第8章 实数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 拍照批改 第八章整合拔尖 “答案与解析”见P17 知识体系构建 平方根 定义。如果一个数x的平方等于a,即xa,那么这个数x叫作a的平方根 表示方法。±a 开平方。求一个非负数a的平方根的运算 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 算术平方根正数a有两个平方根，其中正的平方根ya叫作a的算术平方根 数 定义如果一个数x的立方等于a,即x=a,那么这个数x叫作a的立方根 立方根 表示方法。a 开立方。求一个数的立方根的运算 性质 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 实数及其简单运算 无理数 定义 无限不循环小数 无理数的主要形式 实数的分类 按定义分 有理数 正有理数 0 负有理数 无理数 正无理数 负无理数 按正负分 正实数 正有理数 正无理数 0 负实数 负有理数 负无理数 实数与数轴的关系 相反数与绝对值 实数的运算 91高频考点突破 考点一运用算术平方根的非负性求值 [变式](1)如果实数x,y满足y=√x一3十 典例1(2024·肇庆期末)若√1-3x和√y-27 √3一x十2，求2x+y的立方根」 互为相反数，则√xy的平方根是 (2)已知某正数的两个平方根分别是a一3和 40 第八章实数 2a+15,b的立方根是-2.求2 [变式](2025·揭阳揭西期末)已知a是64的 的平方根 立方根，2b-3是a的平方根，求。-40的算 (3)已知a-3+1x2-91=0,求+图 术平方根. 的值 考点三利用实数的性质计算或化简 典例3已知实数a,b,,d,e,f,且a,b互为倒 考点二利用平方根或立方根的定义计算 数，c,d互为相反数，e的绝对值为√2，f的算术 典例2(2025·宁波余姚期末)一个正数m的 平方根是8求号山++。+了的值 两个平方根分别是2a一1和一a+3.求： (1)m,a的值. (2)m一a的立方根. [变式]阅读材料： 大家知道√2是无理数，而无理数是无限不 循环小数，所以√2的小数部分不可能全部写出 来.由于√2的整数部分是1，将√2减去它的整数 41 拔尖特训·数学（人教版）七年级下 部分，差就是它的小数部分，因此√2的小数部分 (3)已知2一√6=m十n,其中m是整数，且0< 可用√2一1表示.由此我们得到一个真命题：如 n<1,求|m-n的值. 果2=x十y,其中x是整数，且0<y<1,那么 x=1,y=√2-1. 请解答下列问题： (1)如果6=a+b,其中a是整数，且0<b<1, 那么a= ,b= (2)如果-√6=c+d,其中c是整数，且0<d 1,那么c= ,d= 综合素能提升 1.有下列说法：①0.027的立方根是0.3； 5.已知1.5x为整数，且x是三位数，则满足题 ②(-5)2的算术平方根是-5；③√一2是一 意的x的值有 个 个负数；④0的相反数和倒数都是0；⑤如果 6.新考法·新定义题已知min{√无，x2,x}表 a是b的立方根，那么ab大于或等于0； 示取三个数中最小的数.例如当x=9时， ⑥已知a是实数，则Wa2=|a|;⑦全体实数 min{√x,x2,x}=min{√9,92,9}=3.当 和数轴上的点一一对应.其中，正确的个数是 mini,,)= ( 时的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知/1-2a和8b一2|互为相反数.求： 2.(2024·铜陵期中)已知x,y为实 (1)a,b的值 数，且满足√1十x一(y一1)· (2)18- √1-y=0,则x2023-y2023的值为 答案讲解 ab 的平方根 () A.2 B.-2C.1 D.1或2 3.新考法·新定义题对于实数a,b定义min{a, b}:当a小于或等于b时，min{a,b}=a;当 a>b时，min{a,b}=b.例如min{1, -2}=-2.已知min{√29，a}=a,min{J34, b}=√34，且a和b为两个连续的正整数，则 8.观察求算术平方根的规律，并利用这个规律 3a-2b的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 解决下列问题：√0.0001=0.01，√0.0I= 4.在，√2，√5，…，W√400，w√40I中，无理数的个 0.1,√1=1，√100=10，√/10000=100，…. 