第10章 专题特训8 解二元一次方程组的消元技巧-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 拍照批改 专题特训八解二元一次方程组的消元技巧 。“答案与解析”见P26 类型一相同未知数系数之差的绝对值相等 4x+7y=222①， (2) 1.解方程组： x y 5x+6y=217②. 410-3②， 类型三整体消元 9x+3y=9①， 6.解方程组： 2.解方程组： 7x+5y=-1②. /3m-4n=7①， (1) (9m-10n+25=0②. 2 3.已知关于x,y的二元一次方程组 (x-y)+y=5①， 2x+5y=2, (2) 的解满足x一y=m一1，求 5 5x+2y=-12 3 2y 3(x-y)②. m的值. 类型四参数消元 当方程组中有一个方程a.x十by=c满足c=2ab 2025.x+2027y=6079①， 时，可设a.x=ab+abt(或a.x=ab-abt),by=ab 4.解方程组： 2027x+2025y=6077②. abt(或by=ab十abt),再利用另一个方程求t的值， 从而达到快速得解的目的. 7.解方程组： 2x+3y=12①， (1) 7x-17y=97②. 类型二常数项转化相同 5.解方程组： 7x-8y=22①， (1) 5.x+7y=70①， 3x-5y=11②. (2) 7x+3y=166②. 68 第十章二元一次方程组 类型五换元消元 小宇：通过观察可以发现，把第一个方程组中 8.解方程组： 的未知数x换成x十y,未知数y换成x一y 3(x+y)+2(x-y)=36, 就是第二个方程组了，因此第二个方程组中 (1) (x+y)-4(x-y)=-16. 的x十y的值就等于第一个方程组中x的 值，第二个方程组中的x一y的值就等于第 红十y=1再 一个方程组中y的值，所以得到一)=1。 求出它们的解就是第二个方程组的解. {z-4+x+5y=2, 何老师对两名同学的做法进行点评和表扬， 2 3 并指出小宇同学运用了数学中的“整体思想” (2) x-4y-(x+5y)=5. “代换思想“转化思想” 3 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下列 问题： (1)请按照小超的做法写出详细的解题过程. 2x-ay=6, (2)如果关于x,y的方程组 的 3x+by=28 2x+3y=3z+2y+2, x=6 2 5 解是 。那么关于x,y的方程组 (3) 3(2x+3y_2(3u+2y)+6. y= 2 5 2(x+2)-a(y-1)=6, 的解是 () 3(x+2)+b(y-1)=28 x=6, A. B. x=8, y=2 y=1 x=4, x=4, C D. 9.新考法·阅读理解题(2025·岳阳期末)数学 y=1 y=3 课上，何老师在讲解题目：“如果关于x,y的 a1x十y=c1, (3)已知关于x,y的方程组 3x-ay=16, a2x+y=c2 二元一次方程组 的解为 2x-by=15 x=5, 的解是 求关于x,y的方程组 x=7, y=10, y=1, 那么关于x,y的二元一次方程组 a1x+2y=a1十c1, 的解（其中a1c1,a2,c2 3(x+y)-a(x-y)=16, a2x+2y=a,+c> 的解是什么？”小 2(x+y)-b(x-y)=15 都为常数) 超和小宇同学的做法如下： x=7, 小超：先把，代入第一个方程组中求出 y=1 a,b;再把a,b的值代入第二个方程组中求 出它的解. 69x=1, y=2. 12. 59 2x-3y-2=0①， 13.记2x-3y+5+2y=9②. 7 由①，得2x-3y=2③， 将③代入@，得25+2y=9, 解得y=4. 把y=4代人③，得2x-3×4=2, 解得x=7. x=7, .方程组的解为 y=4. 