第11章 不等式与不等式组 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 拍照批改 第十一章整合拔尖 ●“答案与解析”见P39 知识体系构建 不等式的有关概念 不等式的定义 不等式的解 不等式的解集定义 用数轴表示不等式的解集 不等 不等式的性质 不等式的性质1。如果a>b,那么a±c>b±c 不等式的性质2。如果a>b,c>0,那么ac>bc(或名>) 与不等式 不等式的性质3。 如果a>b,c<0,那么ac<bc(或8<) 一元一次不等式 元一次不等式的概念 元一次不等式的解法去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 列一元一次不等式解决实际应用题的步骤 若a≥6，则当时取>a,同大取大 元一次不等式组 一元一次不等式组的解集 若a>6,则当公时取<6，同小取小 若a≥6，则当S6 时取b<x<a,大小小大中间找 若a≥6，则当任公时无解大大小小无处找 求解步骤 1.分别求出不等式组中各个不等式的解集 2.将各个不等式的解集在数轴上表示出来 3.找出解集的公共部分 9]高频考点突破 考点一不等式（组）的实际应用 则所含碳水化合物最多有多少克？ 典例1小太阳幼儿园要把若干个苹果分给 些小朋友，如果每人分5个，那么余7个：如果每 人分6个，那么最后一名小朋友分到的苹果少于 3个，则小朋友的人数至少有 A.11 B.12 C.13 D.14 [变式]某营养快餐的成分为蛋白质、脂肪、矿物 质、碳水化合物.其中脂肪所占的百分比为5%， 所含蛋白质的质量是矿物质的质量的4倍.若 这份快餐的总质量是500克，且这份快餐中蛋白 质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%， 102 第十一章不等式与不等式组 考点二解含有参数的一元一次不等式（组》 考点三 一元一次不等式组与二元一次方程 典例2*已知关于x的不等式组 x>-1, 组相结合 x≤1-k. 2x+y=m+7, 典例3已知关于x,y的方程组 (1)当k=一2时，求不等式组的解集. x+2y=8-m. (2)若不等式组的解集是一1<x≤4，求k的值. (1)若该方程组的解满足x>0,y>0,求m的 (3)若不等式组有3个整数解，求k的取值 取值范围. 范围 (2)根据(1)的结果，化简：√(m-3)+|m+2. x+2y=3m+1, 变式]已知关于x,y的方程组 x-y=m-2, 且它的解满足x为负数，y为正数， [变式](2025·重庆沙坪坝期末)若整数a使得 (1)试用含m的式子表示方程组的解， 关于x的方程2(x一1)+a=1的解为非负数， (2)求实数m的取值范围. 且使得关于y的一元一次不等式组 (3)化简：m+2+m-1. 5y+6 2 y 至少有3个整数解，则所有符合条 一a∠0 6 件的整数a的和为 A.3 B.4 C.5 D.6 综合素能提升 1.已知关于x的一元一次不等式组 解集是1<x≤3，则a=7;②当a=3时，不 3x-2≤2(x+1), 等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则α 的解集为x≤4，且关于y 11-2x>a 的取值范围是9≤x<11;④若不等式组有 的一元一次方程3(y-1)-2(y十a)=7的 解，则a>3.其中，正确的结论有 () 解为非负数，则所有满足条件的整数a的值 A.1个B.2个C.3个D.4个 之和是 () f3-2xx-1 A.-12B.-9C.-7 D.-4 4 3 3.若关于x的不等式组 有且只 2.(2025·杭州期末)已知关于x的不等式组 2一x 2x-m≤3 x35<2, 2 有下列四个结论：①若它的 有2个整数解，且m=2n,则整数n的值为 2x-a≤-1， 103 拔尖特训·数学（人教版）七年级下 4.(2024·菏泽期末)火车站检票口每分 7.(2025·杭州期末)某中学组织学生 钟可供15人匀速通过，若开放2个 研学，原计划租用可坐乘客45人的 检票口20分钟可以检票到无人等答案讲解 A种客车若干辆，则有30人没有座答案讲解 候检票，若开放3个检票口14分钟可以检票 位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可 到无人等候检票，则检票口至少有 人 少租6辆，且恰好坐满。 等候检票 (1)原计划租用A种客车多少辆？这次研学 5.已知关于x,y的二元一次方程组 去了多少人？ 