第7章 幂的运算 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 数学探究 “大 1.“黑洞”是恒星演化的最后阶段.根据有关理 论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已 经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍 缩，直到最后形成体积小、密度大的星体如 果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么 就会引发另一次大坍缩.当这种坍缩使得它的 半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当 强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为黑 洞.施瓦氏半径R(单位：m)的计算公式：R ,其中G≈6.67X10"N·m/kg,为万 有引力常数；M表示恒星的质量（单位：kg); c≈3×108m/s,为光在真空中的速度.已知太 阳的质量约为2X×10”kg,求太阳的施瓦氏半径 2.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科 的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只 有0.000005克. (1)用科学记数法表示上述两个数据 (2)若一个鸡蛋的质量大约是50克，则大约 多少只这种卵蜂的质量之和与这个鸡蛋的质 量相等？ 16 拍照批改 数与“小”数 ●“答案与解析”见P5 3.新情境·科技民生雷达可用于飞机导航，也可 用来监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞 机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被 雷达接收，整个过程共用了5.24×105秒， 已知电磁波的传播速度约为3.0×108米/秒， 则该时刻飞机与雷达的距离约是多少米？ 4.最小刻度为0.2m(1nm=109m)的 钻石标尺，可以测量的距离小到不 足头发丝直径的十万分之一，这也答案讲解 是目前世界上刻度最小的标尺 (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：m). (2)蜂鸟是世界上最小的鸟.一只蜂鸟从头 到尾的长度大约为6.5cm,则这只蜂鸟的长 度约为该标尺最小刻度的多少倍？ 第7章幂的运算 照批改 第7章整合拔尖 ，“答案与解析”见P5 ]知识体系构建 同底数幂的乘法 a"·a=a"(m,n是整数) 幂的运算 幂的乘方 (a")"=am(m,n是整数) (ab)m=a"b(m是整数) 积的乘方 同底数幂的除法 法则。a÷a=a(a≠0，m,n是整数) 零指数幂 a°=1(a≠0)》 负整数指数幂 a”=1(a≠0，n是整数) a 科学记数法 [9]高频考点突破 考点一 同底数幂的乘法与除法 (-1)2024 典例1下列计算中，结果正确的是 A.(a3)2=a B.x2·x3=x C.3a°=0(a≠0) D.x6÷x2=x3 [变式]下列计算正确的是 A.a3+a=a B.a3·a4=a [变式]计算：(-2÷4+(》--21+8-， C.a4÷a3=a D.(a3)4=a7 考点二幂的乘方、积的乘方 典例2(2025·连云港赣榆模拟)下列计算正 确的是 ( A.(-x)2·x3=-x5 考点四较小数的科学记数法 B.-x2·x3=x 典例4(2025·合肥二模)“纳米机器人”是一 C.x2·(-x)3=-x6 种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的 D.(-x2)3=-x6 体积极小，其长度约为0.00000117m.将数据 0.00000117用科学记数法表示为 () 变式]若m,n满足3m一n一4=0，则8m÷2”= A.1.17×10-6 B.11.7×10-7 C.1.17×10-5 D.0.117×10-5 考点三 运用零指数幂、负整数指数幂的意 [变式](2025·南京鼓楼段考)水珠不断滴在一 义运算 块石头上，经过20年，石头上形成了一个深度为 4.8×10-2m的小洞，平均每月小洞的深度增加 典例3计算：-8-（π+3）°+(-)+ m(结果用科学记数法表示). 17所以275>165. 所以210<35. 13.(1)因为2×4×32=82， 所以2X22xX2r=236,即21+7u=236 所以1+7.x=36,解得x=5. (2)因为5+2+5+1=750， 所以5×5+1+5+1=6X125. 