠BAC, .∠BAC=2∠CAD=2X30=60. 在△ABC中，∠BAC=60°， ∠ACB=85, ∴.∠B=180°-∠BAC-∠ACB= 180°-60°-85°=35 2.(1)∠A+∠B+∠AOB=180°， .∠A+∠B=180°-∠AOB 同理，得∠C+∠D=180°-∠COD, 又.·∠AOB=∠COD, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D 46 (2)①由(1)知，∠BAP+∠B= ∠BCP+∠P,∠DAP+∠P= ∠PCD+∠D, ∴.∠BAP-∠BCP=∠P-∠B, ∠DAP-∠PCD=∠D-∠P. 又：AP,CP分别平分∠BAD, ∠BCD, ∴.∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠PCD. ∴.∠BAP-∠BCP=∠DAP-∠PCD. ∴∠P-∠B=∠D-∠P. ∴∠P=∠D+∠B 2 又.∠B=36,∠D=16°， ÷∠P-36,16=26. 2 ®∠P=∠D+∠B 2 3.(1)114:24.解析：∠A=48°， ∠B=62°，∴.∠ACB=180°-∠A ∠B=180°-48°-62°=70°.CP平 分∠ACB,∴.∠BCP=∠ACP= 3∠ACB=2×70=35.:DE/ 1 BC,∴.∠ADE=∠B=62°， ∠PGD=∠BCP=35.,DP平分 1 ∠ADE,·.∠PDG=Z∠ADE= 合×62=3.∠DPC=18N ∠PDG-∠PGD=180°-31°-35°= 114°..∠QP℃=180°-114°=66. CQ平分∠ACF,∴.∠ACQ= 3∠ACR:∠ACP=合∠ACB, ∠ACB+∠ACF=180°，∴.∠ACP+ ∠ACQ=90°，即∠PCQ=90. ∴.∠Q=90°-∠QPC=90° 66°=24°. (2)不变. ∵∠A=m, .∠ACB+∠B=180°-m. .DE∥BC, ∴.∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB. DP平分∠ADE,CP平 分∠ACB, &∠PDE=∠ADE=∠B, ∠PCB=∠ACB=∠PGD, ∴.∠DPC=180°-（∠PDE+ ∠PGD)=180°- 2(∠B+ ∠ACB)=180-7(180-m) 90+2m. ∴.∠QPC=180°- (90+2m)= ·CQ平分∠ACF, ·∠AQ-∠ACP. ”∠ACP=2∠ACB,∠ACB+ ∠ACF=180°， ∴.∠ACG+∠ACQ=90°，即 ∠PCQ=90, ∴.∠Q=90°-∠QPC=90°- (o-m)=7m 1 (3)设∠A=a, 由(2)可知，∠QPC=90°- ∠Q=3a,∠PcQ=9c 可分类讨论： ①当∠PCQ=4∠QPC时，90°- 子。-子×90，部得。=13 .∠A=135. @当∠PCQ=4∠Q时，2a=4 90°，解得a=45 .∠A=45 ③当∠QPC=4∠Q时，90° 2a= 4Xa,解得。=36 .∠A=36 ④当4∠QPC=∠Q时，4× (90-3)=7,解得a=14 .∠A=144°. 综上所述，∠A的度数为45°或135 或144或36 4.(1)∠MBC,∠NCB的平分线 交于点Q, ·.∠QBC+∠QCB=7(∠MBC+ 1 ∠NCB)= 2(360°-∠ABC ∠ACB)=2(180+∠A)=90+ 合A ∴.∠Q=180°-∠QBC-∠QCB= 180°- (0+2∠A）=90 (2)延长BC至点F. ,CQ为△ABC的外角∠NCB的平 分线， ∴.CE是△ABC的外角∠ACF的平 分线. .∠ACF=2∠ECF】 :BE平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠EBC. :∠ECF=∠EBC+∠E, ∴.2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即 ∠ACF=∠ABC+2∠E. 又，∠ACF=∠ABC+∠A, ∴.∠A=2∠E. :∠EBQ=∠EBC+∠CBQ ∠AB+∠MBC-AC+ ∠MBC)=90°， ∴.如果在△BQE中，存在一个内角 等于另一个内角的4倍，那么分四种 情况： ①若∠EBQ=4∠E=90°，则 ∠E=22.5°， ∴.∠A=2∠E=45°. ②若∠EBQ=4∠Q=90°，则 ∠Q=22.5°， ∴.∠E=90°-∠Q=67.5°. ∴.∠A=2∠E=135, ③若∠Q=4∠E,则∠Q+∠E 5∠E=90°， 47 '.∠E=18° .∠A=2∠E=36 ④若∠E=4∠Q,则∠Q+∠E= 7∠E=90 .∠E=72 .∠A=2∠E=144°. 综上所述，∠A的度数是45°或135 或36或144° 5.(1)记AC,BD交于点O. ∠A=80°，∠C=40°， .∠ABC=180°-80°-40°=60°. BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD=30° :DE⊥AC, ∴.∠AED=90°. :'∠AOD=∠A+∠ABD=∠DEO+ ∠D, .80°+30°=90°+∠D. ∴.∠D=20° (2)记AC,BD交于点O. 设∠A=2a,∠C=28. .