第10章 二元一次方程组 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

11.设405路公交车每分钟行驶 x米，小红每分钟行走y米，405路公 交车每隔a分钟从始发站开出一辆. 12x=12y+a.x①， 由题意，得 {6.x+6y=a.x②. ①-②，得6.x-6y=12y,即x=3y. 把x=3y代人②，得a=8. 所以每隔8分钟从始发站开出一辆 405路公交车， 易错警示 不能根据题意设辅助 未知数导致无法解答 列二元一次方程组解决实际 问题时，若直接根据问题中的等量 关系设立未知数建立方程组，所设 未知数的个数比方程的个数多，则 需要把其中一个或两个作为间接 未知数，为解决问题发挥辅助 作用. 第10章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A解析：因为方程(m十 2)xm+"=3y”+2十4是关于x,y的 m+21≠0， 二元一次方程，所以|m十n=1,解得 n+2=1, m=-2, 所以mm=-2×(-1)=2. n=-1. [变式] 一1解析：由题意，得 a=1,b-5=0,a一1≠0.所以 a=-1,b=5.所以原式=(-1)5=-1. x=1, 典例2 解析：该方程可变 y=5 形为2.x-y+3+a(3.x+y-8)=0. 因为不论a取何值时，方程总有一个 2x-y+3=0, 固定不变的解，所以 3.x+y-8=0, 解得1， 所以不论a取何值，方程 y=5. 总有一个固定不变的解，这个解 {x=1, 是 y=5. x=0,.x=1,x=2, 变式] 或 或 y=5y=3y=1 x=1, 典例3(1) y=0. x=6, (2) y=-1. x=6, [变式](1) (y=-3. x=5, (2) (y=2. 典例4(1)设快递员每送一件的报 酬是x元，每揽一件的报酬是y元. 120x+45y=270, 根据题意，得 解得 88.x+24y=180, x=1.5, y=2. 所以快递员每送一件的报酬是1.5元， 每揽一件的报酬是2元. (2)根据题意，得270m十1801=2520. 3 所以n=14-2m. 因为m,n均为正整数， m=2, m=4, m=6, 所以 或 或 n=11n=8 (n=5 或m=8, n=2. 所以快递站有4种新工人的招聘方 案，方案1：抽调熟练工2名，招聘新工 人11名：方案2：抽调熟练工4名，招 聘新工人8名：方案3：抽调熟练工 6名，招聘新工人5名；方案4：抽调熟 练工8名，招聘新工人2名. (3)11.解析：选择方案1，一天所有 快递员的送件数和揽件数之和是 (120+45)×2+(88+24)×11= 1562(件)：选择方案2，一天所有快递 员的送件数和揽件数之和是(120+ 45)×4+(88+24)×8=1556(件)： 选择方案3，一天所有快递员的送件 数和揽件数之和是(120+45)×6+ (88+24)×5=1550(件)：选择方案 4,一天所有快递员的送件数和揽件数 之和是(120+45)×8+(88+24)× 2=1544(件).因为1562>1556> 1550>1544,所以在上述方案中，为了 达到一天所有快递员的送件数和揽件 数之和最多，应该招聘新工人11名. 29 [变式](1)设该网店购进A种玩具 的数量为x件，购进B种玩具的数量 为y件. x+y=700, 根据题意，得 解 (60x+15y=24000, x=300, 酸 y=400. 所以该网店购进A种玩具300件，购 进B种玩具400件 (2)设安排m名工人加工甲种配件， n名工人加工乙种配件. m+n=68, 根据题意，得 解 3×16m=2×10m, m=20, 得 n=48. 所以需要安排20名工人加工甲种配 件，48名工人加工乙种配件，才能使 每天加工的甲、乙两种配件刚好配套。 典例5(1)1；1或3. (2)①当x=5时，2×5-y=3,解得 y=7. 因为7>|5，所以5是方程2x一 y=3的“和谐值”，符合题意. x=5, 此时方程的解为 y=7. ②当x=-5时，2×(-5)-y=3,解 得y=-13. 因为|-13>1-51， 所以5是方程2x一y=3的“和谐 值”，符合题意！ x=-5, 此时方程的解为 y=-13. ③当y=5时，2.x一5=3，解得x=4. 因为|5>4|， 所以4是方程2.x一y=3的“和谐 值”，不符合题意 ④当y=一5时，2x+5=3,解得 x=-1. 