第10章 专题特训10 二元一次方程组的应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 专题特训十二元 类型一和差倍分与配套问题 1.(2024·临沂期末)某车间有60名工人生产太 阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架 50个.应如何分配工人生产镜片和镜架，才能 使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名 工人生产镜架，则可列方程组为 x+y=60, x+y=60, A. B. 2×200x=50y 200.x=50y x十y=60, |x+y=50, C. D. 200x=2X50y 200x=2×50y 2.(2024·池州三模)每年的5月20日是中国 学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包 括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物.小明 根据专家的建议为自己搭配了一份400g的 营养早餐，蛋白质总含量占10%，包括一个 谷物面包、一个鸡蛋和一盒牛奶.他查阅了相 关资料，蛋白质含量如下表： 食物 谷物面包 鸡蛋 牛奶 蛋白质含量占比 14% 13% 7% 其中一个鸡蛋60g,则小明这份营养早餐中 需要谷物面包 g,牛奶 8. 类型二几何图形与图文信息问题 3.新考向·数学文化幻方的起源与我国古代的 “河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻 方的最早形式.现将9个不同的整数填入如 图所示的方格中，使得每行、每列、每条斜对 角线上的三个数之和都相等，则a和b的值 分别是 4b-2 12 2a+1 7 36-3 2a (第3题) A.-4,3B.-4,-3C.4,3 D.4,-3 78 拍照批改 次方程组的应用，“答案与解析”见P30 4.某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图①所 示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正 方形的边长相等)加工成如图②所示的竖式 与横式两种无盖的长方体纸箱（加工时接缝材 料不计).若该厂购进正方形纸板1000张，长 方形纸板2000张，问：竖式纸箱、横式纸箱各 加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 横式 (第4题) 类型三经济生活与行程问题 5.甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m,那么甲 跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s,那么 甲跑3s就能追上乙.设甲每秒跑xm,乙每 秒跑ym,则可列出的方程组是 () 4x=4y+8, 4x+8=4y, A. 3x=3y+y 3.x-3y=1 4x=4y+8, 4.x-4y=8, C. D. 3.x-1=3y 3x-y=y 6.某旅行团组织游客到游乐区参观， 所有游客都从下表所列的两种参观 方式中选择了一种，其中去程有答案讲解 26人搭乘缆车，回程有18人搭乘缆车.若本 次搭乘缆车的总费用为7200元，则这个旅行 团一共有 名游客. 参观方式 搭乘缆车费用 去程及回程均搭乘缆车 300元 单程搭乘缆车，单程步行 200元 7.(2024·厦门期中)如图，某工厂与 A,B两地有公路、铁路相连.这家工 厂从A地购买一批每吨1000元的答案讲解 原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运 到B地.已知公路运输费为1.5元/（吨·千 米)，铁路运输费为1.2元/（吨·千米），这两 次运输共支出公路运输费15000元，铁路运 输费97200元. (1)设工厂制成运往B地的产品x吨，工厂 从A地购买了y吨原料，求这批产品的销售 款比原料费和运输费的和多多少元， (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往 B地的产品一共20吨.若要增加c吨的产 品，就晏再购买。吨原料，此时产品的销售 款与原料费之差为65000元，同时满足原料 总质量是产品总质量的3倍，求c的值， 铁路120km A 、公路10km 工厂 B-- 铁路110km 公路20km (第7题) 类型四盈不足与方案选择 8.(2024·娄底期末)我国古代《孙子算经》中记 载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共 车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几 何？其大意如下：若3人乘1辆车，则空2辆 车；若2人乘1辆车，则有9人要步行.求有 多少人和多少辆车.