8.4 第2课时 平方差公式-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 第2课时 自基础进阶 1.下列各式中，运用乘法公式计算正确的是 A.(y+x)(y-x)=x2-y2 B.(2x-y)(2y-x)=y2-4x2 C.(2a-1)2=4a2-4a+1 D.(3-x)2=9-x2 2.下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.(-a+b)(-a-b) B.(a+b)(a+b) C.(-a-b)(a+b) D.(a-b)(2a+b) 3.计算： (1)(-3m-4n)(-3m+4n)= (2)(-a-5)(-a+5)= (3)(7b-a)(a+7b)= (4)(-4x-y)(4x-y)= 4.填空： (1)(a+7)( ）=a2-49. (2)(5a-3b)()=25a2-9b2. 5.计算： (1)(a+2)(a-2)-(a-3)2. (2)(x-y)(x+y)(x2+y2). (3)(4x+1)(-4x-1)-(2x-3)(2x+3). 28 照批改 平方差公式 ●“答案与解析”见P8 (4)(3x-y+2)(3x+y-2) 幻素能攀升 6.计算2024一2023×2025的结果是（ A.1 B.-1 C.0 D.2×2024-1 7.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方 差，则称这个正整数为“好数”.下列正整数 中，能称为“好数”的是 A.205B.250C.502 D.520 8.小刚把(2022x+2021)展开后得到a.x2+ bx+c,把(2021x+2020)2展开后得到 m.x2+n.x十q,则a一m的值为 A.1B.-1C.4043D.-4043 9.观察：(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x+ x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)= x4一1.根据此规律，当(x一1)(x5+x4十 x3+x2+x十1)=0时，代数式x225-2的 值为 A.1 B.0 C.0或-2 D.-1或-3 10.(1)若a-b=3,则代数式a2-b2-6b= (2)若(m+2022)2=10,则(m+2021)· (m+2023)= (3)正方形I的周长比正方形Ⅱ的周长长 96cm,它们的面积相差960cm,则这两个 正方形的边长之和为 cm. 11.新考向·学科内综合如图，大正方形 ABCD与小正方形DEFG的面积 之差是64，则涂色部分的面积是答案讲解 (第11题) 12.若m2-n=5,则(m+n)2(m-n)2的值是 13.已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7, ab=2,则(a十b)2=· 14.先化简，再求值： 答案讲解 (1)(a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b a),其中a=-1,b=2. (2)(x-3)(x+3)(x2+9)-(9-x2)2,其 中x=2. (3)(x+3)(x-3)+x(x-2),其中x2一 x-1=0. 第8章整式乘法 5.某中学校园正在进行绿地改造，将原有的一 块正方形绿地每边都增加3米，则它的面积 增加了63平方米，问：原绿地的边长为多 少？原绿地的面积为多少？ 罚思维拓展 6.新考法·探究题如果一个正整数能 表示为两个正整数的平方差，那么 称这个正整数为“智慧数”，如3=答案讲解 2-12,7=42-3,16=52-32,3,7,16都是 “智慧数”.在正整数中，从1开始，第2022个 “智慧数”是 7.比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方 差能被3整除， (1)92一6的结果是3的多少倍？ (2)设偶数为2m(n为整数)，试说明：比2n 大3的数与2m的平方差能被3整除， (3)比任意一个整数大3的数与此整数的 平方差除以6后的余数为多少呢？请说明 理由. 29(3)设AB=x,则S1=a(x一3b), S2=2b(x-2a). 所以S1-S2=a(x-3b)-2b(x- 2a)=(a-2b)x+ab. 因为当AB的长变化时，S,一S,的值 始终保持不变， 所以S,一S2的值与x的取值无关， 所以a一2b=0. 所以a=2b. 8.4乘法公式 第1课时完全平方公式 1.C2.C3.634.(1)2 (2)42或-42 5.(1)1. (2)-24xy. (3)-5a2+5b2. (4)-4x-2. 6.B 7.A解析：根据题意，得x十y一5 0,xy-3=0,所以x十y=5,xy=3. 