因为-5>-1， 所以1是方程2x-y=3的“和谐 值”，不符合题意 综上所述，所有满足条件的方程的解 x=5,x=-5, y=7,y=-13. [变式](1)y=-x+4. (2)因为二元一次方程y=3x+5的 “反对称二元一次方程”是y=5x十3， 二元一次方程y=3.x+5的解 x=m, 也是它的“反对称二元一次 y=n 方程”的解， ,3m十5='解得 m=1, 所 (5m+3=n, n=8. [综合素能提升] 1.B 2.B解析：设A种玩具的单价为 x元，B种玩具的单价为y元，C种玩 具的单价为之元.依题意，得 (2.x+y+32=24①， (①+②)÷5， 3.x+4y+2x=36②， 得x十y十之=12.所以小明购买A种 玩具1件，B种玩具1件，C种玩具 1件，共需付款12元 3.B解析：由定义，知(a,b)△(x, y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b). 以a.x十by=a①，ay+bx=b②.①+ ②，得(a+b).x+(a十b)y=a十b.因 为a十b≠0，所以x+y=1③.①一 ②，得(a-b).x-(a-b)y=a-b.因 为a≠b,所以x一y=1④.联立③④， 得十y解得 所以(x,y) x-y=1, y=0. 为(1,0) 4.165.3 6.一3或-2或0解析：记方程组 2.x+ay=8①， ①-②×2，得ay+ x-2y=2②. 4 4y=4,即y=a十因为y为正整 数，所以为正整数又因为a为 整数，所以a=-3,-2,0.当a= 一3时，y=4,此时x=2十2y=10:当 a=一2时，y=2,此时x=2+2y=6: 当a=0时，y=1,此时x=2+2y= 4.综上所述，整数a的值为-3或 -2或0. 7.99 8.设小明每小时行进xkm,小伟每 小时行进ykm. 242 60 60y=4.8, 由题意，得 解得 6 24 60, x=16 y=4. 所以器×16÷4=1.6。 所以小明每小时行进16km,小伟每 小时行进4km,相遇后经过1.6h小 伟到达A地. 9.(1)设每副乒乓球拍和羽毛球拍 的标价分别为x元，y元. 由题意，得 16x+5y=1140:解得 3.x+7y=1110, /x=90, y=120. 所以每副乒乓球拍的标价为90元，每 副羽毛球拍的标价为120元. 8 (2)由题意，得90×0a+120× 10b=1416,整理，得3a+46=59. 因为59是奇数，4b是偶数， 所以3a是奇数，即a是奇数 又因为a>3,b>3, 或/13， b=8 {b=5. 综合与实践膳食结构 与热量平衡 1.(1)设小石喝了x盒牛奶，y盒 豆浆. 1280x+210y=70,解 根据题意，得3.5x十4.2y=1.2, 得/2， y=1. 所以小石喝了2盒牛奶，1盒豆浆 (2)在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄 入量不超标. 理由：因为60+3.5×2+2.4×1= 69.4(g),5969.473, 所以在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄 人量不超标 2.(1)设A种饮料每毫升的咖啡因 含量为x毫克，B种饮料每毫升的咖 啡因含量为y毫克， x+y=0.5, 根据题意，得 2×400.x+400y=280, 30 x=0.2, 解得 y=0.3. 所以A种饮料每毫升的咖啡因含量 为0,2毫克，B种饮料每毫升的咖啡 因含量为0.3毫克. (2)不符合. 根据题意，得0.2×400×2=160（毫 克)，160>100， 所以小明再喝第二杯该茶饮店中杯的 A种饮料，咖啡因摄取量不符合我国 的建议，日摄取量超出建议160 100=60(毫克) 第11章 一元一次不等式 11.1不等式 第1课时不等式的概念 1.C 2.48x80解析：小亮若8时 30分到达学校，则他的速度为2400÷ 30=80(m/min):若8时50分到达学 校，则他的速度为2400÷50= 48(m/min).所以x的取值范围是 48x80. 3.一35解析：因为a≥5，所以a的 最小值是5.因为b一7，所以b的最 大值是一7.所以当a取最小值，b取最 大值时，ab=5X(-7)=一35. 4.30≤a60解析：由题意，当每日 用量为90mg,分3次服用时，一次服 用的剂量最小，为号 =30(mg):当每 日用量为120mg,分2次服用时，一 20 次服用的剂量最大，为 =60(mg). 所以一次服用这种药品的剂量范围是 30~60mg,即30≤a≤60. 