∠ABC=180°-∠A-∠C= 180°-2a-23. BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD= ∠ABC= 2 90°-a-3. 由(1)知，∠DE0=90. ,∠AOD=∠A+∠ABD= ∠DEO+∠D, ∴.2a+90°-a-3=90°+∠D. .∠D=a-B. ∠A-∠C=2a-28, ∠D=∠A-∠C. (3)记AC,BD交于点O. 设∠CDE=x. :∠BDE=24°， .∠CD0=24°+x. ∠DEC=90°， ∴.∠DCE=90°-x. .·CD平分∠ACF, ∴.∠DCE=∠DCF=90°-x. .∠ACB=180°-2(90°-x)=2x. 由(2)知，∠BDE=号（∠A ∠ACB), .∠A=2X24°+2x=48°+2.x. ∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB 132°-4x. :子∠ABC+∠EDC=子(132 4x)+x=33° 第12章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C [变式]C 典例2B解析：①有理数和无理 数都可以用数轴上的点表示，故原命 题是假命题.②两条平行线被第三条 直线所截，内错角相等，故原命题是假 命题.③平行于同一条直线的两条直 线互相平行，故原命题是其命题. ④直线外一点到这条直线的垂线段 的长度叫作点到直线的距离，故原命 题是假命题.综上所述，假命题的个数 是3. [变式]A 典例3B解析：选项A的逆命题 是相等的两个角为对顶角，是假命题， 故选项A错误.选项B的逆命题是三 个内角相等的三角形是等边三角形， 是真命题，故选项B正确.选项C的 逆命题是如果两个数的积是正数，那 么这两个数也是正数，是假命题，选项 C错误，选项D的逆命题是锐角三角 形是等边三角形，是假命题，故选项D 错误， [变式]C 典例4(1)：AEBD, .∠A+∠ABD=180°. .∠A=∠BDC, .∠BDC+∠ABD=180. .AB∥CD. (2)过点E向右作EH∥AB. 由(1)知ABCD, .∴.ABEH/CD '.∠A+∠AEH=180°，∠C+ ∠CEH=180° ∴.∠A+∠AEH+∠C+∠CEH= 360°，即∠A+∠AEC+∠C=360°. (3):∠AEC的平分线交CD的延 长线于点F, &∠CEF=G∠ABEC 在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C= 180°，且∠F=20° ∠ABC+∠C=1560D. ∠A=∠BDC,∠BDC=140, .∠A=140. .∠A+∠AEC+∠C=360°， ∴.∠AEC+∠C=220②. ①×2-②，得∠C=100°. [变式](1)：EFCD, ∴.∠1+∠ECD=180° ∠1+∠2=180°， .∠ECD=∠2. ∴.DG∥AC. (2):DG∥AC,∠A=37, .∠A=∠GDB=37. DG平分∠CDB, ∴.∠CDB=2∠GDB=74. 典例5C [变式]这五个正数都小于1 典例6(1)∠ABC=80°， ∴.∠ABE=180°-80°=100. BF平分∠ABE, :·∠ABF=∠EBF=之∠ABE=50 BF//CD, ∴.∠BCD=∠EBF=50°. (2).·CF平分∠BCD,BF平 分∠ABE, 1 ·.∠BCF=∠DCF=2∠BCD, ∠EBF=∠ABF, :∠A+∠D+∠ABC+∠BCD= 360°，∠A=110°，∠D=120°， ∴.∠ABC+∠BCD=360°-110° 120°=130. 48 .∴.180°-∠ABE+2∠BCF=130°. :∠ABE=2∠EBF,∠EBF= ∠F+∠BCF, .180°-2（∠F+∠BCF)+ 2∠BCF=130°. .2∠F=50°. ∴.∠F=25. [变式]112.5解析：在正八边形 ABCDEFGH中，AE平分∠BAH, BG⊥GF,∠BAH=∠AHG= ∠HGF=3×(8-2)X180=135, .∠PAH=2∠BAH=67.5, ∠BGF=90°.∴.∠HGP=∠HGF- ∠BGF=45°.四边形APGH的内 角和为360°，∴.∠APG=360°一 45°-67.5°-135=112.5. [综合素能提升] 1.B2.A 3.C解析：①二元一次方程有无数 个解的逆命题是有无数个解的方程是 二元一次方程，是假命题.②偶数一 定能被2整除的逆命题是能被2整除 的是偶数，是真命题.③末位数字是5 的数能被5整除的逆命题是能被5整 除的数的末位数字是5，是假命题. ④对顶角相等的逆命题是相等的角 是对顶角，是假命题.综上所述，逆命 题是假命题的个数是3. 4.a2<b25.28 6.110°解析：∠B=40°，∠C= 30°，∴.∠BAC=180°-40°-30°= 110°.由折叠的性质，得∠E=∠C= 30°，∠EAD=∠CAD,∠ADE= ∠ADC.,DE∥AB,∴.∠BAE= ∠E=30.∠CAD=7×110- 30)=40°.∴.∠ADE=∠ADC= 180°-∠CAD-∠C=110. 7.设这个正多边形的边数为n. 根据题意，得180°×(n一2)=360°+ 360°，解得n=6. .这个正多边形的边数为6. “每个外角的度数是360°=60 6