所以6×5+1=6×53，即5+1=53」 所以x十1=3，解得x=2. (3)因为5+2-5+1=500， 所以5X5+1-5+1=4X125. 所以4X5+1=4X53,即5+1=53. 所以x+1=3,解得x=2 14.因为3·272-4·9=81， 所以311·3r12,3=324」 所以311=324 所以7x-11=24. 所以x=5. 15.3m+4+n=34X3m+1=81X3m+ n=80X3m+(3m+n). 因为3”十n能被10整除， 所以80×3”与3"+n均能被10整除。 所以3m+4十n能被10整除 数学探究大”数与“小”数 1.R≈2X6.67×101X2X100 (3×108)2 2.96×103(m) 所以太阳的施瓦氏半径约为2.96× 103m. 2.(1)0.021用科学记数法表示为 2.1×102 0.000005用科学记数法表示为 5×10-6. (2)设大约x只这种卵蜂的质量之和 与这个鸡蛋的质量相等. 根据题意，得0.000005x=50,解得 x=10000000=1×10. 所以大约1×10？只这种卵蜂的质量 之和与这个鸡蛋的质量相等。 3.3.0×108×5.24×105÷2= 7.86×103(米). 所以该时刻飞机与雷达的距离约是 7.86×103米 4.(1)0.2nm=0.2×109m=2× 10-10m. (2)6.5cm=0.065m=6.5×10-2m. 因为(6.5×102)÷(2×10-0)= 3.25×108, 所以这只蜂鸟的长度约为该标尺最小 刻度的3.25×108倍. 第7章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B [变式]B 典例2D [变式]16解析：因为3m一n 4=0,所以3m-n=4.所以8m÷2”= 23m÷2”=23m-"=24=16. 典例3原式=8-1一4+1=4. [变式]原式=-8÷4+4一2+1= -2+4-2+1=1. 典例4A [变式]2×104解析：平均每月小 洞的深度增加4.8×102÷(20× 12)=4.8×10-2÷(2.4×102)=2× 10-4(m). 典例5(1)原式=4x6-8.x= -4x6. (2)原式=9a8-a3-a8=8a8-a [变式]原式=16x8一x=16(x"y (xm)3.当x"=2时，原式=16X 22-23=56. 典例6(1)因为10=2,10=3， 所以原式=(10)2+(10)3=22+ 33=4+27=31. (2)因为10=2,10=3， 所以原式=104×10必=(10)2× (10)3=22×33=4×27=108. [变式](1)因为am=2,a”=3, 所以am+3m=am·a3m=(am)4· (a”)3=24×33=16×27=432. (2)因为am=2,a"=3, 所以am-n=a5m÷a2如=(am)5÷ a")2=2÷32=32. 9 典例7(1)3：125. (2)因为(3,15]=a,(3,6]=b,(3, s]=c, 5 所以34=15,3=6,3=s. 所以3×3÷3=15×6÷s,即 34+b-c=15X6÷s. 因为a+b=c, 所以3"=90÷s,即1=90÷s. 所以s=90. (3)因为(2,20]=a,(5,20]=b, 所以2=20,5=20. 所以2ab=20,5=209」 所以2×5=20×20，即(2× 5)0=20+a】 所以10b=20b+a. 因为2=20， 所以10b×2b=20+aX20. 所以(10X2)b=20+a+b,即20= 204+2% 所以ab=a+2b 所以t= 3ab3ab a+2b ab =3. [变式](1)2. (2)(7,30).解析：设(7,3)=x,(7, 10)=y,则(7,3)+(7,10)=x+y.所 以7=3,7=10.所以7×7￥= 7+y=30.所以(7,30)=x十y.所以 (7,3)+(7,10)=(7,30). (3)64.解析：因为(3，m+17)=4, 所以3=m十17，解得m=64.因为 (9,m)=n,所以9”=m.所以9”= 32”=64.所以(3,64)=2. (4)因为(3”，2")=s,(3,2)=t, 所以3m=2”,3=2. 所以3"=2」 所以3"=3"。 因为n为正整数， 所以s=t. [综合素能提升] 1.D解析：因为43m=2,所以 (22)=2,即2"=2.所以61=1，解 得=合：因为m十n=1,所以m 吾，则6m=6× 5 =5.所以82= (23)2m=26m=25=32. 2.D3.B4.D 5.C解析：根据1的任何次幂都等 于1，得x+3=1,解得x=一2.根据 任何不等于0的数的零次幂都等于 1,得x一3=0，且x十3≠0，解得x= 3.此时x十3=6，符合题意.根据-1 的偶数次幂等于1，得x十3=一1，且 x一3为偶数，解得x=一4.此时x 3=一7，不是偶数，不合题意，舍去.综 上所述，x的值为一2或3. 