5.1)3x+2x≤0. (2)设这枚炮弹的杀伤半径为r米， 则有r≥300. (3)用P表示明天下雨的可能性，则 有P≥70%. (4)设小明的体重为a千克，小刚的 体重为b千克，则有a≥b.拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 照批改 第10章整合拔尖 ◆“答案与解析”见P29 知识体系构建 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二 概念 二元一次方程 元一次方程 满足二元一次方程的一对未知数的值叫作二元一次方程的一个解 把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方 二元一次方程组 程组叫作二元一次方程组 二元一次方程组中两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解 次方程组 当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程， 要注意的是必须寻找两个相等关系，列出两个不同的方程组成二元一次方程组 应用 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一 代入法一般步骤 个未知数的代数式表示 解法 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个 元一次方程，求得一个未知数的值 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值 写出方程组的解 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减， 消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程， 加减法 这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法 S高频考点突破 考点一○二元一次方程（组）的概念 y的二元一次方程组，则ab的值是 典例1如果方程(m十2)xm+"=3y”+2十 考点二二元一次方程（组）的解 4是关于x,y的二元一次方程，那么mn的值为 典例2已知关于x,y的二元一次方程(3a十 A.2 B.-1 2)x+(a-1)y十3-8a=0,不论a取何值时，方 C.0 D.-2 程总有一个固定不变的解，这个解为 提示 提示 利用二元一次方程的定义，可得出关于m,n的 该方程可变形为2x-y十3十a(3.x十y-8) 方程及不等式，联立解之可得出m,n的值，再将其代 0,再分别令2x-y+3=0和3.x+y-8=0,联立方 入m求值！ 程组求解即可， y-(a-1)x=5, [变式]方程2x十y=5的非负整数解有 变式]若方程组 是关于x, yl4I+(b-5)xy=3 84 第10章二元一次方程组 考点三解二元一次方程组 考点四运用二元一次方程（组）解决实际 典例3解二元一次方程组： 问题 x-2y=1, 典例4根据以下信息，探索完成任务： (1){ 3x-y=3. 信息1：快递员把货物送到客户手中称为送件， 帮客户寄出货物称为揽件.某镇新开一家快递 站，总店抽调一些熟练工到快递站，但是人手还 是不足，决定招聘一些新工人，经过培训上岗可 以独立进行送件和揽件」 信息2：调研部门发现：熟练工每天的送件数和揽 件数分别为120件和45件，报酬为270元；新工 2x+3y=9, 人每天的送件数和揽件数分别为88件和24件， (2) 报酬为180元. 2 任务一：分析数量关系 (1)若熟练工和新工人每送一件和每揽一件货 物的报酬分别相同，则快递员每送一件和每揽一 件的报酬各是多少元？ 任务二：确定可行方案 (2)如果快递站招聘n名新工人，使得招聘的 n名新工人和抽调的m名熟练工刚好能完成一 [变式]解二元一次方程组： 天的送件和揽件任务，且快递站每天支付给熟练 x+2y=0, (1) 工和新工人的总工资为2520元，那么快递站有 3x+4y=6. 哪几种新工人的招聘方案？ 任务三：选取最优方案。 (3)在上述方案中，为了达到一天所有快递员的 送件数和揽件数之和最多，那么应该招聘新工人 名（直接写出答案）. 2x+3y=16, (2) 3x-2y=11. 85 拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 [变式]某网店用24000元的资金购进A,B两(2)若二元一次方程2x一y=3的“和谐值”为 种玩具共700件，准备在购物节期间销售，A,B 5,写出所有满足条件的方程的解。 