10.5用二元一次方程组解决问题 自主达标测试题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《10.5用二元一次方程组解决问题》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在文具店，若买个橡皮、支铅笔共需元；若买个橡皮、支铅笔共需元，则买一个橡皮和一支铅笔共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 3．一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知木料可制作桌面50个，或制作桌腿300条．若用木料制作同样的方桌，恰好用完木料，那么用于制作桌面、桌腿的木料量分别是多少？设用于制作桌面、桌腿的木料量分别是．则下列方程组正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行十二日，问良马几何日追及之？”其大意为：良马每天行240里，驽马每天行150里．如果驽马先出发12天，那么良马几天能够追上驽马？若设良马需天追上，追上时驽马共行天，根据题意，则可列出关于的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 6．红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 7．如图是由长方形和三角形组合而成的广告牌，重叠部分面积是，整个广告牌所占面积是，除重叠部分外，长方形剩余部分面积比三角形剩余部分的面积多．设长方形的面积为，三角形面积为，则根据题意可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 8．老师利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照如图2所示的方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（   ）      A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．小芳与妈妈的年龄和是50岁，5年后，妈妈的年龄是小芳年龄的3倍，求小芳和妈妈的年龄各是多少．若设小芳岁，妈妈岁，则可列方程组为________________． 10．有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 11．据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组：______． 12．市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 13．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，根据图中的信息，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______．    14．如图， 直线，点E、F分别在直线、上，，比大， 设，， 根据题意， 可列方程组为_________.    15．问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？” 小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是_________，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是___________． 16．长，宽的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为____．    三、解答题（满分72分） 17．（8分）慈利县某超市今年“端午节”开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动．其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．求打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？ 18．（8分）课堂上，老师布置了一项作业：把方程组赋予实际情境．以下是两位同学完成的作业． 小明：把一些书分给几个同学，若每人分4本，则余6本；若每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数． 小华：小王去买练习本，随身带的钱若买4本练习本，还余6元；若买6本练习本，则差4元，求每本练习本的价格和小王随身带的钱数． 根据两人所说的情境是否能得到上述方程组？请判断，并说明理由． 19．（8分）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 20．（8分）某农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．请用二元一次方程组的知识解答下列问题． (1)求每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷? (2)农场要租赁两种型号的收割机一共10台，要求2小时完成的小麦收割任务为8公顷，则需要租赁大型收割机与小型收割机各几台? 21．（10分）某商场有两种旅行包，每个大旅行包进价100元，售价130元，每个小旅行包进价40元，利润率． (1)每个大旅行包的利润率为_______，每个小旅行包的售价为_______； (2)若该商场同时购进两种旅行包共50个，恰好总进价为3200元，则该商场购进两种旅行包各多少个？ (3)某公司计划从商场购进一批旅行包（两种都有）作为活动奖品发给员工，总售价为3600元，请问该公司有多少种购买方案？ 22．（10分）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 23．（10分）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 24．（10分）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设买一个橡皮元，买一支铅笔元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设买一个橡皮元，买一支铅笔元， 由题意得，， ①②，得， ∴， 即买一个橡皮和一支铅笔共需元， 故选：． 2．B 【分析】根据已知条件，先通过数字关系列出关于、的方程组，再求解方程组得到、的值，从而确定原来的两位数． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据两位数的数字关系列出方程组并熟练求解是解题的关键． 【详解】解：∵十位数字为，个位数字为，且十位数字与个位数字之和为， ∴． ∵原来的两位数为，新的两位数为，新的两位数比原来的两位数大， ∴，化简得，即． 联立方程组，将两式相加，，得，解得． 把代入，得． ∴原来的两位数是， 故选：B ． 3．A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据等量关系，列出方程组是解题的关键．设用于制作桌面、桌腿的木料量分别是，根据木料可制作桌面50个，或制作桌腿300条．用木料制作同样的方桌，恰好用完木料，列出方程组即可． 【详解】解：设用于制作桌面、桌腿的木料量分别是，根据题意得： ， 即， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个队胜的场数是，负的场数是，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个队胜的场数是，负的场数是， 由题意得，， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程组得， 故选：C ． 6．B 【分析】设女生x人，男生有y人，根据题意列方程组，计算解答即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出关系式是解题关键． 【详解】解：设女生x人，男生有y人， 若选择条件1： 由题意得方程组：， 解得，由于人数必须为整数，无解，故条件1无法确定具体人数． 若选择条件2： 由题意得方程组：， 解得，， 符合要求且均为整数，故条件2可以确定男生和女生人数． