10.5 第3课时 用二元一次方程组解决问题———画示意图法-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训· 数学（苏科版）七年级下 照批改 第3课时用二元一次方程组解决 问题 画示意图法 ●“答案与解析”见P27 自基础进阶 幻素能攀升 1.小刚去离家28km的景点游玩，他先乘车，后 5.甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发， 步行，全程共用1h.已知汽车的速度为 相向而行，经号小时相遇如果甲比乙先出发 36km/h,步行的速度为4km/h,则小刚的乘 车路程和步行路程分别是 ( 号小，那么在乙出发后经号小时两人相选 A.26 km,2 km B.27 km,1 km 甲的速度为 C.25 km,3 km D.24 km,4 km A.2千米/时 B.4.5千米/时 2.甲、乙两人匀速骑车从相距60km的A,B两 C.5千米/时 D.5.5千米/时 地同时出发.若两人相向而行，则两人在出发 6.用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧 2h后相遇；若两人同向而行，则甲在出发6h 面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两 后追上乙.甲的速度为 km/h. 种无盖纸盒.现有m张正方形纸板和n张长 3.某部队进行军训.从甲地到乙地，要翻越一座 方形纸板，做两种纸盒若干个，恰好使库存的 山，没有平路可走，去时用了6.5小时，返回 纸板用完，则m十n的值可能是 时用了7.5小时.已知上坡时每小时走5千 米，下坡时每小时走6号千米，则甲，乙两地 之间的路程为 千米 ① ② (第6题) 4.(2025·泰州海陵期中)为了测得隧道长度和 A.123 B.124 火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道 C.125 D.126 两端进行观察：火车从开始进入隧道到完全 7.弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候，你已 出隧道共用时24s,整列火车完全在隧道内 经20岁了.”哥哥对弟弟说：“我像你这么大 的时间为16s,整列火车长240m.请你根据 的时候，你才5岁.”哥哥现在 岁 小明和小亮获得的数据，求隧道的长度和火 8.如图，在一个环形跑道上，甲从点 车过隧道时的速度， A、乙从点B同时出发，相向而行， 8min后两人相遇，再过6min甲到答案讲解 点B,又过10min两人再次相遇.甲环行一 周需要的时间是 min 相遇 再次相遇 (第8题) 80 第10章二元一次方程组 9.*爸爸沿街匀速行走，发现每隔7min从背后思维拓展 驶过一辆103路公交车，每隔5min迎面驶 12.某校举行运动会时，由若干人组成一个 来一辆103路公交车.假设每辆103路公交 13列的长方形彩旗队阵.若原队阵中增加 车的行驶速度相同，且103路公交车总站每隔 16人，则能组成一个正方形队阵；若原队阵 固定时间发一辆车，则103路公交车的行驶速 中减少16人，则也能组成一个正方形队阵 度是爸爸行走速度的 倍 原队阵中有 人 10.一条路上有A,O,B三点，点O在点A,B 13.新情境·现实生活某饭店生意火爆， 之间，点A与点O相距1360米.甲、乙两人 老板决定扩大规模重新装修.若先 同时分别从点A和点O出发，向点B匀速 请甲队单独做3天，再请乙队单独做答案讲解 行进，出发10分钟后，甲、乙两人离点O的 24天，可完成施工，该饭店老板应付两队费 距离相等；又过了40分钟，甲、乙两人第一 用共7200元.若先请甲队单独做9天，再请 次在点B处相遇，则O,B两点之间的距离 乙队单独做16天，可完成施工，该饭店老板 是多少米？ 应付两队费用共7600元. (1)甲、乙两队工作一天该饭店老板应各付 多少元？ (2)若装修完后，该饭店马上投入使用，每 天可盈利300元，现有三种施工方案：①甲 队单独做；②乙队单独做；③甲、乙两队同 时做.哪种施工方案最有利于该饭店？ 11.一列快车长70米，一列慢车长80米.若两 车匀速行驶同向而行，则快车从追上慢车到 完全离开慢车，所用时间为20秒.若两车相 向而行，则两车从相遇到离开，所用的时间 为4秒.