第11章 一元一次不等式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

15x+10y=230, 由题意，得 解得 25.x+25y=450, x=10, y=8. 所以某商店在无促销活动时，A款盲 盒的销售单价为10元，B款盲盒的销 售单价为8元 (2)采用甲方案购买所需的费用为 35+0.8×10m+0.8×8×(40 m)=(1.6m+291)元， 采用乙方案购买所需的费用为0.9× 10m+0.9×8×(40-m)=(1.8m+ 288)元. 令1.6m+291<1.8m+288,解得 m>15, 所以15<m<40 所以当15<m<40时，采用甲方案购 买更合算. 11.B解析：该校最后参加活动的总 人数为35×6+18×5+30=330.设 租用小客车x辆，则租用大客车(6十 5一x)辆.依题意，得18x十35(6+5- x)≥30，解得x≤票又因为：为整 数，所以x的最大值为3，即该校最后 租用小客车辆数的最大值为3. 12.(1)设灰枣每包的价格为x元， 鸡心枣每包的价格为y元 2.x+y=80 根据题意，得 解得 3.x+4y=170, x=30 y=20. 所以灰枣每包的价格为30元，鸡心枣 每包的价格为20元. (2)设购买灰枣a包，则购买鸡心枣 (100-a)包. 根据题意，得30a十20(100-a)≤ 2600,解得a60. 因为要求灰枣尽量多， 所以最多能购买灰枣60包 第11章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C解析：在不等式x>y的 两边同时加上5，得x+5>y+5,则 选项A不符合题意；在不等式x>y 的两边同时减去5，得x一5>y一5， 则选项B不符合题意；在不等式x一 y的两边同时乘5，得5.x>5y,则选 项C符合题意：在不等式x>y的两 边同时乘-5，得-5.x<-5y,则选项 D不符合题意 [变式]B 典例2x<一3解析：因为ax十 b>0的解集是x<号，所以a<0, 6=3即a=-3动.所以b>0.所 以不等式bx一a0可变形为bx十 3b<0,解得x<一3 [变式]A解析：解不等式2一 3x≥5，得x一1.因为不等式xm 的解都是不等式2一3x≥5的解，所 以m≤-1. 典例3解不等式3(x-1)<4十2x, 得x<7! 解不等式号<2，得>-1 所以不等式组的解集为一1<x<7 [变式]解不等式≤专1， 得x≤2. 所以不等式的正整数解为x=1,2 典例4(1)设A种跳绳每条m元 B种跳绳每条n元. 2m+3n=35, 根据题意，得{ 解得 (6m+4n=80, m=10, n=5. 所以A种跳绳每条10元，B种跳绳每 条5元. (2)促销方案一所需的花费为10x十 20×5=(10x+100)元：促销方案二 所需的花费为10×80%x+5× 80%·(x+20)=(12x+80)元， 令10x+100>12x+80,解得x<10: 令10x+100=12.x+80,解得x=10: 令10x+10012x+80,解得x>10. 所以当x=10时，该校选择促销方案 一和促销方案二同样划算；当x<10 40 时，该校选择促销方案二更划算；当 x>10时，该校选择促销方案一更 划算. [变式](1)设A型空调的销售单价 为x元，B型空调的销售单价为y元 x+2y=14000, 根据题意，得 解得 2x+3y=24000, x=6000, y=4000. 所以A型空调的销售单价为6000元， B型空调的销售单价为4000元. (2)根据题意，得1000+4000× 总0≥800+600×10%，解得a≥10. 所以a的最小值为10. m-n=9, 典例5(1)由题意，得 (3m+n=7, m=4, 解得 n=-5. (2)由(1)，得M(x,y)=4x-5y. 14t-5(21-2)<16①， 由题意，得 (8t-5(t+2)≤3a+2②. 解不等式①，得t>-1. 解不等式②，得t≤a+4. 因为该不等式组恰好有3个整数解， 所以该不等式组的解集为一1<t≤ a+4. 所以2≤a+4<3,解得-2≤a<-1. [变式](1)x≤{x}x+1 (2)因为x{x}<x+1,{x十 3}=5, ,x+3≤5， 所以 解得1<x≤2. 5<(x+3)+1, 所以x的取值范围是1<x≤2. (3)因为3.5r-2}=2x-子， 所以由(1)，得3.5x一2{3.5.x 为 2}<(3.5x-2)+1,且2x-4 整数. <(3.5x 所以3.5x-2≤2x-4 2+1,解得<≤行 所以<2x-4<22 1 所以整数2x-的值为1或2， 当2x- -1时，得x .5 当2x-}=2时，得x=号 9 所以3.5x-2)=2红-是中的x的 值为骨或号 典例6(1)解方程2x-a=-1,得 r=4-1 2 由题意，得1<0，解得a<1, 2 所以a的取值范围是a<1. (2)因为b-a=3, 所以b=3+a. 因为b>2, 所以3+a>2,解得a>-1. 由(1)，得a<1. 所以-1<a<1. 因为a十b=a+(3+a)=2a+3, 所以12a+35, 即1<a+b<5. x+y=-1①， [变式]记 5.x+2y=6m+7②. ②-①×2，得3x=6m+9,解得x= 2m+3. 把.x=2m+3代人①，得2m+3+ y=-1,解得y=-4-2m. x=2m+3, 所以方程组的解为 y=-4-2m. 因为关于x,y的方程组 x+y=一1， 的解满足不等式 5.x+2y=6m+7 2x-y<19, 所以2(2m+3)-(-4-2m)<19,解 得m<子 [综合素能提升] 1.C解析：因为a-b+1=0,所以 b=a+1.