14.3解析：①，T(x,y)=axy+ by-2,T(2,1)=5,T(-1,2)=0, ∴.2a十b-2=5,-2a+2b-2=0,解 得a=2,b=3.故①正确.②由①，可 知T(x,y)=2xy+3y-2,∴.T(m, n)=2mm+3n-2=1.∴.n(2m+ 3 3)=3.小=2m十3”m,n均取整 数，.2m十3=1或-1或3或-3.由 2m十3=1，解得m=-1,则n=3;由 2m十3=一1，解得m=-2,则n= 一3：由2m十3=3，解得m=0,则n= 1:由2m十3=-3，解得m=-3,则 n=一1.综上所述， m=-1或 {2=3 m=一2， m=-3, n=-3 或 故 =-1. ②正确.③由①，可知T(x,y)= 2.xy+3y-2,'.T(x,ky)=2kxy+ 3ky一2，T(y,kx)=2kxy+3kx-2. 当T(x,ky)=T(y,kx)时，2kxy+ 3ky-2=2kxy+3kx-2,..3ky= 3kx..3k(y-x)=0.又T(x, ky)=T(y,kx)对任意有理数x,y都 成立，∴.k=0.故③正确.综上所述， 正确的结论有①②③，共3个. 15.记/ry=50, 由①，得 ax+3y=b-1②. x=y+5③.将③代入②，得a(y+ 5)+3y=b-1,即(a+3)y=-5a+ b-1. (1)方程组有无数个解， a+3=0, /a=-3, 解得 -5a+b-1=0, b=-14. (2):方程组有唯一解， .a十3≠0，解得a≠-3，b为任意 实数 (3)·方程组无解， a+3=0, a=-3, 解得 -5a+b-1≠0， b≠-14 第2课时加减消元法 1.B2.C3.104.1 5.整理，得 3y-2x=1①， 4x+3y=1②， ②-①，得6.x=0, 解得x=0. 把x=0代人①，得3y-2×0=1, 1 解得y=3 x=0, ∴.原方程组的解为 1 y31 6.B 7.C解析：由①+②，得x+y十 mx-y=9+m,.x-y-9+m.x+ my-m=0..x-y-9+m(x+y- 1)=0.根据题意，这些方程有一个公 共解，∴.与m的取值无关 x-y-9=0, x=5, 解得 x+y一1=0， y=-4. x=5, ∴这个公共解为 y=-4. 8.1解析：，√/2x-3y+5十 (2x+3y-13)2=0, 2.x-3y=-5, 解得 x=2, 2x+3y=13, y=3. .2x-y=4-3=1. 9.由①+2×②，得7x2+28y2= 119, .x2+4y2=17. 10.(1)选择不唯一，如选择乙同学的 思路 (9m+8n=22k-13①， 记原方程组为 (8m+9n=10②， ①十②，得17(m+n)=22k-3. .m+n=5, '.17×5=22k一3，解得k=4. 26 x+3y=12-a①， (2)记方程组为 x-5y=3a②， 由①-②，得y=1.5-0.5a③. 把③代人①，得x=7.5+0.5a. .x+y=7.5+0.5a+1.5- 0.5a=9. ∴.不论a取什么实数，x十y的值始 终不变 11.(1)具有“邻好关系”. x+2y=7①， 理由：记 x-y=1②. 由①-②，得3y=6,解得y=2. 把y=2代人②，得x=3. .方程组的解为 /x=3, y=2. x-y=13-21=1, ∴.方程组的解x与y具有“邻好 关系” (2)记 2.x-y=6①， 4x+y=6m②. 由①+②，得6x=6m+6,解得x= m+1. 把x=m十1代人①，得y=2m-4. x=m+1, ∴.方程组的解为 {y=2m-4. ,x与y具有“邻好关系”， .|x-y=m+1-2m+4= -m+5|=1. '.5-m=士1. ∴.m=6或m=4. (3)存在 将方程组中两式相加，得(2+ a)y=12. a,x,y均为正整数， a=1,a=2, x=3,或{x=1. y=4 y=3. 