求两车每秒各行多少米， 81(6.x+5y=1140, 同时打折。所以 解 3.x+7y=1110, x=90, 得 所以每个A商品的标价 y=120. 为90元，每个B商品的标价为120元. 设该商店打a折出售这两种商品.由 题意，得(9×90十8×120)×号 1062,解得a=6.所以该商店的折扣 是6折. 7.81解析：由题意，可得 x+y=135, x=81 解得 所以需要 2x=3y, y=54. 81米布料做玩偶A. 8.设有x台无人插秧机，y亩农田 根据题意，得 5×45x十400=y'解得 (6X50x+100=y, x=4, y=1300 所以有4台无人插秧机和1300亩 农田 9.设甲商品的进价为x元，乙商品的 进价为y元 依题意，得 (1+20%)(x+y)=1200, 0.9(1+20%)x+0.8(1+20%)y=1008, 解得 x=400, y=600. 所以甲商品的进价为400元，乙商品 的进价为600元. 10.(1)由题意，得 (180a+(252-180)b=158.4, 解得 180a+(340-180)b=220, a=0.6, b=0.7. 所以a的值为0.6，b的值为0.7. (2)若一个月的用电量为350千瓦· 时，则电费为180×0.6+(350 180)×0.7=227(元). 因为285.5>227， 所以小明家7月的用电量超过350千 瓦·时. 设小明家7月的用电量为y千 瓦·时. 由题意，得180×0.6+(350一180)× 0.7+(y一350)×0.9=285.5，解得 y=415. 所以小明家7月的用电量为415千 瓦·时 第3课时用二元一次方程组 解决问题一画示意图法 1.B2.203.40 4.设隧道的长度为xm,火车过隧遂道 时的速度为ym/s. (24y=x+240, 由题意，得 解得 16y=x-240, x=1200, y=60. 所以隧道的长度为1200m,火车过遂 道时的速度为60m/s. 5.B解析：设甲的速度为x千米/时， 乙的速度为y千米/时.由题意，得 x+)=18, 9 （x=4.5, 解得 23 3x+2(x+y)=18, y=5.5. 所以甲的速度为4.5千米/时」 6.C解析：设分别做竖式和横式的 两种无盖纸盒x个、y个.根据题意， 4x+3y=n①， 得 ①+②，得m+ x+2y=m②. n=5(x十y).因为x,y都是正整数， 所以m十n是5的倍数.因为123， 124,125,126四个数中只有125是5 的倍数，所以m十n的值可能是125. 7.15 8.28解析：设甲、乙的速度分别为 xm/mim,ym/min,甲环行一周的路程 6.x=8y, 为sm.由题意，得 (6+10)(x+y)=s 消去y,得28.x=s.所以之=28.所以 甲环行一周需要的时间是28min. 9.6解析：设103路公交车的行驶 速度为xm/min,爸爸的行走速度为 ym/min,两辆同方向的l03路公交 车的间距为sm.根据题意，可得 17x-7y=5, 解得x=6y.所以 5x+5y=s, 27 103路公交车的行驶速度是爸爸行走 速度的6倍。 方法归纳 通过设辅助未知数解决问题 解答这类问题时，可以设辅助 元，将其看成已知数.解答本题时， 可以用含路程字母的代数式分别 表示出公交车的行驶速度、爸爸的 行走速度，进而确定两者之间的数 量关系，或者运用消元法直接表示 出公交车的行驶速度与爸爸行走 速度之间的数量关系」 10.设甲的速度为x米/分，乙的速度 为y米/分. 根据题意，得 1360-10z=10'解 50.x-50y=1360, x=81.6, 得 y=54.4. 所以50y=2720. 所以O,B两点之间的距离是2720米. 11.设快车每秒行x米，慢车每秒行 y米. 由题意，得 120.x-20y=70+80·解 4x+4y=70+80, x=22.5, 得 y=15. 所以快车每秒行22.5米，慢车每秒行 15米. 12.65解析：设原队阵中有n人.由 题意，得n十16=a2,1-16=b2,则a2 b2=32,即(a+b)(a-b)=32.易知a十 b与a-b的奇偶性相同，且a,b都为自 a+b=16,{a+b=8, 然数，所以 所以 {a-b=2,a-b=4. a=9, b=7 a=6·所以n=g2-16=65 或 b=2. 或62一16=20.因为原长方形彩旗队 阵有13列，所以n为13的倍数.所以 原队阵中有65人. 13.