数为 (1)已知20≈4.47，求√2000的值 A.380 B.381 (2)已知3.68≈1.918，√a≈191.8，求a C.382 D.383 的值 42 第八章实数 (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 (1)求绣布的周长， n≈1.26，m≈12.6，用含n的式子表 (2)刺绣师傅想在这块绣布上裁出一块面 示m. 积为375cm2的完整的圆形绣布来绣花鸟 图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）. 9.将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出 11.我们规定：[a]表示不大于a的最 27个半径相同的小铁球（不计损耗），小铁球 大整数，<a>表示不小于a的最 小整数， 答案讲解 的半径是多少厘米提示：球的体积公式为 例如：[√4]=2，<√4>=2；[√5]=2， V-号R,其中R表示球的半径，V表示球 <5>=3. (1)计算：[√10]= ,<√10>= 的体积？ (2)若[√a]=1,求满足条件的所有整数a 的和. (3)若m=[√200]，n=<√26>，求m一 2n-1的平方根. 10.新考向·传统文化（2025·宿迁宿城期末) 《清秘藏》是明代工艺美术鉴赏著作，其中所 述的刺绣在我国经过长时间的发展，已经形 成了极高的工艺水平和独特的工艺门类.现 有一块长方形绣布，长、宽之比为4：3，面 积为588cm2. 431)3=(-2)3=-8. (2)3<√10<4， .√10的整数部分m=3,√10的小 数部分n=√0-3. .t=10, .t=√0或t=-√10. 当m=3,n=√/10-3，t=10时， 2m-n+t=6-(10-3)+ √10=9： 当m=3,n=√/10-3，t=-/10时， 2m-n+t=6-(√10-3)-√10 9-210」 ∴.2m-n十t的值为9或9-2√/10. 专题特训三实数的 非负性 1.A 2.(2a-1)2+(b+4)2=0, .2a-1=0,b+4=0,解得a=2, b=-4. .(ab)= √4=2. 3.B4.C 5.x-3+√y+3=0, ∴.x-3=0,y+3=0. .x=3,y=-3. (》-（）-1 6.-6 7.由题意，得x-1=0,y十3=0，x十 y十x=0,解得x=1,y=-3,之=2. .4x-2y+3x=4×1-2×(-3)十 3×2=4+6+6=16. .4x-2y十3z的平方根是士4. 方法归纳 “几个非负数的和为0”的 问题的解决方法 目前学过的典型的非负数有 a2,b,W三种，根据非负数的性 质，可知若几个非负数的和为0，则 每一个非负数均为0，即若a2十 b+c=0,则a2=0,|b=0, c=0. 8.由题意，得一a2大于或等于0. 又a2大于或等于0， .a=0. .√a+4+√9-3a+√-az=2+ 3+0=5. 9.由题意，得x2一4大于或等于0且 4-x2大于或等于0， x2=4 ∴.x=土2 .y=3. ∴.2x+y=7或-1. 专题特训四实数的 估算与规律探究 1.B解析：√4<√7<√，∴.2< √7<3..-3<-√7<-2..2< 5一√7<3.∴.表示数5一√7的点P落 在线段CD上 2.(1)-4(2)63.(1)> (2)>4.<5.0.7071 -0.0061376.(1)3(2)255 7.(1)根据题意，得√5一 5 5 52 6 (2) 举例不唯一，如 /6 37 6×37-6 /6×36 6 91 37 =637 得到一般性规律为 n2+1 ”(n为正整数). nn2+1 第八章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1士√ [变式](1)由题意，得x-3大于或 等于0,3-x大于或等于0， ∴.x一3=0，解得x=3,则y=2. ∴.2x+y=8. 8的立方根是2， .2x十y的立方根为2. (2)由题意，得a一3+2a+15=0, 解得a=一4. b的立方根是一2， .b=-8. 17 b。/-40X-8=4. 2 ,4的平方根是士2， ab ·√2的平方根是士2 (3)√x-3y+x2-9=0, ∴.x-3y=0,x2-9=0. .x=3,y=1或x=-3,y=-1. :3 √Ty =6或0. 典例2(1)由题意，得2a-1+ （-a十3)=0，解得a=-2, ∴.2a-1=2×(-2)-1=-5. .(-5)2=25. .m=25. (2),m-a=25-(-2)=27,27的 立方根为3， .m一a的立方根为3. [变式]a是64的立方根， .a=4. 2b-3是a的平方根， .2b-3=士2. 