易知只有当a=1时，x一y=1. x=3, ∴.a的值为1，方程组的解为 y=4. 专题特训八解二元 一次方程组的消元技巧 1.由②-①，得x-y=-5,即x= y-5③. 把③代人①，得4(y-5)+7y=222, 解得y=22. 把y=22代入③，得x=17. x=17, ∴.方程组的解为 y=22. 2.由①-②，得2x-2y=10,即x- y=5③. 由③×5+②，得12x=24,解得 x=2. 把x=2代入①，得18+3y=9,解得 y=-3. x=2, ∴.方程组的解为 y=-3. 2x+5y=2①， 3.记 5x+2y=-12②. 由②-①，得3.x-3y=-14. x-y=m-1, ÷.3(m-1)三14，解得m=一 :加的值为-吕 4.由①+②，得4052x+4052y= 12156,即x+y=3, .x=3-y③ 把③代人①，得2025(3-y)+ 2027y=6079,解得y=2. 把y=2代人③，得x=1. x=1, ∴.原方程组的解为 y=2. 5.(1)由②×2-①，得-x-2y=0, .x=-2y 将x=-2y代人①，得-14y 8y=22, .y=-1. 把y=-1代人x=-2y,得x=2, x=2, ∴.方程组的解为 y=-1 (2)原方程组可化为 后-六分® 告--@. 由@-@，得号器0，即- 把-岩代入@，得y， 20 16 .x3 16 I= 3 .方程组的解是 20 3 6.(1)由①×3，得9m-12m=21, .∴.9m=21+12③. 把③代人②，得21+12-101+25= 0,解得n=一23. 把n=-23代入①，得3m+92=7, 解得m=一 85 3 85 m=- .原方程组的解是 3 n=-23. 2 (2)由②×2，得6-5y=3(x-y), 号-0=6-® 把③代人①，得6-5y+y=5,解得 y4 把y=是代入®，得号x- =6 子解得号 -59 59 x 8 ∴.原方程组的解为 y=4 7.(1)由①，可设2x=6+6t,3y= 6-6t, .x=3+3t,y=2-2t. 将x=3+3t,y=2-2t代人②，得 7(3+31)-17(2-21)=97,解得 t=2. .x=3+3X2=9,y=2-2×2=-2. x=9, ∴.原方程组的解为 y=-2. (2)由①，可设5.x=35+35m,7y= 35-35m, .x=7+7m,y=5-5m. 将x=7+7m,y=5-5m代人②，得 7(7+7m)+3(5-5m)=166,解得 m=3. ∴.x=7+7×3=28,y=5-5X 3=-10. x=28, ∴.原方程组的解为 (y=-10. 8.(1)令x+y=m,x一y=1, 27 3m+2=36, .原方程组可化为 m-4n=-16, m=8, 解得 n=6. x+y=8, x=7, 解得 x-y=6, y=1. (2)令x-4y=a,x+5y=b, (a+b=2, 2+31 .原方程组可化为 -b=5, 3 a=6, 解得 b=-3. x一4y=6, （x=2, 。解得 x+5y=-3, y=-1. 3x十2y=, (3)令2x十3y=m,5 2 m=n+2, 原方程组可化为 解 (3m=2n+6, m=2, 得 n=0. (2x+3y=2, 8 2 x=- 5 解得 3x+2y=0, 12 5 y-5 x=7, 9.(1)将 ’代入 3x-ay=16, y=1 2x-by=15, 21-a=16, 得 14-b=15, a=5, 解得 b=-1. a=5, 将 代入 b=-1 3(.x+y)-a(x-y)=16, 并整理， 2(x+y)-b(x-y)=15, -2x+8y=16, 得 3.x+y=15, 解得4， y=3. (2)D. (3)第二个方程组可化为 {a1(x-1)+(2y)=c1, a2(x-1)+(2y)=c2, x-1=5, 2y=10, x=6, 解得 y=5.