2x-3y=-2, (2)若该校计划租用A,B两种客车共25辆， 的解满足x一y<O. x-2y=k 要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位， (1)求k的取值范围. 则有哪几种租车方案？ (2)在(1)的条件下，若关于x的不等式 (3)在(2)的条件下，若A种客车租金为每辆 (2k+1)x<2k+1的解集为x>1,求整数k 220元，B种客车租金为每辆300元，应该怎 的值. 样租车才最合算？ 6.定义：如果一元一次不等式①的解都是一元 一次不等式②的解，那么称一元一次不等式 ①是一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例 如，不等式x<一3的解都是不等式x<一1 的解，则x<一3是x<一1的“蕴含不等式” (1)在不等式x>1,x>3,x<4中，是x>2 的“蕴含不等式”的为 (2)若x>-6是3(x一1)>2x-m的“蕴含 不等式”，求m的取值范围。 (3)若x<-2n十4是x<2的“蕴含不等 式”，试判断x<一n十3是否为x<2的“蕴 含不等式”，并说明理由 104a-1>0解得a>1. a+2>0, ∴.a的取值范围是a>l. ②a-b=2,a>1, .a=b+2>1. .b>-1. .a+b>0 .a十b的取值范围是a十b>0. 专题特训十二不等式（组）的 应用 1.D2.8.5<x143.210x+ 90(15-x)≥20004.800 5.8解析：设他们共租了x辆公交 车.由题意，得0<234-30×(x- 1)<30,解得7.8<x<8.8.x为正 整数，∴.x=8.∴.他们共租了8辆公 交车 6.设宿舍有x间，则住宿生有(4x十 10)人 4x+10≥6(x-1)+1, 根据题意，得 {4x+106(x-1)+5, 解得5.5≤x≤7.5. x为正整数， .x=6或x=7. 当x=6时，4x+10=34; 当x=7时，4x十10=38. “.该班住宿生的人数为34或38. 7.(1)设B种图书的单价是x元，则 A种图书的单价是(x+5)元. 根据题意，得6(x十5)=7.x, 解得x=30. ∴.x+5=30+5=35. '.A种图书的单价是35元，B种图 书的单价是30元. (2)设购买y本A种图书，则购买 (70-y)本B种图书. 根据题意，得 35y+30(70-y)2225, 解阳9气52 又y为正整数， .y可以为24,25. .共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书、46本 B种图书： 方案2：购买25本A种图书、45本 B种图书. 8.(1)设购进甲种纪念品每个需要 a元，购进乙种纪念品每个需要b元. 40a+25b=1350, 由题意，得 20a+30b=1200, b=30, a=15. ∴.购进甲种纪念品每个需要15元， 购进乙种纪念品每个需要30元. (2)设购进甲种纪念品x个，则购进 乙种纪念 3000-15z个. 30 x≥3×3000-15z 30 根据题意，得 3000-15.x 30 >38, 解得120x<124. ·x为正整数， ∴.x=120,121,122,123. 当x=120时，30015x=40: 30 当x=121时，300015x=39.5,不 30 是整数，不符合题意，舍去： 当x=122时，300015x=39: 30 当x=123时，3000152=38.5，不 30 是整数，不符合题意，舍去」 ∴.该商店有2种进货方案。 (3)销售每个甲种纪念品可获利 润5元，销售每个乙种纪念品可获利 润6元， 由(2)，可知方案一：购进甲种纪念品 120个，购进乙种纪念品40个，则利 润为120×5+40×6=840（元）： 方案二：购进甲种纪念品122个，购进 乙种纪念品39个，则利润为122× 5+39×6=844(元). 840844, .方案二：购进甲种纪念品122个， 购进乙种纪念品39个，获利最大，最 大利润是844元. 9.(1)设购买键子的数量为x个，购 买沙包的数量为y个. 39 x+y+6=56, 由题意，得 5.x+3y+6×100=810, 解得30， y=20. ∴.5.x=150,3y=60. ∴.购买键子的数量为30个，购买沙 包的数量为20个，键子对应的金额为 150.00元，沙包对应的金额为 60.00元. (2)设购买键子m个，则购买沙包 (100-m)个 购买键子的数量多于43个， .m>43. 由题意，得5m+3(100一m)≤390，解 得m≤45. ∴.43<m≤45. 