6.一1解析：因为10m=2,100”=5, 所以10=4，(102)”=5.所以10m= 5.所以10”=25.因为102m+4m-3= 102mX10w÷103=4×25÷1000= 101,所以2m+4n-3=-1. 7是 8.(1)原式=-1-4+1=-4. (2)原式=a8-4a8+a8=-2a8. 9.因为(9m+1)2=92咖+2=322m+2》=316， 所以2(2m十2)=16，解得m=3. 10.y+2=m 理由：因为3r+y=3×3'=15,且 3=5, 所以3=15÷5=3. 因为3"=33=3×11,3=11， 所以3m=3×3=3+ 所以y十之=m. 11.因为272=（±33）2=（±3）6= a6=9的=(32)少=3必， 所以a=士3,2b=6,解得b=3. 所以当a=3,b=3时，2a2+2ab= 2×32+2×3×3=18+18=36: 当a=-3,b=3时，2a2+2ab=2× (-3)2+2×(-3)×3=18-18=0. 综上所述，2a2+2ab的值为36或0. 第8章整式乘法 8.1单项式乘单项式 1.D2.C3.(1)a3x3 (2)-3.xy44.(1)-4.x22 (2)-xy 5.(1)原式=-24.x°yz2. (2)原式=一5a4. (3)原式=6a8. (4)原式=3a3b6 6.B7.C 8.A解析：(5×10°)×(20×10m)× (4×102)=(5×20×4)×(103× 10m×102)=400×103+m+2=4× 102×10m+5=4×10m+7,即4× 10m+7=4×10.所以m十7=9，解得 m=2. 9.4解析：因为（一2xmy2)· (4x2y”-1)=-8xm+2y"+1,-2xmy2与 4x2y”-1的积和一x4y3是同类项，所 以m十2=4，n十1=3，解得m=2, n=2.所以mm=4. 10.-415解析：因为(mx3)· （2x)=2m.x3+=一8x18,所以 2m=一8,3十k=18,解得m=一4， k=15. 11.3.6×103解析：依题意，得这颗 恒星到地球的距离约为4×3×10'× 3×105=(4×3×3)×(107×105)= 3.6×1013(km). 12.(1)原式=a3b3·a2·16a4b6= 16a9b9. (2)原式=16a8b12+(一a8)·8b12 16a8b12-8a8b12=8a8b12」 13.(1)原式=-27a9·a3+ 256a4·a8=-27a12+256a12= 229a12. (2)原式=-9a?÷a-4a=-9a- 4a6=-13a°. (3)原式=a15÷a6-4a8·a=a9 4a9=-3a°. 14.因为2x·4y+x·(4y-2y)+ (4x-2.x-x)·y=8.xy+2xy+ cy=11xy(平方米)， 所以至少需要11y平方米的地砖， 购买地砖至少需要11xy·n= 11xyn(元). 15.原式=(-2ab)·(-ab)2 5ab2·a2b=-2ab·a2b2-5a3b3= -2a3b3-5a3b3=-7a3b3. 16.原式=x6m+y6m-xy3”·2y” 26m+y6n-2x6myin =(x3n )2+ 6 (y2m)3-2·(x3m)2·(y2)2. 当x3”=2,y2”=3时，原式=22十 33-2X22X32=4+27-2×4× 9=-41. 8.2单项式乘多项式 1.C2.A3.2a(a+b)=2a2+ 2ab4.(1)6.x3-8.x2(2)3ry 6x9 5.(1)原式=6.xy2+2x2-xy2= 2x2+5.xy2. (2)原式=2x2+2xy-3xy-3y= 2x2-xy-3y. (3)原式=8x6-3.x6+3.x5= 5x6+3.x5. 6.D解析：(x2-m.x+3)x- x2(4mx2+3x+5)=x3-mx2+ 3x-(4mx4+3.x3+5x2)=x3 m.x2+3.x-4m.x4-3.x3-5x2= -4mx4-2x3-(m+5)x2+3.x.因为 结果中不含x2项，所以-(m+5)= 0.所以m=-5. 7.B 8.C解析：由题意，得a2-a pa(a- b)-2a(a-b)-b2=10,a2-a(a- b)-b2=10,a2-a2+ab-b2=10, ab-b2=10,b(a一b)=10,所以当a, b的值发生变化时，代数式的值不变 的是b(a-b). 9.(1)4(2)1010.2ab+b 11.2029解析：因为a一b=6,所以 a=b+6.所以ab=(b+6)·b=b2+ 6b=2023.所以b2+6b+6=2023+ 6=2029 12.(1)原式=x+2x2+2x-6.x2+ 15.x=-4x2+18x (2)原式=27x3·（号y)十 3x·x4y+x5y+3xy4= -18x5y4+3x5y4+x5y4+3xy4 -14x5y+3xy. 13.(1)这个多项式为x2-2x+1