第8章 整式乘法 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 照批改 第8章整合拔尖 >“答案与解析”见P12 知识体系构建 单项式乘单项式 整式 单项式乘多项式 c(a+b)=ca+cb 窭 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 多项式乘多项式 完全平方公式：(a±b)2=a±2ab+b 乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 9高频考点突破 考点一单项式与单项式、多项式相乘 (3)当a=200,b=100时，求这两个长方形喷泉 典例1先化简，再求值：3a(2a2-4a+3) 池的总面积. 2a2(3a+4),其中a=-2. 单位：米 a+b 2a+b (典例2图) [变式]先化简，再求值：5.x2·3x+2x2(4一 5x)-5(2x2+x3),其中x=-5. [变式]甲、乙两个长方形的长、宽如图所示(m 为正整数)，其面积分别为S1,S2 (1)请用含m的代数式分别表示S1,S2, (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形 的周长之和，设该正方形的面积为S3,则S3与 2(S1+S2)的差是否为常数？若是常数，请求出 考点二多项式乘多项式 这个常数；若不是常数，请说明理由， 典例2如图，某高铁站广场前有一块长为 (2a+b)米、宽为(a+b)米的长方形空地，计划 m+7 m+4 m+. 甲 m+2 乙 在中间留两个长方形喷泉池（图中涂色部分）， 两个长方形喷泉池之间及周边留有宽度为b米 的人行通道 (1)求该长方形空地的面积（用含a,b的代数式 表示). (2)求这两个长方形喷泉池的总面积（用含a,b 的代数式表示). 36 第8章整式乘法 考点三乘法公式与几何图形 考点四整式的混合运算与化简求值 典例3通常，用两种不同的方法计算同一个图 典例4已知4x2+x一5=0，求代数式(x一 形的面积可以得到一个恒等式.如图，将一个边 1)2-(3x+2)(3x-2)的值 长为a十b的正方形分割成四个部分（两个正方 形和两个长方形). (1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总 面积，可得如下公式： (2)如果a,b(a>b>0)满足a2+b2=70,ab= 15,求a+b的值 (3)已知(x+9)2+(x-1)2=124,求(x+9)· (x-1)的值. [变式]先化简，再求值：(3x十2)(3x一2) 5x(x+1)-(x-1)2,其中x2-x-3=0. a (典例3图) [变式]如图①，小长方形的长和宽分别为a和 b,将四个这样的小长方形按如图②所示的方式 摆放 (1)如图②，四边形EFGH为正方形，其边长 考点五代数推理问题 为 典例5小林和小明在信息技术课 (2)能用图②中的图形面积关系来验证的等式 上设计了一个游戏程序：如图，开始 9 为 时两人的屏幕上显示的数分别是9 和4.每按一次屏幕，小林的屏幕上 小林小明 (3)若x一y=3,xy=4,求x十y的值. 4 6 D 的数就会加上a2,同时小明的屏幕 (典例5图) 上的数就会减去2a,且均显示化简后的结果.按 E G 一次后及两次后屏幕上显示的结果如下表： 同学 开始的数 按一次后 按两次后 小林 9 9+a2 9+2a2 小明 4 4-2a 4-4a (1)从开始起按三次后，小林的屏幕上显示的结 果为 ,小明的屏幕上显示的结果为 (2)几轮游戏之后，小林对小明说：“我发现，不 管a的值是多少，从开始起按四次后，我们两个 37 拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数.”请(1)请你直接写出84×86的结果. 判断他的说法是否正确，并说明理由， (2)已知两个两位数满足上述条件，其中一个两 位数的十位数字为m,个位数字为n,则另一个 两位数的个位数字为 ;用含m,n的等 式表示以上两位数相乘的规律： (3)请用所学知识证明(2)中的规律」 「变式]特殊两位数乘法的速算—如果两个两 位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么 能立刻说出这两个两位数的乘积.如果这两个两 位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位 数字分别为B,C,B+C=10,A>3),那么它们的 乘积是一个四位数，前两位数字是A和(A十 1)的乘积，后两位数字就是B和C的乘积.如 47×43=2021,61×69=4209. 综合素能提升 1.若x-y十3=0，则x(x-4y)+y(2x十y)的 5.已知(x+a)(2x-1)=2x2+3x+b(其中a, 值为 () b是常数)，则a= ,b= A.9 B.-9C.3 D.-3 6.计算：20252-4050×2023+20232= 2.若M=(x-2)(x-5),N=(x-2)(x-6), 则M与N的大小关系为 ( 7.若代数式(x一2)(x一k)(x一4)的化简结果 A.M-N B.M>N 为x3+ax2+bx+8,则a十b= C.M<N D.