有下列方程、方程组： ①设有x辆车，列方程为3(x一2)=2x+9; 第十章二元一次方程组 @设有y人，列方程为号+2”：圆设 y=3(x-2), 有x辆车，y人，列方程组为 2x=y+9; |x=3(y-2), ④设有x人，y辆车，列方程组为 2y=x-9. 其中，正确的有 A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④ 9.(2025·永州新田期末)某果园要将 一批水果运往该县城一家水果加工 厂，分两次租用了某物流公司的A,答案讲解 B两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 A型货车数量/辆 2 1 B型货车数量/辆 1 2 累计运货量/吨 10 11 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型货车和1辆B型货车都载满货 物，一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有31吨水果，计划同时租用 A型货车a辆，B型货车b辆，可一次运完这 批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该 果园设计租车方案， (3)在(2)的条件下，若A型货车每辆需租金 100元/次，B型货车每辆需租金120元/次， 请选出最省钱的租车方案，并求出最少租 车费. 792块，用111张板材裁切靠背板9块 和座板6块。 设用c张板材裁切靠背板23块和座 板2块，用d张板材裁切靠背板16块 和座板4块， 根据题意，得 (23c+16d=2×700-10, 2c+4d=700 c=一94， 解得 (不合题意，舍去) {d=222 综上，需要购买该型号板材128张，用 其中34张板材裁切靠背板16块和座 板4块，用94张板材裁切靠背板9块 和座板6块或需要购买该型号板材 128张，用其中17张板材裁切靠背板 23块和座板2块，用111张板材裁切 靠背板9块和座板6块 -------- ----10cm 40cm 240cm ① 10cm 40 cm 240cm ② (第8题) 第3课时实际问题 与二元一次方程组(3) 2.5.x+2y=20, 1.B2. x+y+11=20 3.(一10,7)解析：设每张长方形纸 片的宽为x,长为y.由题意，得 y一x=3, 解得《 2x+y=9, =2:点B的 y=5. 横坐标为一2×5=一10，纵坐标为 2+5=7..点B的坐标为（一10,7）. 4.设A超市去年“春节”期间的销售 额为x万元，B超市去年“春节”期间 的销售额为y万元. 根据题意，得 x+y=150 (1+15%)x+(1+10%)y=168, x=60, 解得 (y=90. .(1+15%)×60=69(万元)，(1+ 10%)×90=99(万元). ∴.A超市今年“春节”期间的销售额 为69万元，B超市今年“春节”期间的 销售额为99万元. 5.A解析：设普通火车的平均速度 为xm/min,城际快车的平均速度为 ym/min.由题意，得80x+20y= 120x.∴.y=2x.∴.城际快车的平均 速度是普通火车平均速度的2倍. 6.15解析：设A书籍的售价为 x元/本，B书籍的售价为y元/本.根 据题意，得 36x十25y=3495,解得 24.x+30y=3330, x=45, 设张老师购买A种打折书籍 y=75. m本，购买B种打折书籍a本，购买 B种原价书籍b本，则购买A种原价 书籍(4m-m一a一b)本.根据题意 可知45×0.6m+45(4m-m-a b)+75×0.6+75b=3150,整理，得 54m+10b=1050,b=105m. a,m,b,3m-a-b为非负整数， ..m为5的倍数，且3m>a+b或 3m=a十b.当m=5时，b=78(不合 题意，舍去)：当m=10时，b=51(不 合题意，舍去)：当m=15时，b=24: 当m=20时，b=一3（不合题意，舍 去.∴.张老师购买A种打折书籍 15本. 7.3750解析：设每个新轮胎报废时 的总磨损量为k,则安装在前轮的轮 胎每行驶1千米的密损量为与00安 装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损 ,人设一对新轮胎交换位置前 量为3000' 行驶了x千米，交换位置后行驶了 x十义=k, 5000'3000 y千米.由题意，得 ky kx 50003000 =k, 两式相知，得 3000 2k,∴.x十y=3750.∴.这对轮胎最 多可以行驶3750千米 8.(1)设每箱橘子干的进价为x元， 每箱调味品的进价为y元 30 /x+3y=204, 根据题意，得 (4x+2y=336, x=60, 解得 {y=48. ∴.每箱橘子干的进价为60元，每箱 调味品的进价为48元. (2)选择优惠一所需费用为60×12× 80%+10×48=1056(元)： 选择优惠二所需费用为12×60十 48×10-100=1100(元) :1056<1100, ∴.该商店选择优惠一购买更划算. 9.(1)由题意，得64a+126a=950, 解得a=5. (2)设纸盒装四季柚共包装了x箱， 编织袋装四季柚共包装了y袋. 