因为(x+y)2=x2+2xy+y2=25,所 以x2+y2=25-2X×3=25-6=19. 8.A解析：x2+y2十2x-4y十7 (x2+2x+1)+(y2-4y+4)+2= (x+1)2+(y-2)+2.因为(x+ 1)2≥0，(y-2)2≥0，所以(x+1)2+ (y-2)2+2≥2.所以x2+y2+2x 4y+7的值总不小于2. 9.(1)104解析：因为a+b=4, ab=3,所以a2+b2=(a+b)2 2ab=42-2×3=10,(a-b)2=(a+ b)2-4ab=42-4×3=4. (2)-2解析：因为a一b=3,所以 (a-b)2=a2-2ab+b2=9.因为 a2+b2=5,所以5一2ab=9.所以 ab=-2. (3)4解析：由题意，得2(m+n) 12,mn=8,所以m+n=6.所以(m n)2=(m十n)2-4mm=62-4×8= 36-32=4. 10.4或2 a b 11.4解析：根据定义 c d ad-bc,可得原式=(x-1)(x+1) (x-1)2=6,解得x=4. 12.128解析：因为(a+b)的展开 式中各项系数之和是1十1=2，(a+十 b)2的展开式中各项系数之和是1十 2+1=2,(a十b)3的展开式中各项 系数之和是1+3+3+1=2，(a+ b)4的展开式中各项系数之和是1十 4+6+4+1=24…所以(a+b)”的 展开式中各项系数之和是2”.所以 (a+b)?的展开式中各项系数之和是 2?=128. 13.原式=4x2+4x+1-2.x+6= 4x2+2x+7. 因为2x2十x一1=0， 所以2x2+x=1. 所以4x2+2x=2(2x2+x)=2. 所以原式=2十7=9. 14.C解析：令t=x一2023，则(t 2)2+(t+2)2=34,即t2-4t+4+ t2+4t+4=34.所以t2=13,即(.x 2023)2=13. 15.(1)c2-2ab:(b-a)2. (2)a2+b2=c2. (3)10. (4)①(a+b)3=a3+3a2b+ 3ab2+b3. ②因为a+b=3,ab=1,(a+b)3= a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+ 3ab(a+b), 所以33=a3+b3+3×1×3. 所以a3+b3=18. 第2课时平方差公式 1.C2.A3.(1)9m2-16n (2)a2-25(3)49b2-a3 (4)y2-16.x24.(1)a-7 (2)5a+3b 5.(1)6a-13 (2)x4-y. (3)-20x2-8x+8 8 (4)9x2-y2+4y-4. 6.A解析：原式=20242 (2024-1)×(2024+1)=2024- (20242-1)=20242-20242+1=1. 7.D解析：根据平方差公式，得 (2m+1)2-(2m-1)2=(2m+1+ 2m-1)(2n+1-2n+1)=4m×2= 81.所以“好数”是8的倍数.因为 205,250,502都不能被8整除，只有 520能被8整除，所以选项D符合 题意。 8.C解析：因为把(2022x+2021) 展开后得到ax2十bx十c,所以a= 20222.因为把(2021x+2020)2展开 后得到mx2十x十q,所以m= 2021.所以a-m=20222-20212= (2022+2021)×(2022一2021)= 4043. 9.D解析：根据规律，可得(x一 1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6 1.因为(x-1)(x5+x4+x3+x2+ x十1)=0，所以x6-1=0.所以x6= 1.所以(x3)2=1.所以x3=士1.所以 x=士1.当x=1时，原式=12025 2=一1；当x=一1时，原式= (-1)225一2=一3.综上所述，原代数 式的值为一1或一3. 10.(1)9解析：a2一b2一6b=(a+ b)(a-b)一6b.当a一b=3时，原 式=3(a+b)-6b=3a+3b-6b= 3a-3b=3(a-b)=3X3=9. (2)9解析：因为(m+2022)2=10, 所以(m+2021)(m+2023)=(m+ 2022-1)(m+2022+1)=(m+ 2022)2-1=10-1=9. (3)40解析：设正方形I的边长为 acm,正方形Ⅱ的边长为bcm.由题 意，得4a-4b=96,a2-b2=960.所 以a-b=24,(a+b)(a-b)=960.所 以a十b=40.所以这两个正方形的边 长之和为40cm. 11.32解析：设大正方形ABCD的 边长为a,小正方形DEFG的边长为 6则涂色部分的面积是号AG· DC+AG·ED=号AG(DC+ ED)=名(AD-DG)(DC+ED) 合u-ba+b6)=合d-6).由题 意，得a2一b2=64.所以涂色部分的 面积是？×64=32. 