9.5相似三角形判定定理的证明同步练习2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级数学下册

第九章·图形的相似 *5相似三角形判定定理的证明 夯基础 1.如图,点 E 为矩形ABCD边CD 延长线上一点,BE 交 AD 于点 G,AF⊥BE 于点 F,则图中与△EDG 相似的三角形共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图,在矩形 ABCD中,AB=3,BC=4,DE⊥AC 交AC 于点F,交 BC 于点E,则线段 DF 的长是( ) A.2.4 B.2.5 C.3 D.4 3.如图，在钝角三角形ABC 中,AB=3cm,AC=6 cm,动点 D 从点A 出发沿AB 以 1 cm/s 的速度向点 B运动，同时动点 E 从点 C 出发沿 CA 以2cm /s的速度向点 A 运动,当以 A,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是 ( ) A.3s 或4.8s B.3s C.4.5s D.1.5s 或2.4s 4.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,有三个正方形 CDEF,DGHK,GRPQ,它们分别是△ACB,△EDB 和△HGB 的内接正方形,EF=10 cm,HK=7 cm，则第三个正方形的边长 PQ 的长为( ) A.4 cm B.5cm C.4.5cm D.4.9 cm 5.如图,在等边△ABC中,点 D,E 分别是边 AB,BC 上的动点,且BD=2CE.以 DE 为边作等边△DEF,使点A 与点 F 在直线 DE 同侧,DF 交 AC 于点G,EF 交AC 于点 H,给出下面四个结论:①∠BED=∠AHF ②AD·DF=BE·DG ③若 ED⊥AB,则 DF⊥AC ④若CE : BE=1: 2,则四边形 DBEF 是菱形.上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 6.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形.如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”,△ACD 为等腰三角形,△CBD 和△ABC 相似,∠A=46°,则∠ACB 的度数为 ( ) A.113° B.92° C.113°或 92° D.92°或134° 7.如图,点 C 在∠AOB 的内部,∠OCA=∠OCB,∠OCA 与∠AOB 互补.若AC=1.5,BC=2,则OC= . 8.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,点 E 在 AC 上,AB=9,AD=6,AE=4,∠BAC=50°,则∠CDE= . 9.如图,在▱ABCD 中,点 E 在AB 上,CE,BD 交于点F,若 AE:BE=2:1,且BF=2,则DF= . 10.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,B,C,E 在同一条直线上,且∠D=∠CAE.若AC=12,CE=8,则 BD 的长度为 . 11.如图,□ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,CE 平分∠BCD 交AB 于点E,交 BD 于点 F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①EO⊥AC②S△AOD =4S△OCF 其中正确的结论有 .(填序号) 12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为 D，F 为线段CD 延长线上一点,连接AF 并延长至点E,连接CE,BE,且 (1)求证: (2)请判断△AEB 的形状，并说明理由. 13.如图，在平行四边形ABCD 中,过点 D 作DE⊥BC,垂足为 E,连接 AE,F 为线段 AE 上一点,且∠DFE=∠C. (1)求证: (2)若 AB=5,AD=4 ,DE=4,求 DF的长. 练能力 14.如图1，先把一张矩形纸片ABCD 上下对折，设折痕为 MN；如图2，再把点 B 叠在折痕线上，得到△ABE，过点 B 向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得折痕 PQ. (1)求证:△PBE∽△QAB; (2)你认为△PBE 和△BAE 相似吗? 若相似，给出证明；若不相似，请说明理由； (3)延长 EB 交AD 于点 H,请直接写出△AEH 的形状为 . 1. C 2. A 3. D 4. D 解析:∵PQ∥HK,∴∠QPH=∠KHE.又∵∠PQH=∠HKE=90°, ∴△QPH∽△KHE, ∴QP:KH=QH: KE,设正方形GRPQ 的边长为x cm. 又∵正方形CDEF 的边长为10 cm,正方形DGHK 的边长为7 cm, ∴x:7=(7-x):3,解得x=4.9. 5. D 6. C 解析:∵△BCD∽△BAC, ∴∠BCD=∠A=46°. ∵△ACD 是等腰三角形,∠ADC>∠BCD, ∴∠ADC>∠A,即AC≠CD. ①当 AC = AD 时,∠ACD =∠ADC = ②当DA=DC 时,∠ACD=∠A=46°, 7. 8.25°9.6 10,18 11.①③④ 12.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ADC=∠ACB=90°, ∵∠CAD=∠CAB, ∴△ADC∽△ACB, (2)△AEB 是直角三角形,理由如下： ∴AE·AF=AD·AB, ∵∠FAD=∠BAE, ∴△FAD∽△BAE, ∴∠ADF=∠AEB. ∵CF⊥AB, ∴∠ADF=90°,∴∠AEB=90°, ∴△AEB 是直角三角形. 13.解:(1)证明:∵在平行四边形 ABCD 中,过点 D 作 DE⊥BC, ∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD, ∴∠DAE=∠AEB,∠B+∠C=180°. ∵∠DFE=∠C,∠AFD+∠DFE=180°, ∴∠B=∠AFD, ∴△ADF∽△EAB, (2)在 Rt△AED 中, 由勾股定理，得 ∵△ADF∽△EAB, 解得 14.解:(1)证明:∵∠PBE+∠ABQ=90°,∠PBE+∠PEB=90°, ∴∠ABQ=∠PEB. 在△PBE 与△QAB 中, ∵∠ABQ=∠PEB,∠BPE=∠AQB=90°, ∴△PBE∽△QAB; (2)△PBE 和△BAE 相似. ∵△PBE∽△QAB, ∵BQ=PB, 又∵∠EPB=∠EBA=90°, ∴△PBE∽△BAE; (3)在△PBE 和△QBH 中, ∴△PBE≌△QBH(ASA),∴BE=BH. ∵AB⊥EH, ∴AE=AH,∠EAB=∠HAB=30°, ∴∠EAH=60°, ∴△AEH 是等边三角形;故答案为：等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $