8.4 第3课时 乘法公式的综合应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

边长为a,小正方形DEFG的边长为 6则涂色部分的面积是号AG· DC+AG·ED=号AG(DC+ ED)=名(AD-DG)(DC+ED) 合u-ba+b6)=合d-6).由题 意，得a2一b2=64.所以涂色部分的 面积是？×64=32. 12.25解析：因为m2-n2=(m十 n)(m一n)=5,所以原式=[(m十n)· (m-1n)]2=52=25. 13.8解析：因为(a2+b2+3)· (a2+b2-3)=7,即(a2+b2)2-32= 7,所以(a2+b2)2=7+9=16.所以 a2+b2=4.因为ab=2,所以(a+ b)2=a2+b2+2ab=4+2×2=4+ 4=8. 14.(1)原式=6ab. 当a=一1，b=2时，原式=6× (-1)×2=-12. (2)原式=18.x2一162 当x=2时，原式=18×4一162= -90. (3)原式=2.x2-2.x-9=2(x2 x)-9. 因为x2-x-1=0, 所以x2-x=1. 所以原式=2×1-9=一7. 15.设原绿地的边长为x米，则改造 后绿地的边长为(x十3)米， 根据题意，得(x十3)2一x2=63,解得 x=9. 所以9×9=81（平方米）. 所以原绿地的边长为9米，原绿地的 面积为81平方米 16.2699解析：设两个数分别为 k十1，k,其中k≥1，且k为整数，则 (k+1)2-k2=(k+1+k)(k+1 k)=2k+1.当k=1时，2k+1=3,所 以除1外，所有正奇数都是“智慧数”， 设两个数分别为t+1,t-1,其中t> 1,且t为整数，则(t+1)2一(1一1)2= (t+1+t-1)(t+1-t+1)=4t.当 t=2时，41=8.所以除4外，所有能被 4整除的正整数都是“智慧数”.这样 还剩被4除余2的数.假设4x十2是 “智慧数”，则必有两个正整数m和n, 使得4.x+2=m2一n2.所以2(2x+ 1)=(m十n)(m-n)①.因为m十n和 m一n这两个数的奇偶性相同，所以 等式①的右边要么是4的倍数，要么 是奇数，而左边一定是偶数，但一定不 是4的倍数.所以4x十2不是“智慧 数”，即被4除余2的正整数都不是 “智慧数”.所以把从1开始的正整数 依次每4个分成一组，除第一组有 1个“智慧数”外，其余各组都有3个 “智慧数”，而且每组中第2个数不是 “智慧数”.又因为(2022一1)÷3= 673…2,所以第2022个“智慧数” 在1+673十1=675（组），并且是第 3个数.所以第2022个“智慧数”为 675×4-1=2699. 17.(1)因为9-62=45,45÷3=15， 所以92一62的结果是3的15倍. (2)由题意，得偶数为21，比偶数大3 的数为21+3， 所以(2+3)2一(2n)2=(21+3+ 2m)(21+3-2m)=3(4+3). 因为4n十3为整数 所以3(4n+3)能被3整除. 所以比21大3的数与2的平方差能 被3整除， (3)余数为3. 理由：设这个整数为m,比m大3的 数为m+3. 因为(m+3)2-m2=(m十3+m）· (m+3-m)=6m+9=6(m+1)+3, 所以余数为3. 第3课时乘法公式的综合应用 1.B2.D3.14.2cm 5.(1)a4-2a2b2+b. (2)16a4-72a2b2+81b4 (3)16a4-81. 9 (4)2.x4-2y. 6.D 7.A解析：a*b=(a一b)2,b*a= (b-a)2=(a-b)2.故①正确 (a*b)2=[(a-b)2]2=(a-b)4,a2 b2=(a2-b2)2=(a十b)2(a-b)2.故 ②错误.(-a)￥b=(一a-b)2 (a+b)2,a￥（一b)=(a+b)2.故③ 正确.a￥(b十c)=(a一b一c)2= a2+62+c2-2ab-2ac+2bc,a *b+ a￥c=(a-b)2+(a-c)2=a2 2ab+b2+a2-2ac+c2=2a2+b2+ c2-2ab-2ac.故④错误.综上所述， 正确的是①③， 8.D 9.9b解析：因为一块正方形地砖的 面积为a2平方厘米，一块长方形地砖 的面积为(a+3)(a-3)=(a2-9)平 方厘米，所以一块长方形地砖的面积 比一块正方形地砖的面积减少了 a2一(a2一9)=9（平方厘米）.所以每 块长方形地砖的材料成本与每块正方 形地砖的材料成本相比，减少了 9b元. 10.25解析：设正方形A的边长为 a,正方形B的边长为b.由题图①，得 a2-b2-2b(a-b)=1,所以a2 b2-2ab+2b2=1.所以a2-2ab+ b2=1.由题图②，得(a十b)2-a2 b2=12,所以a2+2ab+b2-a2 b2=12.