8.x+18y=1000, ①由题意，得 解 64x+126y=7280, 得35， y=40. ∴.纸盒装四季柚共包装了35箱，编 织袋装四季柚共包装了40袋， ②由8x+18y=1000,可得x= 100018y=125-9y 8 4 由题意，得64×(125-兴-)十 126y=7280,解得y=40-32% 91 :x,y,b都是整数，且x大于或等于 0,y大于或等于0，b>0, .b=9,x=107,y=8. ∴.b的值为9. 专题特训十二元一次 方程组的应用 1.C 2.120220解析：设小明这份营养 早餐中需要谷物面包xg,牛奶yg根 据题意，得 x+y+60=400. 14%.x+7%y+60×13%=400X10%, 口=120：小明这份营养早餐 解得 {y=220. 中需要谷物面包120g,牛奶220g. 3.C解析：根据题意，可得 146-2+2a+1+2a=12+7+2a'解 3b-3+2a+1+12=12+7+2a, 得a4, b=3. 4.设加工竖式纸箱x个，加工横式纸 箱y个 根据题意，得 /x+2y=1000, (4x+3y=2000, x=200 解得 {y=400. ∴.加工竖式纸箱200个，加工横式纸 箱400个，恰好能将购进的纸板全部 用完 5.A 6.28解析：设这个旅行团有x名游 客单程搭乘缆车，单程步行，去程及回 程均搭乘缆车的有y名游客.根据题 200x+300y=7200, 意，得 解得 (26-y)+(18-y)=x, x=12, ∴.x+y=12+16=28,即这 y=16. 个旅行团一共有28名游客. 7.(1)依题意，得 1.5(20.x+10y)=15000, 1.2(110x+120y)=97200, {x=300, 解得 y=400. ..8000×300-400×1000一15000- 97200=1.8878×10(元). .这批产品的销售款比原料费和运 输费的和多1.8878×10元. (2)设原计划从A地购买的原料为 m吨，则送往B地的产品为(20-m)吨 根据题意，得 5c+m=3(c+20-m), sm(+20-m一1m(gcm）-6m 解得10， m=17. .c的值为10. 8.D 9.(1)设每辆A型货车、B型货车都 载满货物一次可分别运x吨、y吨. 根据题意，得 /2.x+y=10, x+2y=11, x=3, 解得 y=4. '.1辆A型货车载满货物一次可运 3吨，1辆B型货车载满货物一次可运 4吨， (2)由(1)，得3a+4b=31, a=3-46 3 a,b都是正整数， .当a=1时，b=7; 当a=5时，b=4; 当a=9时，b=1. .有3种租车方案 方案一：A型货车1辆，B型货车 7辆： 方案二：A型货车5辆，B型货车 4辆： 方案三：A型货车9辆，B型货车 1辆， (3)·A型货车每辆需租金100元/ 次，B型货车每辆需租金120元/次， ∴.方案一需租金：1×100+7×120= 940(元)： 方案二需租金：5×100+4×120= 980(元)： 方案三需租金：9×100+1×120= 1020(元). .1020>980>940, .最省钱的租车方案是方案一，租车 费用是940元. ∴.租A型货车1辆，B型货车7辆最 省钱，最少租车费为940元. *10.4三元一次方程组的 解法 x=30, 1.C2.B3.y=45, =36 4.(1)根据题意，得 a+b+c=0①， a-b+c=-2②， 4a+2b+c=7③. 由①十②，得a+c=-1④. 由③+②×2，得2a十c=1⑤. 由⑤-④，得a=2. 把a=2代人④，得2+c=一1，解得 c=-3. 把a=2,c=-3代人①，得2+b一 3=0,解得b=1. 31 .a,b,c的值分别为2,1，-3. (2)由(1)，得y=2.x2+x-3. 把x=-3代人，得y=2×(-3)2 3-3=12,即y的值为12. 方法归纳 运用消元法解三元一次 方程组的注意点 1.确定消去哪个未知数时，要 从整体考虑，一般选择消去后可以 使计算量相对较小的未知数 2.消去的未知数一定是同一 未知数，否则就达不到消元的 目的. 5.A解析：，方程组 {x=a, x-by+4x=1, 的解是 x-2by+32=3 y=1, 2=C, a-b+4c=1①， 由①-②，得 a-2b+3c=3②. b十c=一2，.b=一2一c.把b= -2-c代入①，得a-(-2-c)十 4c=1,.a+5c=-1.∴.a+b+ 6c=a+5c+b+c=-1-2=-3. 6.C解析：连接FI.由题意，得四边 形FGHI是格点四边形，S=4,N= 1,L=8,任意格点多边形的面积S= aN+bL十c.由题图中的格点三角形 ABC、格点多边形DEFGHI、格点四边 6b+c=2, 形FGHI,得3a+10b十c=7,解得 a+8b+c=4, a=1, b=7,S=N+2-1.将N 1 c=-1. 82,L=38代人，得S=82+2×38 1=100. 7.D解析：设每盒甲种礼盒的价钱 为x元，每盒乙种礼盒的价钱为 y元，小丁身上有之元.由题意，得 |2.x+5y=之+3①， 由（①+②）÷2， 5.x+2y=z-3②. 得=子x+y)③.由(0-②)÷3， 得y-x=2..y=x十2④.将④代