无法确定 8.(1)先化简，再求值：(a+2)(a+3)一a(a+ 3.将4张长为a、宽为b(a>b)的 4),其中a=6. 长方形纸片按如图所示的方式 拼成一个边长为a十b的正方 形，图中空白部分的面积为S1, 涂色部分的面积为S2.若S1= (第3题) 2S2,则a,b满足 ( A.2a=5b B.2a=3b C.a=3b D.a=2b 4.已知ab=a+b+2024,则(a-1)(b-1)的 值为 38 第8章整式乘法 (2)已知x2一2x一1=0，求代数式2(x+10.阅读材料： 1)(x-1)-(x+1)的值. 若x满足(8一x)(x一3)=4，求 (8一x)2+(x一3)2的值 答案讲解 解：设8-x=a,x-3=b,则ab=(8一 x)(x-3)=4,a十b=8-x+(x-3)=5. 所以(8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+ b)2-2ab=5-2X4=17. 解决下列问题： (1)若x满足(4一x)(x-2)=1,则(4一 x)2+(x一2)2的值为 (2)若(n-2022)2+(2025-n)2=5,求 (n-2022)(2025-n)的值. (3)如图，正方形ABCD的边长为x,E,F 分别是AD,DC上的点，且AE=1,CF=3, 长方形EMFD的面积是24，分别以MF, DF为边长作正方形MFRN和正方形 9.某同学在计算3×(4+1)×(4+ GFDH.求涂色部分的面积 1)时，把3写成4一1后，发现可以 M 连续运用平方差公式计算： 答案讲解 3×(4+1)×(42+1)=(4-1)×(4+1)× (4+1)=(42-1)×(4+1)=162-1=255. 请借鉴该同学的方法，计算： (第10题) 1+》×1+)×(1+)×1+)+品 39(3.x-2)=17,3(x+5)(3x-2)=ab. 所以(a-b)2=172 所以a2+b2-2ab=289. 所以625-2ab=289. 所以ab=168. 所以3(.x+5)(3x-2)=ab=168. 7.C解析：设大正方形的边长是a, 小正方形的边长是b,则DE=a一b. 所以S:8=2a-)·6+号a b)·a=8,即2(a-b)(a+b)=8,即 7a2-b2)=8所以a2-6216,即 大正方形的面积与小正方形的面积之 差为16. 8.25cm解析：设原正方形的边长 为xcm,则长方形的长为(x十4)cm,宽 为(x一4)cm.由题意，得(x十4)(x 4)=(x一2)2，解得x=5.所以原正方 形的边长为5cm,则面积为25cm. 9.(1)C. (2)因为a+b=14, 所以(a+b)2=14, 即a2+2ab+b2=196. 因为a2+b2=100, 所以100+2ab=196. 所以ab=48. 1 所以S色=2ab=24. (3)连接AC. 因为Sa=45=7h+7ab, 1 所以ab=45. 因为a+b=14, 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=142 4×45=16. 因为a>b, 所以a-b=4. 所以a2一b2=(a+b)(a-b)=14× 4=56. 第8章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1原式=-20a2+9a 当a=-2时，原式=一20×(-2)2+ 9×(-2)=-98. [变式]原式=一2x2」 当x=-5时，原式=一2X(一5)2=-50. 典例2(1)由题意，得(a+b)(2a十 b)=(2a2+3ab+b2)平方米， 所以该长方形空地的面积为(2a2+ 3ab+b2)平方米. (2)由题意，得(a+b-2b)(2a+b 3b)=(a-b)(2a-2b)=(2a2 4ab+2b2)平方米. 所以这两个长方形喷泉池的总面积为 (2a2-4ab+2b2)平方米 (3)当a=200,b=100时，2a2 4ab+2b2=2×2002一4×200×100+ 2×1002=20000 所以这两个长方形喷泉池的总面积为 20000平方米， [变式](1)S1=(m+7)(m+1)= m2+8m+7:S2=(m+4)(m+2)= m2+6m+8. (2)是常数. 设该正方形的边长为a, 根据题意，得4a=2(m+7+m+1)+ 2(m+4+m+2). 所以a=2m+7. 所以S3=(2m十7)2 所以S3-2(S1+S2)=(2m+7)2 2(m2+8m+7+m2+6m+8)=4m2+ 28m+49-4m2-28m-30=19. 所以S与2(S,十S2)的差是常数，为19. 典例3(1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)由(1)，可得(a十b)2=a2+ 2ab+b2 当a2+b2=70,ab=15时，(a+b)2= 70+2×15=100. 又因为a>b>0,所以a+b=10. (3)设x+9=a,x-1=b,则(x+ 9)2+(.x-1)2=a2+b2=124 所以a一b=(x+9)一(x一1)=10. 因为(a-b)2=a2+b2-2ab,a-b= 10,a2+b2=124, 所以100=124-2ab. 所以ab=12. 所以(x+9)(x-1)=ab=12. 