又因为0<a+b+1<1,所 以0<a+a+1+1<1,解得一1< a<-2·故选项A错误，不合题意. 因为6=u十1，-1<a<-2,所以 0<<2,故选项B锖误，不合题意。 由-1<a<-,得-2<2a< -1,-4Ka<-2:由0<6<号，得 0<4b<2,02b<1.所以-2<2a+ 4b<1,-4<4a+2b<-1.故选项C 正确，符合题意；选项D错误，不合 题意， 2.D解析：解不等式7一2x≤1，得 x≥3.因为x<m,不等式组的整数解 共有4个，所以不等式组的解集为 3≤x<m,其整数解为x=3,4,5,6. 所以m的取值范围是6<m≤7. 3.A解析：设以后每天加工零件x个. 依题意，得24×3+(15一3)x>408, 解得x>28.因为x为整数，所以x 的最小值为29.所以以后每天至少要 加工零件29个. 4.a≥2 5.专<m<8解析：因为r-3y= 1 3,所以x=3y+3,y=3x-1.因为 m=x+2y,所以5y+3=m,3 m.所以y=m一3 3(m+2.因 5 5 3m+2>2, 5 为x>2,y<1,所以 解得 m3∠1， 、5 4∠m<8. 3 6.k>3 7.(1)2 (2)4解析：解不等式2x-a<0,得 x<号.所以0<x<号.因为关于x 的不等式2x一a<0和不等式x>0 是共联”的，所以1<号≤2，解得2< a4.所以a的最大值为4， 3)弓<<1解析：解不等式工+ 1>2b,得x>2b一1.解不等式x 41 2b3,得x≤3一2b.所以2b一1< x3-2b.因为2b-1十3-2b=2,所 以数轴上表示2b-1和3-2b的点关 于表示数1的点对称.因为关于x的 不等式x+1>2b和关于x的不等式 x十2b3是“共联”的，所以 102b-1<1 1<3-2b<2 解得分<6<1. 8.(1)设生产一件A型产品需成本 x万元，一件B型产品需成本y万元. 2x+3y=21, x=3 根据题意，得 解得 5.x+4y=35, y=5. 所以生产一件A型产品需成本3万 元，生产一件B型产品需成本5万元 (2)设该电机厂生产A型产品m件， 则生产B型产品(2m十6)件. 根据题意，得(5一3)m+(8一5)(2m+ 6)>57,解得m>8 39 又因为m为整数， 所以m的最小值为5. 所以该电机厂生产A型产品至少 5件. 综合与实践 生活中的不等式 1.(1)400×5%=20(克) 所以这份快餐中所含脂肪的质量为 20克 (2②)×400×40%=40（克）. 所以这份快餐中所含蛋白质的质量为 40克 (3)设所含蛋白质的质量为y克，则 碳水化合物的质量为4y克 由题意，得热≤8新%，解得y≤8 所以4y≤272. 所以所含碳水化合物质量的最大值为 272克. 2.(1)400:75. (2)根据题意，得50m+10(20一 n)400. (3)根据题意，得61+3(20一n)> 90,解得n>10.拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 照批改 第11章整合拔尖 》“答案与解析”见P40 知识体系构建 不等式 定义用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式， 性质 不等号的方向不变 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变 满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解，所有 不等式的解集 的解组成的全体叫作这个不等式的解集 解不等式 求不等式解集的过程叫作解不等式 次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次 一元一次 定义不等式 不等式 解法 步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1 解集 用数轴表示 用不等式表示 应用设、列、解、验、答 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个 一元一次 定义 一元一次不等式组 不等式组 解法分开解：求每个不等式的解集 集中列找公共解 通过数轴找 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 求不等式（组）的特殊解 9]高频考点突破 考点一○不等式的基本性质 变式]若a>b,x<1,则下列不等式一定成立 的是 () 典例1（2024·上海)如果x>y,那么下列不 A.ax>ba 等式正确的是 ( B.a+1>b+x A.x+5≤y+5 B.x-5<y-5 C.a-2>b-1 C.5x>5y D.-5.x>-5y D.a>b+1 110 第11章一元一次不等式 考点二不等式的解集 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A,B两种跳 典例2 已知a,b为常数.若关于x的不等式 绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条.