12.25解析：因为m2-n2=(m十 n)(m一n)=5,所以原式=[(m十n)· (m-1n)]2=52=25. 13.8解析：因为(a2+b2+3)· (a2+b2-3)=7,即(a2+b2)2-32= 7,所以(a2+b2)2=7+9=16.所以 a2+b2=4.因为ab=2,所以(a+ b)2=a2+b2+2ab=4+2×2=4+ 4=8. 14.(1)原式=6ab. 当a=一1，b=2时，原式=6× (-1)×2=-12. (2)原式=18.x2一162 当x=2时，原式=18×4一162= -90. (3)原式=2.x2-2.x-9=2(x2 x)-9. 因为x2-x-1=0, 所以x2-x=1. 所以原式=2×1-9=一7. 15.设原绿地的边长为x米，则改造 后绿地的边长为(x十3)米， 根据题意，得(x十3)2一x2=63,解得 x=9. 所以9×9=81（平方米）. 所以原绿地的边长为9米，原绿地的 面积为81平方米 16.2699解析：设两个数分别为 k十1，k,其中k≥1，且k为整数，则 (k+1)2-k2=(k+1+k)(k+1 k)=2k+1.当k=1时，2k+1=3,所 以除1外，所有正奇数都是“智慧数”， 设两个数分别为t+1,t-1,其中t> 1,且t为整数，则(t+1)2一(1一1)2= (t+1+t-1)(t+1-t+1)=4t.当 t=2时，41=8.所以除4外，所有能被 4整除的正整数都是“智慧数”.这样 还剩被4除余2的数.假设4x十2是 “智慧数”，则必有两个正整数m和n, 使得4.x+2=m2一n2.所以2(2x+ 1)=(m十n)(m-n)①.因为m十n和 m一n这两个数的奇偶性相同，所以 等式①的右边要么是4的倍数，要么 是奇数，而左边一定是偶数，但一定不 是4的倍数.所以4x十2不是“智慧 数”，即被4除余2的正整数都不是 “智慧数”.所以把从1开始的正整数 依次每4个分成一组，除第一组有 1个“智慧数”外，其余各组都有3个 “智慧数”，而且每组中第2个数不是 “智慧数”.又因为(2022一1)÷3= 673…2,所以第2022个“智慧数” 在1+673十1=675（组），并且是第 3个数.所以第2022个“智慧数”为 675×4-1=2699. 17.(1)因为9-62=45,45÷3=15， 所以92一62的结果是3的15倍. (2)由题意，得偶数为21，比偶数大3 的数为21+3， 所以(2+3)2一(2n)2=(21+3+ 2m)(21+3-2m)=3(4+3). 因为4n十3为整数 所以3(4n+3)能被3整除. 所以比21大3的数与2的平方差能 被3整除， (3)余数为3. 理由：设这个整数为m,比m大3的 数为m+3. 因为(m+3)2-m2=(m十3+m）· (m+3-m)=6m+9=6(m+1)+3, 所以余数为3. 第3课时乘法公式的综合应用 1.B2.D3.14.2cm 5.(1)a4-2a2b2+b. (2)16a4-72a2b2+81b4 (3)16a4-81. 9 (4)2.x4-2y. 6.D 7.A解析：a*b=(a一b)2,b*a= (b-a)2=(a-b)2.故①正确 (a*b)2=[(a-b)2]2=(a-b)4,a2 b2=(a2-b2)2=(a十b)2(a-b)2.故 ②错误.(-a)￥b=(一a-b)2 (a+b)2,a￥（一b)=(a+b)2.故③ 正确.a￥(b十c)=(a一b一c)2= a2+62+c2-2ab-2ac+2bc,a *b+ a￥c=(a-b)2+(a-c)2=a2 2ab+b2+a2-2ac+c2=2a2+b2+ c2-2ab-2ac.故④错误.综上所述， 正确的是①③， 8.D 9.9b解析：因为一块正方形地砖的 面积为a2平方厘米，一块长方形地砖 的面积为(a+3)(a-3)=(a2-9)平 方厘米，所以一块长方形地砖的面积 比一块正方形地砖的面积减少了 a2一(a2一9)=9（平方厘米）.所以每 块长方形地砖的材料成本与每块正方 形地砖的材料成本相比，减少了 9b元. 10.25解析：设正方形A的边长为 a,正方形B的边长为b.由题图①，得 a2-b2-2b(a-b)=1,所以a2 b2-2ab+2b2=1.所以a2-2ab+ b2=1.由题图②，得(a十b)2-a2 b2=12,所以a2+2ab+b2-a2 b2=12.所以2ab=12.所以a2+b2= 13.所以题图②中新的正方形的面 积=(a+b)2=a2+2ab+b2=13+ 12=25. 11.-3解析：因为x十y十之=1，所 以x+y=1-之.因为x2+y2-3x2十 4z=7,所以(x十y)2-2xy一322+ 42=7.所以(1-x)2-2xy-322+ 4g=7.所以一2.xy一222+2x=6.所 以xy十之2-之=一3.所以xy一 x(x+y)=xy-之(1-之)=xy+22 之=-3. 12.(1)原式=4m一9.