两种玩具的进价分别为60元/件、15元/件. 提示 (1)求该网店购进A,B两种玩具的数量 (1)依据题意，当a=2,即x=2时，y=b=1, 从而a>b,进而可以判断得解；当二元一次方程 (2)该网店的A种玩具在购物节期间销售火爆， 2x-y=3存在“和谐平衡值”时，a=b,即x 该网店老板决定向厂家再次追加购进A种玩 |y|,则y=土x,分两种情形分析计算可以得解. 具，厂家接到订单后，马上安排车间的68名工人 (2)依据题意，结合二元一次方程2x一y=3的“和 加班生产A种玩具.一件A种玩具是由2个甲 谐值”为5，可分x=5,x=-5,y=5和y=-5四种 种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可 情况讨论分析，进而计算可以得解 生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么分别 需要安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能 使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？ [变式]二元一次方程y=ax十b与二元一次方 程y=bx十a互为“反对称二元一次方程”，如二 元一次方程y=2x十1与二元一次方程y=x十 2互为“反对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程y=4x一1的“反对 称二元一次方程”： (2)已知二元一次方程y=3x+5的解 x=m, 考点五阅读理解题 也是它的“反对称二元一次方程”的解， v=n 典例5对于二元一次方程2x一y=3的任意一 求m,n的值. x=a, 个解，给出如下定义：若a|>b,则称 v=b. 1b为方程2x-y=3的“和谐值”；若a|=|b, 则称a|或b|为方程2x一y=3的“和谐值”，此 时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若|a|< |bl,则称a为方程2x一y=3的“和谐值” (1)当a=2时，此方程的“和谐值”是 二元一次方程2x一y=3的“和谐平衡值”是 86 第10章二元一次方程组 综合素能提升 x=2, 8.小明和小伟分别从A,B两地同时出发，小明 都满足方程y=kx 骑自行车，小伟步行，沿同一条道路相向匀速 b,则k,b的值分别为 而行，出发24min后两人相遇.相遇时小明 A.-5,-5 B.-5,-7 比小伟多行进4.8km,相遇后经过6min小 C.5,3 D.5,7 明到达B地.两人每小时分别行进多少千米？ 2.某商场推出A,B,C三种玩具，若购买A种玩 相遇后经过多长时间小伟到达A地？ 具2件，B种玩具1件，C种玩具3件，共需 24元；若购买A种玩具3件，B种玩具4件， C种玩具2件，共需36元.小明购买A种玩 具1件，B种玩具1件，C种玩具1件，共需 付款 () A.11元B.12元C.13元D.14元 3.规定“△”为有序数对的运算：(m,n)△(c, d)=(mc+nd,md+nc).若对a,b(a≠b, a+b≠0)都有(a,b)△(x,y)=(a,b),则 9.为了响应“每天锻炼2小时”的号 (x,y)为 ) 召，卢老师先后三次到同一家体育 A.(0,1) B.(1,0) 用品专卖店为学校采购乒乓球拍、答案讲解 C.(-1,0) D.(0,-1) 羽毛球拍.第一、二次按照标价采购，第三次 3x+2y=1, 采购时恰巧遇到专卖店的促销活动，乒乓球 4,已知关于x,y的方程组 则 5.x-4y=31, 拍、羽毛球拍都按标价的8折销售.三次购买 4x-y的值为 乒乓球拍、羽毛球拍的数量及总支出如下表： 5.对于x,y,规定一种新的运算：x⑧y=ax 乒乓球拍的 羽毛球拍的 by,其中a,b为常数.已知2⑧3=5,384 采购次序 数量/副 数量/副 总支出/元 8,则a一b= 第一次 6 5 1140 2x+ay=8: 第二次 3 7 1110 6.若关于x,y的方程组 x-2y=2 有正整数 第三次 a(a>3) b(b>3) 1416 解，则整数a的值为 (1)求每副乒乓球拍、羽毛球拍的标价. 7.(2025·河北)如图，甲、乙两张等宽的长方形 (2)根据上述信息，求表中a,b的值， 纸条，长分别为Q,6.将甲纸条的与乙纸条 的2叠合在一起，形成长为81的纸条，则a十 b= 81- (第7题) 87