请根据 ax十b>0的解集是x<,则关于x的不等式 购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校 选择哪种促销方案更划算. bx一a<0的解集是 提示 据关于x的不等式ax+b>0的解集是x< 了，可得a<0,且一合-日刺断的正负性，从而遇 过解不等式来解决问题 变式]若不等式x≤m的解都是不等式2 3x≥5的解，则m的取值范围是 A.m≤-1 B.m<-1 [变式]某家电专卖店销售A,B两种型号的空 C.m≥-1 D.m>-1 调，已知其中两单的销售情况如下表： 考点三解不等式（组） A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 典例3(2024·北京)解不等式组： 1 14000 3(x-1)<4+2x, 2 3 24000 x一9∠2x. 5 (1)求两种型号的空调的销售单价 (2)为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利 于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促 销两种优惠政策.小李计划购买A,B两种型号 变式求不等式 一1的正整数解。 的空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新 购买.可采取如下两种方案 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的 1000元，B型空调优惠a%; 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的 考点四运用不等式解决实际问题 800元，A型空调优惠10%. 典例4某文体书店销售A,B两种跳绳，购买 若方案一的优惠额不小于方案二，求α的最小值， 2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元；购买 6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元. (1)求A种跳绳和B种跳绳每条各多少元 (2)现该文体书店对A,B两种跳绳开展促销活 动，方案如下表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打8折 111 拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 考点五新定义问题 考点六学科内综合题 典例5对于x,y定义新运算M,规定：M(x, 典例6 已知关于x的方程2x一a=一1的解 y)=m.x十y(m,n均为非零常数)，如M(1, 为负数 1)=m+n.已知M(1,-1)=9,M(3,1)=7. (1)求a的取值范围 (1)求m,n的值 (2)已知b-a=3,且b>2,求a+b的取值 (2)已知关于1的不等式组M2,4什2)≤3a+2 M(t,2t-2)<16, 范围. 一提示 恰好有3个整数解，求α的取值范围. (1)先解出关于x的方程的解，再根据解是负 数列出不等式，解关于a的不等式即可.(2)用含a 的式子表示b,分别代入b>2,a十b中，再结合(1)中 求得的a的取值范围即可解决问题. 「变式]规定：{x}表示不小于x的最小整数，如 {4)=4,{-2.6}=-2,{-5}=-5.在此规定 下任意数x都能写出如下形式：x={x}一b,其 [变式]已知m是有理数，关于x,y的方程组 中0≤b<1. (1)直接写出{x},x,x+1的大小关系： x+y=-1, 的解满足不等式2x一y<19, 5.x+2y=6m+7 求m的取值范围. (2)根据(1)中的关系式，求满足{x+3}=5的 x的取值范围， (3)求{3.5x-2}=2x-4中的x的值。 112 第11章一元一次不等式 综合素能提升 1.(2024·安徽)已知a,b满足a一b+1=0, (3)若关于x的不等式x十1>2b和关于x 0<a十b+1<1,则下列判断正确的是( ) 的不等式x十2b≤3是“共联”的，则b的取值 A-3a<0 及] 范围是 8.某电机厂计划生产一批电机产品， C.-2<2a+4b<1D.-1<4a+2b<0 其中这批产品包括A,B两种型号 xm, 2.若关于x的不等式组 的整数解共 生产2件A型产品和3件B型产品答案讲解 7-2z≤1 需成本21万元：生产5件A型产品和4件 有4个，则m的取值范围是 B型产品需成本35万元 A.6<m<7 B.6≤m<7 (1)求生产一件A型产品和一件B型产品各 C.6≤m≤7 D.6m≤7 需成本多少万元 3.某人计划在15天内加工408个零件，最初三 (2)经市场调查，一件A型产品的售价为 天每天加工24个，要在规定时间内超额完成 5万元，一件B型产品的售价为8万元.若该 任务，以后每天至少要加工零件 电机厂生产的这批产品中B型产品的件数比 A.29个 B.28个 A型产品的件数的2倍还多6，销售这批产品 C.27个 D.26个 总获利大于57万元，则该电机厂生产A型产 2-x、2x-4 品至少多少件？ 4.若关于x的不等式组 2 31 的解集 2x+a>3.x 是x<2,则a的取值范围是 5.已知x-3y=3,且x>2,y<1.若 m=x+2y,则m的取值范围是 答案讲解 3x+2y=k-1, 6.若关于x,y的方程组 的解满 2x-3y=2 足4x十7y>2,则k的取值范围是 7.对于两个关于x的不等式，若有且 仅有一个整数使得这两个不等式同 时成立，则称这两个不等式是“共答案讲解 联”的，这个整数称为“联点”.例如：不等式 x>1和不等式x<3是“共联”的，“联点” 为2 (1)不等式x-1<2和不等式x-2≥0是 “共联”的，“联点”为 (2)若关于x的不等式2x一a<0和不等式 x>0是“共联”的，则a的最大值为 113