12 [变式](1)a-b. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab (3)由(2)，可得(x+y)2=(x- y)2+4xy. 因为x一y=3,xy=4, 所以(x+y)2=32+4×4=25. 所以x+y=5或x+y=-5. 典例4原式=-8x2-2.x+5. 因为4x2+x-5=0, 所以4x2+x=5. 所以原式=一2(4x2+x)+5=一2× 5+5=-5. [变式]原式=3x2-3x一5. 因为x2-x-3=0, 所以x2-x=3. 所以原式=3(x2一x)一5=3×3 5=4. 典例5(1)9+3a2;4-6a (2)小林的说法正确： 理由：由题意，可得开始起按四次后， 小林的屏幕上显示的结果为9十4a2, 小明的屏幕上显示的结果为4一8a. 所以9+4a2+4-8a=4(a2-2a+ 1-1)+13=4(a-1)2-4+13= 4(a-1)2+9. 因为4(a-1)2≥0， 所以4(a-1)2十9≥9. 所以小林的说法正确， T变式](1)7224. (2)10-:(10m+n)[10m+(10 n)]=100m(m+1)+n(10-n). (3)因为(10m+n)[10m+(10- n)J=(10m+n)(10m-n+10)= 100m2-10m2+100m+10m1-n2+ 10m=100m2+100m+10m-n2, 100m(m+1)+n(10-n)=100m2+ 100m+10m-n2, 所以(10m+n)[10m+(10-n)]= 100m(m+1)+(10-n). [综合素能提升] 1.A2.D3.D4.2025 5.2-26.4 7.一3解析：因为(x一2)(x一k)· (x-4)=(x2-6x+8)(x-k) x3+(一k-6)x2+(6k+8)x-8k,所 以-k-6=a,6k+8=b,-8k=8.所 以a=一5，b=2,k=一1.所以a+ b=-5+2=-3. 8.(1)原式=a+6. 当a=6时，原式=6+6=12. (2)原式=x2-2x-3. 因为x2-2x-1=0, 所以x2-2x=1. 所以原式=1一3=-2. 9.原式=2×(1-2)×(1+号)× (+是)×(1+)×(+) 2六=2×(-是)×(+)× (+2)×(+)+品=2× (-)×(1+)×(+) 2是=2×(1-)×(1+0)+品 2×(-)+是=2-品+品=2 10.(1)2. (2)设n-2022=a,2025-n=b. 由题意，得a+b=n-2022+2025 7n=3, a2+b2=(n-2022)2+(2025 n)2=5. 所以2ab=(a+b)2-(a2+b2)= 32-5=4. 所以ab=2. 所以(-2022)(2025-n)的值为2. (3)因为正方形ABCD的边长为x, AE=1,CF=3,四边形EMFD是长 方形 所以DE=MF=x-1,ME=DF= x-3. 设x-1=a,x一3=b,则a-b=x 1-(x-3)=2 因为长方形EMFD的面积是24， 所以MF·ME=24. 所以(x-1)(x-3)=24. 所以ab=24. 所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=22+ 4×24=4+96=100. 因为a十b>0, 所以a+b=10. 所以涂色部分的面积=正方形 MFRN的面积一正方形GFDH的面 积=MF2-DF2=(x-1)2-(x 3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=10X 2=20. 第9章 图形的变换 9.1平移 第1课时平移的概念 1.B2.A3.54.84 5.(1)如图，△A,B,C1即为所求 (2)△ABC的面积为号 ×2×3=3. (第5题) 6.A 7.B解析：把道路平移到长方形的 各边边沿处，可以得到一个空白小长 方形，它的长是30-2=28（米），宽是 20一2=18（米），它的面积是28× 18=504(平方米).所以草坪的面积是 504平方米. 8.C解析：由题意，得甲、乙两只蚂 蚁所爬的路程相同.因为甲、乙两只蚂 蚁的速度相同，所以甲和乙同时到. 9.202510.②④⑥或①⑧⑩ 11.9解析：如图，将线段AB向右 平移3格，将线段CD向下平移2格， 将线段EF向左平移2格，向上平移 2格，此时平移的格数最少.所以至少 需要平移3十2十2十2=9（格）. (第11题) 13 12.(1)如图①，△A,B1C1即为所求 (2)如图②，△AB2C2即为所求」 ① ② (第12题) 13.(1)如图①，△A'B'C即为所求 (2)如图②，△CDE即为所求 4 A(B D ① ② (第13题) 14.174cm解析：如图，延长EF交 AH于点M.观察图形，得AM+ ED BC,EF +GH+AB CD, FG=MH,所以这块垫片的周长是 2BC+2CD+2FG=2X40+2X40+ 2×7=174(cm) H B C (第14题) 15.5解析：操作步骤如图所示.所 以要出现一个4×6的网格，至少需要 操作5次. 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 (第15题) 第2课时 平移的基本性质 1.C2.D3.32.5