8.4乘法公式强化提升专练 2025-2026学年苏科版数学 七年级下册

8.4乘法公式强化提升专练 一、知识点核心定义 乘法公式是整式乘法的特殊形式，是多项式乘多项式的简便运算工具，核心包含平方差公式和完全平方公式。其本质是多项式乘多项式的特例，通过总结规律简化运算，避免繁琐的逐项相乘，同时保证运算准确率，是后续因式分解、代数式化简的基础。 关键关联：乘法公式源于多项式乘多项式，需熟练掌握多项式乘多项式法则，理解公式的推导过程，避免死记硬背，灵活运用公式进行简便运算。 二、核心公式及法则 （一）平方差公式 1. 公式表达 2. 文字表述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。 3. 公式推导（源于多项式乘多项式）： （注：中间两项 与 互为相反数，合并后为0，简化得到平方差公式） 4. 记忆口诀：和乘差，平方差，首平方，尾平方，中间符号不用慌（互为相反数消去）。 （二）完全平方公式 完全平方公式分为“和的完全平方”和“差的完全平方”，两个公式形式相似，注意符号区别。 1. 和的完全平方公式 公式表达： 文字表述：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍。 2. 差的完全平方公式 公式表达： 文字表述：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数积的2倍。 3. 公式推导（以差的完全平方为例）： 4. 记忆口诀：完全平方有规律，首平方，尾平方，首尾两倍在中央；和平方，加两倍，差平方，减两倍。 三、公式适用条件 1. 平方差公式适用条件：两个多项式相乘，必须是“两个数的和”与“这两个数的差”相乘（即一项完全相同，另一项互为相反数），缺一不可。 2. 完全平方公式适用条件：两个相同的多项式相乘（即“两个数的和”或“两个数的差”的平方），注意区分“和”与“差”，避免符号出错。 3. 补充说明：公式中的 、 可以是单独的字母、数字，也可以是单项式、多项式（整体代入思想），如 、 均适用公式。 强化提升训练 一、单选题 1．的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．如果，则括号内的多项式为（    ） A． B． C． D． 4．下列等式能够成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．如果，那么b的值一定是（    ） A．21 B．21或 C．42 D．42或 7．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 8．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 二、填空题 9．计算：______． 10．已知，，则__________ 11．若是完全平方式，则________________． 12．用简便方法计算： ____． 13．已知实数满足，代数式的值为__________； 14．已知，求____． 15．若，则的值是_______． 16．如图是一个可折叠式的餐桌，其桌面由一个大正方形和四个全等的小正方形构成．当桌角全部打开时（如图①，桌面的最大长度为；当桌角全部收起时（如图②，桌面未被桌角覆盖部分的长度为．那么，当桌角全部收起时（图②中），桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是________（用含、的代数式表示）．    17．下列说法正确的有 __．（选序号） ①若，则满足条件的值有3个． ②若，，则用含的代数式表示为． ③已知，则的值是34． ④1，2，3，，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． 18．阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 三、解答题 19．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．先化简，再求值 (1)，其中，； (2)其中，． 21．先化简，再比较大小：已知，，试比较A与B的大小． 22．张老师在黑板上布置了一道题：计算：，求当和时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由． 23．一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为，如果它的高不变，底面正方形边长增加了，那么它的体积增加了多少？ 24．阅读以下材料：若，求的值． 思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出． 解：， ， ， 又 ． 请你根据上述阅读材料解决下列问题： (1)若，求的值； (2)当分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值． 25．【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．    【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：　 　；由图3可得等式：　 　； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则　 　； (3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②　 　； (4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 　 　． 试卷第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C D D D B 1．D 【详解】解：， 故选D 2．B 【详解】解：A、，故能够用平方差公式计算； B、不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算； C、，故能够用平方差公式计算； D、，故能够用平方差公式计算； 故选：B． 3．B 【详解】解：； 故选B． 4．C 【详解】解：A、，原等式不成立，不符合题意； B、，原等式不成立，不符合题意； C、，原等式成立，符合题意； D、，原等式不成立，不符合题意； 故选C． 5．D 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6．D 【详解】， ，， 解得：，或，， 故选：D． 7．D 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 8．B 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 9． 【详解】解：原式= = = =， 故答案：． 10．4 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 11． 【详解】∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：12 12． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14．1 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 15．201 【详解】解：原式 ． 故答案为：201． 16． 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为， ∴大正方形的边长为， ∴桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是， 故答案为：． 17．②③/③② 【详解】解：①若， ，则，不合题意 ，则， ，则，不合题意， 满足条件的值有1个， 故①不符合题意； ②， ， ， ， ， 即用含的代数式表示为， 故②符合题意； ③， ， ， ， ， 故③符合题意； ④设两个自然数的平方差， 与同奇同偶， 这个数是奇数或是4的倍数， 在1，2，3，，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的有14个， 不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：个， 故④不符合题意； 故答案为：②③． 18． 【详解】解： ． 故答案为：2． 19．(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．(1)， (2)， 【详解】（1）解：原式 当，时 原式 ； （2）原式 当，时 原式 ． 21． 【详解】解： ， ， ． 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． 22． ， 当时，原式 时，原式， ∴当和时的值相同， ∴小亮说法正确． 23．增加了 【详解】解：， ， ， 答：它的体积增加了． 24．(1)； (2)代数式有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，又，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵ ， 又，，， ∴代数式有最小值，最小值为． 25． 【详解】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积， 大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积， ∴； 由图3知，∵大正方形的面积， 大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积， ∴； 故答案为：，． （2）∵由（1）知：， ∴， ， 把代入， ． 故答案为：155． （3）①∵， 可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图：    ②由①知：， ∴． 故答案为：9． （4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， 也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， ∴拼成的正方形的边长最长为． 故答案为：． $