6=或6= 当a=4,6=号时，a-46=里× 4 4-4×号=11-10=1： 当a=4,6=2时，号a-46=是× 4 1 4-4×2=11-2=9. 是。-46的算术平方根为1或3 典例3由题意，可知ab=1,c+d 0,e=±√2，f=64, .e2=(士2)2=2，F=64=4. h++e+订合+0叶 1 1 5 2+4=62 [变式](1)2：W6-2. (2)-3:3一√6. (3)-3<-6<-2, .-1<2-√6<0. 2-√6=m十n,其中m是整数，且 0n<1, .m=-1,n=3-√6. ∴.|m-n=|-1-3+√61=|-4+ √61=4-√6： [综合素能提升] 1.B 2.B解析：√1十x-(y一1)· √1-y=0,.W1+x+(1-y)· √1-y=0.∴.1+x=0,1-y=0,解 得x=-1,y=1..x2023-y203 (-1)23-1223=(-1)-1=-2. 3.C 4.B解析：在，w2,W3,…,√400， √40I中，有理数有，√4，，…， √400，即整数1至20的平方的算术 平方根都是有理数，共有20个.∴.无理 数有401一20=381（个）. 5.8 6.4 解析：①当min{E,x2,x}= 匠=6时，x=,“26< 6,此情况不合题意.②当 min反，x2,x}=x=6时，x2= 26:6<6…此情况不合题 1 意.③当minE,x2,x}=x2=6 1 .1 时，八x大于或等于0，x=, 后-名“<日此情况 1 符合题意.·x=4 7.(1),√/1-2a和8b-2互为相 反数， ∴.√1-2a+|8b-21=0. .1-2a=0,8b-2=0. 1 1 a=2b=4 31 2)当a6=时，18-√品 18-8=18-2=16. &18二√的平方根是±西 ±4. 8.(1)根据题中规律，：√20≈ 4.47, .√2000≈4.47×10=44.7. (2)根据题中规律，191.8= 1.918×100, .Wa≈√3.68×10000=/36800 .'.a=36800 (3)根据题中规律，，·1.26×10= 12.6, ∴.9/1000=9m. .'.1000n=m,即m=1000m 9.设小铁球的半径是xcm,则27× 4 专x=音X]2,解得x=4 ∴.小铁球的半径是4cm. 10.(1)设绣布的长为4xcm,宽为 3x cm. 根据题意，得4x·3.x=588, 即12x2=588, .x2=49. x>0, .x=7. ∴.绣布的长为28cm,宽为21cm,其 周长为2×(28+21)=98(cm). (2)不能够裁出来！ 理由：设完整的圆形绣布的半径为 r cm. 根据题意，得r2=375, .r2=125. r>0, .r=√125」 .·125>√/121=11， ∴.2r>21. .不能够裁出来。 11.(1)3:4. (2)由题意，可知1<a<4或a=1, 且a为整数， .a=1或a=2或a=3. 1+2+3=6, ∴.满足条件的所有整数a的和为6. (3).·14√/20015,5√266， '.m=14,n=6. 18 .∴.m-2n-1=1. .土√=士1， .m-21一1的平方根为士1. 第九章平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内 点的位置 1.D2.B3.D4.四 5.(2,75) 6.(1)点P(2x-1,3x)在y轴上， .2x-1=0. 1 小.x=2 (2):点P(2x-1,3x)在第一象限， .点P到x轴的距离为3x,到y轴 的距离为2x-1. 点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴.3x+2x-1=9. .x=2. .2x-1=3,3x=6. .点P的坐标为(3,6) (3),点P(2x一1,3x)到两坐标轴 的距离相等， ∴.2x-1=3.x或2x-1=-3x. “x=-1或x=号 .点P的坐标为（一3，一3）或 (是) 7.B 8.A解析：A(1,2),B(-1,2), D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2), ,'.易得图形ABCDEFGHP的周长 为20.2023÷20=1013，∴.易 得细线另一端所在位置的点的坐标是 (-1,1). 9.A解析：如图，分别过点A,B作 y轴的垂线，垂足分别为E,F A(2,m),B(-3,),C(0,-2), .AE=2,BF=3,OC=2.易知当 CD⊥AB时，CD的长有最小值.由 S三角无AC一S三角形A0C十S三角死C,得 2AB.CD=2×2X2+2×2X3, 即AB·CD=10.,AB=10,