又，m为整数， ∴.m=44,45. .∴.100-m=56,55. ∴.有2种购买方案：①购买44个毽 子，56个沙包，共花费5×44+3× 56=388(元)： ②购买45个键子、55个沙包，共花费 5×45+3×55=390(元). 388<390, .最低费用为388元. 第十一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式]由题意，可得快餐中所含脂 肪的质量是500×5%=25（克）， 设这份快餐中所含矿物质的质量为 x克，则所含蛋白质的质量是4x克. 由题意，得500-25-上≤5%，解得 500 x≥50. :所含碳水化合物的质量为500一 25-x-4x=(475一5.x)克， .当x=50时，475-5x取得最大 值，最大值为225. ∴.所含碳水化合物最多有225克. 典例2(1)当k=-2时，1一k= 1-(-2)=3, x>-1, .不等式组为 x3. .不等式组的解集为一1<x≤3. (2)不等式组的解集是一1< x4, .1一k=4,解得k=一3. (3)由x>一1，可知当不等式组有 3个整数解时，不等式组的整数解为 0,1,2, 又x≤1-k, ∴.2≤1一k<3,解得-2<k≤-1. 方法归纳 不等式（组）含参问题的解答技巧 1.解含参数的一元一次不等 式（组）时，要抓住两条主线：将参 数当成数，或将参数当成主元. 2.注意讨论参数的取值范围 [变式]D解析：由2(x-1)十a 1,可得x=3,4,:方程2(x-1D十 2 u=1的解为非负数322≥0，解 得a≤3.由不等式组，可得-2<y≤ a,,一元一次不等式组至少有3个 整数解，∴a≥l..1≤a≤3..a可 以取得的整数为1,2,3.∴.所有符合 条件的整数a的和为1+2+3=6. 典例3（1)记x+2y=8-m@: ,2.x+y=m+7①， 由①×2-②，得3.x=3m十6，解得 x=m+2. 把x=m十2代人①，得2(m+2)+ y=m+7,解得y=3-m. x=m+2, ∴.方程组的解为 y=3-m. m+2>0, 依题意，得 解得一2<m< 3-m>0, 3,即m的取值范围是一2m<3. (2).-2<m3, ∴.√(m-3)2+m+2|=3-m+ m+2=5. [变式](1)记 x+2y=3m+1①， xy=m-2②. 由①-②，得3y=2m十3，解得 y=2m+3 3 将y=2m,+3代人@，得x=5m,3 3 3 5m-3 I= 3 ∴.方程组的解是 2m+3 y= 3 (2)x为负数，y为正数， (5m-3∠0 3 3 3 2m+3>0, 解得一2 <m< 、3 即实数m的取值范围是一 3 2 3 m∠5 3 .m十2>0，m-1<0. ∴.m+2|+m-1=m+2+1- m=3. [综合素能提升] 1.A2.C 3-2z10, 4 3 3.4解析：记 解 x-m<2@ 不等式0，得x>总解不等式②，得 x≤3m,+2,:不等式组有且只有 7 2个整数解，∴.该不等式组的解集为 ∠≤ 10 3m+2,且这2个整数解为2 7 和3..3≤3m,十2<4，解得 7 ≤m< 等：m=2 吕<整 6 数n的值为4. 4.586解析：设检票口有x人等候 检票.由题意，得 2×15×(20-1)x2×15×20, 3×15×(14-1)<x3×15×14, 解得585<x600.∴.检票口至少有 586人等候检票. /2x-3y=-2①， 5.(1)记 x-2y=k②. 由①-②，得x-y=-2-k x-y<0, ∴.-2-k<0,解得k>-2. (2)·不等式(2k+1)x<2k+1的 解集为x>1, 40 2次+1<0，解得<-子 又>-2， .k的取值范围是一2<k< ∴.整数的值为-1. 6.(1)x>3 (2)解不等式3(x-1)>2x-m,得 x>3-m. x>-6是3(x-1)>2x-m的 “蕴含不等式”， '.3-m一6，解得m≥9. (3)x<-n十3是x<2的“蕴含不 等式” 理由：由题意，得一21十42，解得 n≥1. .-n+3≤2. ∴.x<-n十3是x<2的“蕴含不 等式” 7.(1)设原计划租用A种客车x辆， 则这次研学去了(45.x+30)人. 根据题意，得45.x+30=60(x-6), 解得x=26, ∴.45x+30=45×26+30=1200. ∴.原计划租用A种客车26辆，这次 研学去了1200人」 (2)设租用B种客车y辆，则租用 A种客车(25-y)辆. 根据题意，得 45(25-y)+60y≥1200， y≤7， 解得5≤y≤7. 