所以2ab=12.所以a2+b2= 13.所以题图②中新的正方形的面 积=(a+b)2=a2+2ab+b2=13+ 12=25. 11.-3解析：因为x十y十之=1，所 以x+y=1-之.因为x2+y2-3x2十 4z=7,所以(x十y)2-2xy一322+ 42=7.所以(1-x)2-2xy-322+ 4g=7.所以一2.xy一222+2x=6.所 以xy十之2-之=一3.所以xy一 x(x+y)=xy-之(1-之)=xy+22 之=-3. 12.(1)原式=4m一9. 当m=时，原式=4×号-9=1 (2)原式=2a+b 当a=2,b=-1时，原式=2×2-1=3. 13.因为a2+b2=1 3ab, 所以(a十b)2 a2+2ab+b2 a-b a2-2ab+b2 b+2ab 10 =4. 34b-2ab 10 所以a+=士2. Ca-b 因为a>b>0, 所以a十b>0,a一b>0. 所以名2 14.B解析：(2x+k)(3x+2) 6.x(x+3)+5.x+16=6.x2+4x+ 3k.x+2k-6.x2-18x+5.x+16= (3k-9)x+(2k十16)，因为错将x= 6看成了x=一6，但结果却和正确答 案一样，所以3k-9=0,解得k=3. 15.(1)15:15:15. (2)因为“Z”字形框架中位置C上的 数为x, 所以位置A,B,D,E上的数依次为 x-8,x-7,x+7,x+8. 由题意，得(x-7)(x十7)-(x一8)· (x+8)=(x2-49)-(x2-64) x2-49-x2+64=15. 所以(1)中的规律成立， (3)13. 专题特训二巧用乘法公式 L.C解析：(a-b)2=(a+b)2 4ab=12-4×2=4. 2.C解析：因为a=x-2022,b= x-2024,c=x一2023，所以a一1= c=b+1,则a-b=2.因为a2+b2 16,所以(a-b)2+2ab=16.所以 ab=6.所以c2=(a-1)(b+1)= ab+a-b-1=6+2-1=7. 3.14解析：因为(x+y)=12, (x-y)2=4,所以x2+2xy+y2 12①，x2-2xy+y2=4②.①+②，得 2x2+2y2=16.所以x2+y2=8.① ②，得4xy=8.所以xy=2.所以 x2+3.xy+y2=8+3×2=14. 4.(1)因为a2+ab=15,b2+ ab=10, 所以a2+ab-(b2+ab)=15-10,即 a2-b2=5. 所以(a十b)(a-b)=5. 又因为a一b=1, 所以a十b=5. (2)因为a-b=1,a+b=5, 所以a2+6=号[(a+6)+(a 62]=2×(25+1)=13. 5.原式=[(100-1)×(100+1)]× (10000+1)=(1002-1)×(10000+ 1)=(10000一1)×(10000+1)= 100002-1=99999999. 6.原式=(7-1)×(7+1)×(72+ 1)×(74+1)×(78+1)×(716+1)+ 1=(72-1)×(72+1)×(74+1)× (78+1)×(716+1)+1=(74-1)× (74+1)×(78+1)×(716+1)+1= (78-1)×(78+1)X(716+1)+1= (716-1)×(716+1)+1=732-1+ 1=732. ·易错警示 不能从整体入手确定解题 策略导致错误 解答本题时，往往会出现从左 到右依次进行计算导致解题陷入 困境的现象，究其原因，是不能从 算式的整体结构特征入手，根据各 项各部分具有的特征灵活选用方 法，使问题得到转化.解答时，可以 从全局观察结构特征，不难发现括 号内各式可以看成是底数为7、指 数分别为1,2,4,8,16的幂与1的 和，因而只需要将6看成7一1，通 过这样的巧妙变形，就可以与后面 的式子逐步运用平方差公式合并， 从而简化运算 7.设这两个两位数的十位上的数字 是x,则这两个两位数分别表示为 10 10x+6,10x+4. 所以(10x+6)2-(10x+4)2=220. 所以(20x+10)×2=220,解得x=5. 所以这两个两位数分别是56,54. 8.能被10整除 理由：原式=(3)2-1-（3-n2)= 9n2-1-9+n2=10m2-10= 10(n2-1). 因为n为自然数， 所以10(n2-1)能被10整除。 所以(3+1)(3-1)-(3-n)(3+ n)的值能被10整除. 9.D解析：因为(x一之)一4(x y)(y-x)=0,所以x2+22-2x2 4xy十4x2+4y2-4yz=0.所以x2+ x2+2x2-4xy+4y2-4yz=0.所以 (x+之)2-4y(x+z)+4y2=0.所以 (x+之-2y)2=0.所以之+x 2y=0. 10.