(1)设甲队工作一天该饭店老板 应付x元，乙队工作一天该饭店老板 应付y元. 3x+24y=7200, 由题意，得 解得 (9x+16y=7600, x=400, y=250. 所以甲队工作一天该饭店老板应付 400元，乙队工作一天该饭店老板应 付250元. (2)设甲队的施工效率为a,乙队的 施工效率为b. (3a+24b=1, 由题意，得 解得 9a+16b=1, a-21' 1 b一28 所以甲队单独做需要1÷2 21(天)，乙队单独做需要1÷28 1 28(天). 甲队单独做需要的费用为400×21= 8400(元). 乙队单独做需要的费用为250×28 7000(元) 甲.乙两队同时做要1÷（分十太） 12(天)，需要的费用为(250+400)× 12=7800(元) 甲、乙两队同时做比乙队单独做早完 工28-12=16（天），16天该饭店的收 益为16×300=4800（元），7800 4800=3000(元)，即相对于乙队单独 做，甲、乙两队同时做该饭店老板只花 3000元 甲队单独做比乙队单独做早完工 28-21=7(天)，7天该饭店的收益为 300×7=2100(元)，8400-2100 6300(元)，即相对于乙队单独做，甲 队单独做该饭店老板只花6300元， 因为3000<6300<7000， 所以甲、乙两队同时做该饭店老板相 对花费最少。 所以安排甲、乙两队同时做的施工方 案最有利于该饭店 专题特训八二元一次 方程组的实际应用 1.D2.D 3.设大班的小朋友有x名，小班的小 朋友有y名 x-y=3, 由题意，得 解得 5.x+10=8y-2, x=12, y=9. 所以这筐苹果有5×12+10= 70(个). 4.C解析：设商品A的单价是 x元，商品B的单价是y元.根据题 4x+6y=1080,. {x=90, 意，得 解得 3x+8y=1230, y=120. 所以商品A的单价是90元，商品B 的单价是120元. 5.B解析：设排球的单价为x元，则 篮球的单价为(100一x)元.由题意， (4x+2(100-x)=b, 哈 解得 {x+3(100-x)=b-52, x=38, 所以b的值是276. b=276. 6.(1)设每件商品A的标价为x元， 每件商品B的标价为y元。 根据题意，得 6x+5y=980'解得 3.x+7y=940, x=80, (y=100. 所以每件商品A的标价为80元，每 件商品B的标价为100元 (2)设该商店是打m折出售这两种 商品的 根据题意，得80×货×9+10×%× 8=1216,解得m=8. 所以该商店是打8折出售这两种商 品的 (3)设第四次购买a件商品A,b件商 品B. 根据题意，得80×0.8a+100× 0.8b=1200, 所以b=15-50. 4 因为a,b均为正整数， a=5, a=10,a=15, 所以 或 或 b=11(b=7 b=3. 所以小林有3种购买方案，方案1：购 28 买5件商品A,11件商品B:方案2： 购买10件商品A,7件商品B:方案 3:购买15件商品A,3件商品B. 7.C解析：设大长方形AEFG的长 为a,宽为b(a>b).由题图可知， (a-b)2=9,即a-b=3.因为大正方 形ABCD的面积是49，易知4个相同 的小长方形的长为2b,宽为b,所以 (a+3b)2=49,即a+3b=7.所以 1a-b=3,解得 a+3b=7, 口=4·所以大长方 b=1. 形AEFG的面积是1×4=4. 8.B解析：设从甲地到乙地的上坡 路长xkm,下坡路长ykm.根据题 [+=90, 2035 意，得 ①+②，得 之+义=7.5@. 35T20 +y++y=16.5.所以x十y= 20 35 210.所以甲、乙两地之间的公路长 210km. 9.(1)设甲的速度为xm/s,乙的速 度为ym/s (40(x+y)=400, 根据题意，得{ 解得 200(x-y)=400, x=6, y=4. 所以甲的速度为6m/s,乙的速度为 4m/s, (2)设出发时，丙在甲、乙两人前方 am处，丙的速度是bm/s. 根据题意，得 20(6一b)=0,解得 100(4-b)=a, {a=50, b=3.5. 所以出发时，丙在甲、乙两人前方50m 处，丙的速度是3.5m/s. 10.20解析：设甲地到乙地的平路 为x千米，上坡路为y千米.由题意， 得+十十=5，整理，得 x十义=5.所以2(x十y)=20.所以小 2 明这5小时共走了20千米.