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积-阴影面积；②（矩形面积-阴影面积）-（三角形面积-阴影面积），据此列出方程组． 【详解】依题意得： ． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设桌子的高度为 ，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大 ，根据图中两种放置的方式，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为 ，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大 ， 由题意得：， 解得：， ∴桌子的高度为， 故选：C． 9． 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 10．100 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后观察方程组的特点和所求问题，只要将两个方程相加，再除以3，即可求得购甲、乙两种商品各1件共需的钱数． 【详解】解：设购甲种商品每件元，乙种物品每件元， 由题意可得：， ①②，得：， ， 即购甲、乙两种商品各1件共需100元， 故答案为：100． 11． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 设绳长尺，井深尺，根据“若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺”列出方程组即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺， 根据题意得，． 故答案为：． 12．12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 13． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系正确列方程组是解题关键．根据题意设未知数，列方程组求解即可． 【详解】解：设未知数如图， 由题意得：，解得：， 则20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是， 故答案为：．    14． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，列二元一次方程组，过点G作，根据平行公理得出，得出，，求出，再根据，列出方程组即可． 【详解】解：过点G作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵比大， ∴， ∴设，， 根据题意， 可列方程组为． 故答案为：． 15． 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出未知数代表的意义是解题关键． 由小亮列的方程可知，x、y表示下、上坡的时间，即可根据上坡时间+下坡时间=总时间，列出方程；由小颖列的方程可知m、n分别 表示上坡与下坡的路程，根据时间等于路程除以速度，则上坡时间+下坡时间=总时间列出方程即可． 【详解】解：根据题意得出，分别表示下坡时间和上坡时间， 由题意可得：； 根据题意得出m，n分别表示上坡距离和下坡距离， 由题意可得：（或）． 故答案为：；（或）． 16．28 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列得方程组是解题的关键：设小长方形的长为，宽为，根据图形列得，求出x，y的值即可得到小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则 解得， ∴一个小长方形花圃的面积为， 故答案为：28． 17．打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元 【分析】通过设打折前甲、乙品牌粽子每盒的价格分别为元、元，依据打折前购买盒甲和盒乙的花费，以及打折后购买盒甲和盒乙的花费，列出二元一次方程组，进而求解得出两种品牌粽子打折前的单价．本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，依题意，得 ， 解得． 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元． 18．能得到，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是把数学问题与实际生活结合起来．根据两人所说情境，设未知数，列出方程组即可判断． 【详解】解：根据两人所说的情境能得到上述方程组．理由如下： 小明：设学生的人数为人，书的总本数为本，则， 所以根据小明所说的情境能得到上述方程组． 小华：设每本练习本的价格为元，小王随身带的钱数为元， 则， 所以根据小华所说的情境能得到上述方程组， 所以根据两人所说的情境能得到上述方程组． 19． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每个长方形的宽为，长为，据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个长方形的宽为，长为．根据题意，得 解得 ∴面积为， 答：每个小长方形的面积为． 20．(1)每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷 (2)租赁大型收割机与小型收割机各5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组． （1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要租赁大型收割机m台，小型收割机n台，根据“要租赁两种型号的收割机一共10台，要求2小时完成的小麦收割任务为8公顷” ，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷， 根据题意，得 解得 答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷． （2）解：设需要租赁大型收割机m台，小型收割机n台， 根据题意，得 解得 答：需要租赁大型收割机与小型收割机各5台． 21．(1)，60元 (2)该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包 (3)共有4种购买方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用每个大旅行包的利润率（售价进价）进价，可求出每个大旅行包的利润率；利用每个小旅行包的售价进价，即可求出每个小旅行包的售价； （2）设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设公司购买大旅行包m个，小旅行包n个，根据题意列出二元一次方程，然后根据m、n为正整数求解即可． 【详解】（1）每个大旅行包的利润率为， 每个小旅行包的售价为（元）； （2）设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包， 根据题意得：， 解得：． 答：该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包. （3）设公司购买大旅行包m个，小旅行包n个， ∴， 整理得：， ∵m、n为正整数， ∴或或或． 答：共有4种购买方案． 22．(1)甲，乙两人的速度分别是 (2)出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为： ， ；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方 ，丙的速度是 ，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是 ， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 23．(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 24．(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 学科网（北京）股份有限公司 $