(1)因为m十n=-4, 所以(m+n)2=16,即m2+2mn+ n2=16. 因为m2十n2=40, 所以40+2mn=16. 所以1=一12. (2)因为m2-6m=k,n2-6n=k, 所以m2一6m+n2-6n=2k. 所以m2+n2-6(m+n)=2k. 因为m2+n2=40, 所以40-6(m+n)=2k, 所以k=20一3(m+n). 因为m2一6m=k,n2一6n=k, 所以m2-6m-n2+61=(m+n)· (m-n)-6(m-n)=(m-n)(m+ n-6)=0. 因为m,n不相等， 所以m十n-6=0,即m十n=6. 所以k=20一3×6=2. 专题特训三整体思想在 整式化简中的应用 3 3 1因为a=8x-20,b=8x-18, 3 c=8x-16,拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 第3课时乘法 自基础进阶 1.下列乘法公式的应用中，正确的是( A.(2x-3)2=4x2-9 B.(2x+3)(2.x-3)=4x2-9 C.(2x-3)(3-2x)=4x2-9 D.(2x-3)(3x-2)=4x2-9 2.计算(a+b-c)(a一b-c)的结果是() A.a2+b2-c2 B.a2-2ab+62-c2 C.a2-b2+c2 D.a2-2ac+c2-b2 3.已知(a+b)2=10,(a一b)2=6,则ab= 4.若两个正方形的周长之和为80cm,它们的面 积之差为40cm,则这两个正方形的边长之 差为 5.计算： (1)(a-b)2(a+b)2. (2)(2a+3b)2(2a-3b)2. (3)(2a-3)(4a2+9)(2a+3). (4)[(x-y)2+(x+y)2](x2-y2). 30 照批改 公式的综合应用 ◆“答案与解析”见P9 )素能攀升 6.下列计算正确的是 A.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 B.(-x+y)(x-y)=x2-y2 C.(2x-y)(x+2y)=2x2-2y2 D.(-x-2y)(-x+2y)=x2-4y2 7.设a,b是有理数，定义新运算：a￥b=(a一 b)2,等式右侧为通常的混合运算.有下列结 论：①a￥b=b￥a;②(a￥b)2=a2￥b2; ③(-a)￥b=a￥(-b):④a￥(b+c)=a* b十a*c.其中，正确的是 () A.①③ B.①② C.①③④ D.①②③④ 8.整体思想若a2+4a=5,则代数式2a(a十 2)-(a+1)(a-1)的值为 () A.1 B.2 C.4 D.6 9.某工厂原来生产一种边长为a厘米的正方形 地砖，现将地砖一组对边的长增加3厘米， 一组对边的长减少3厘米，改成生产长方形地 砖.若地砖的材料成本为每平方厘米b元，则 每块长方形地砖的材料成本与每块正方形地 砖的材料成本相比，减少了 元. 10.有两个正方形A,B,现将B放在A 的内部得图①，将A,B并列放置后 构造新的正方形得图②.若图①和答案讲解 图②中涂色部分的面积分别为1和12，则图 ②中新的正方形的面积为 ① ② (第10题) 11.已知x+y+之=1，x2+y2-3z2+4x=7, 则xy一x(x十y)的值为 12.先化简，再求值： (1)(2024·长沙)2m-m(m-2)+(m+ )0m3),其中m号 (2)[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其 中a=2,b=-1. 13.设a>b>0,a2+b= 3ab,求 a十b的值， 答案讲解 a-b 思维拓展 14.小亮在做“先化简，再求值：(2x+k)(3x十 2)-6x(x+3)+5x+16,其中x=6”一题 时，错将x=6看成了x=一6，但结果却和 正确答案一样.由此可知k的值是（) A.2B.3C.4D.5 第8章整式乘法 5.新情境·现实生活在月历上，我们可以发现 其中某些数满足一定的规律 (1)图②是某月的月历，用如图①所示的 “Z”字形框架任意框住月历中的5个数， 将位置B,D上的数相乘，位置A,E上的 数相乘，再相减，例如：5×19一4×20= ,2×16-1×17= .不难 发现，结果都等于 (2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x, 请利用整式的运算说明(1)中的规律成立. (3)如图③，在某月历中，用正方形方框框 住9个数（涂色部分）.如果最小的数和最大 的数的乘积为105，那么中间位置上的数 a 二 三四五六日 2 AB 6 6 8 9 10 C 111213 14 15 16 17 DE 1819202122 2324 “Z”字形框架 252627282930 ① ② 三四五六日 a ③ (第15题) 31