又y为正整数， .y可以为5,6,7. ∴.该校共有3种租车方案， 方案1：租用5辆B种客车，20辆 A种客车： 方案2：租用6辆B种客车，19辆 A种客车： 方案3：租用7辆B种客车，18辆 A种客车 (3)选择方案1的总租金为300×5+ 220×20=5900(元)： 选择方案2的总租金为300×6+ 220×19=5980(元)： 选择方案3的总租金为300×7+ 220×18=6060(元) .59005980<6060, ∴.租用5辆B种客车，20辆A种客 车最合算， 综合与实践低碳生活 1.B解析：设购买新设备x套.根据 题意，得3+3×70%(x一1)<3X 80%x,解得x>3,即该公司在购买相 同数量新设备的情况下，要使第一种 方案的优患多，至少需要购买新设备 4套. 2.9 3.22解析：设小明答对了x道题， 则答错或不答(25一x)道题.依题意， 得4x一(25一x)≥85，解得x≥22. .小明至少答对了22道题 4.(1)摩卡：小杯每毫升的价格为 32-21 300=0元)，大杯每毫升的价格 为35-5、1 45015(元)： 美式：小杯每毫升的价格为24一2 300 元)，大杯每毫升的价格为 11 41-512 450=50(元)： :1、12 150150 .顾客反映的是美式咖啡 (2)易知摩卡咖啡在自备容器后大杯 每毫升价格都比小杯便宜， 设针对大杯自备容器顾客每杯优惠 x元 根据题意，得1一<山 4501501 解得x>8, x为整数， x最小取9. '.针对大杯自备容器顾客每杯至少 优惠9元， 5.设购进电视机x台，则购进洗衣机 x台、购进空调(40一2.x)台 根据题意，得 (5000x+2000x+2400(40-2x)118000, 40-2x≤3x, 解得8≤x10. .共有3种进货方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机 8台，空调24台： 方案二：购进电视机9台，洗衣机 9台，空调22台 方案三：购进电视机10台，洗衣机 10台，空调20台. 第十二章数据的收集、 整理与描逃 12.1统计调查 第1课时全面调查 1.B2.12 3.这个广告语不合适 理由：全面检查灯泡的使用寿命，具有 破坏性，不适合（合理即可）. 4.B 5.86.4°解析：由题图，可知总人数 为20÷40%=50，则选择类别B的学 生人数为50-10-8-20=12..类 别B所对应扇形的圆心角的度数为 360°×-86.4. 50 6.(1)200. (2)由题图①，知希望彻底禁烟的有 82+24=106(人)，选其他的有29+ 9=38(人). ∴.希望建立吸烟室的人数为200 106-38=56. (3)56-16=40(人)， 如图所示 人数口不吸烟者☐吸烟者 100 82 80 60 40 40 24 29 20- 16 mm m 04 彻底 建立 其他禁烟 禁烟 吸烟室 类别 (第6题， 7.(1)a=100-(10+40+30)=20. ,软件总利润为1200÷40% 3000(万元)， ,'.m=3000-(1200+560+ 280)=960. 41 (2)由(1)，知网购软件的人均利润为 960 20×30% =160(万元)，视频软件的 560 人均利润为20X20%=140(万元). (3)能 网购与视频软件研发与维护的总人数 为20×(30%+20%)=10. 设调整后网购软件的研发与维护人数 为x,视频软件的研发与维护人数为 10-x. 根据题意，得1200+280+160x+ 140(10一x)=3000+60,解得x=9, 即安排9人负责研发与维护网购软 件，安排1人负责研发与维护视频软 件可以使得总利润增加60万元. 第2课时抽样调查 1.D 一方法归纳 选择抽样调查的情境要求 ①当被调查的对象数目较多 时，全面调查的工作量较大，可选 择抽样调查：②当客观条件限制 无法对所有调查对象进行全面调 查时，可选择抽样调查；③当调查 具有破坏性时，可选择抽样调查. 2.C3.④4.2470kg5.B 6.B 7.(1)90. (2)参加C社团活动的学生有90 30-10-10-18=22(名) 补全条形图如图所示 (3)120° (4)300名 人数 40 30 30 22 2 社团 04 A BC D E活动 (第7题) 8.(1)小东的调查结果较好地反映了 该校七年级同学选修地理学科的意向. 理由：小丽仅调查了一个班的同学，样 本不具有随机性： 小明只调查了10名地理课代表，样本