考向4 有关等腰三角形的推理探究题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拍照批改 考向四 有关等腰三 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点 O在边BC上运动（不与点B,C重合），点D 在线段AB上，连接AO,OD.当点O运动 时，始终满足∠AOD=∠B. (1)当OD∥AC时，判断△AOB的形状，并 说明理由 (2)在点O的运动过程中，当△AOD的形状 是等腰三角形时，请求出此时∠BDO的度数. 0 (第1题) 期末压轴题特训 三角形的推理探究题，“答案与解析”见P43 2.已知线段AB⊥直线L于点B,点D 在直线L上，分别以AB,AD为边， 向右作等边三角形ABC和等边三答案讲解 角形ADE,直线CE交直线l于点F, (1)如图①，当点F在线段BD上时，试说 明：DF=CE一CF (2)当点F在线段BD的延长线上时，如图 ②；当点F在线段DB的延长线上时，如图 ③.请直接写出线段DF,CE,CF之间的数 量关系，不需要说明理由 (3)在(1)(2)的条件下，若BD=2BF,EF 6,则CF= ② 0 ③ (第2题) 115 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 考向五 图象中信 1.快车、慢车分别从A,B两地同时出发，相向 而行.快车到达B地后，停留3min卸货，然 后原路原速返回A地，慢车到达A地即停运 休息，如图所示为两车之间的距离y(km)与 行驶时间x(min)之间的关系.a,b的值分 别为 ( ↑y/km Q D H 18 3033a 63x/min (第1题) A.39,26 B.39,26.4 C.38,26 D.38,26.4 2.如图①，在长方形ABCD中，AB= 6cm,AD=10cm,点P从点B出 发，沿BA→AD→DC→CB方向运答案讲解 动，到点B停止，as前点P的速度为2cm/s, as后点P的速度为kcm/s,如图②所示为 点P出发ts后△ABP的面积S(cm)与 t(s)的关系 (1)a= ,b= k= (2)设点P离开点B的路程为ycm,求y与 t之间的关系式， (3)当点P出发多少秒后，△ABP的面积为 20cm? 30S/em 12 3a6.5bt/ ① ② (第2题) 116 拍照批改 息的获取与应用 “答案与解析”见P44 3.某校与部队联合开展红色之旅研学 活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车 从营地出发，同时学校师生乘坐大答案讲解 巴从学校出发，沿公路（如图①）到基地进行 研学.上午8：00，军车在离营地60km的地 方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官 兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速 前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴 离营地的路程s(km)与所用时间t(h)之间 的关系如图②所示，a(h)表示部队官兵和学 校师生到达基地所用的时间.求： (1)大巴离营地的路程s(km)与所用时间 t(h)之间的关系式及a的值 (2)部队官兵在仓库领取研学物资所用的 时间. s/km 100f 仓库 80 60 基地 20 学校 营地 0 a i/h ① ③ (第3题)所以∠3+90°-∠2=75 所以∠2-∠3=15. (3)∠2=3∠3. 理由：由(2)，知∠2-∠3=15. 因为CQ平分∠ACB, 所以∠BCQ=∠ACQ=22.5°. 因为n, 所以∠2=∠ACQ=22.5. 所以∠3=7.5. 因为22.5°÷7.5°=3， 所以∠2=3∠3. D m B(F) 3---- G 4入 2 (第2题) 考向三有关全等三角形的 推理探究题 1.(1)如图①，延长AE交BC于点 F,则∠AEC=∠FEC=90. 因为CD平分∠ACB, 所以∠ACE=∠FCE. 又因为CE=CE, 所以△ACE2△FCE 所以∠EAC=∠EFC=63. 因为∠EFC=180°-∠AFB= ∠B+∠DAE, 所以∠DAE=∠EFC一∠B=63°- 37°=26. (2)如图②，延长BE,CA交于点F, 则∠BAF=180°-∠BAC=180°- 90°=90° 因为BE⊥CD 所以∠BED=90°=∠BAC. 因为∠ABF+∠BED+∠BDE= 180°，∠ACD+∠BAC+∠ADC= 180°，∠BDE=∠ADC, 所以∠ABF=∠ACD. 又因为AB=AC, 所以△ABF≌△ACD. 所以BF=CD. 同理于(1)，易得△BEC≌△FEC, 所以BE=FE=合BE 所以BE=CD. (3)如图③，延长AD交BC于点E. 同理于(1)，易得△ADC≌△EDC, 所以AD=ED,EC=AC=10米， S△ACD=S△D: 因为S△Ax=20平方米，BC=13米， _10 SAAI-13 所以S△ACR=13氵 0×20= 13平方米). 200 100平方米 所以SAn=2S△AcR=13 ③ (第1题) 2.(1)SSS;ASA (2)①∠CBA;∠CAB;全等三角形 的对应边相等 ②所以△CAE的面积=△ECF的 面积. 因为△ACB≌△FCB, 所以△ACB的面积=△FCB的面积 因为△CBE≌△CAD, 所以△CBE的面积=△CAD的 面积. 所以△ECF的面积=△CDB的 面积 所以△CAE的面积=△CDB的 面积 (3)因为AC=BC=6, =1×6X6=18. 所以S△Ae=2 因为D是线段AB的三等分点， 43 所以Sr=专Sa=6或 Sx=3S△AC=12. 由(2)，知S△cE=S△mx, 所以S△c4E=6或12. 考向四有关等腰三角形的 推理探究题 1.(1)△AOB为直角三角形. 理由：因为AB=AC,∠B=30°， 所以∠C=∠B=30°. 所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 120. 因为OD∥AC,∠AOD=∠B=30°， 所以∠OAC=∠AOD=30°. 所以∠BAO=∠BAC-∠OAC= 90. 所以△AOB为直角三角形. (2)由(1)，知∠AOD=30°，∠BAC= 120°.当△AOD的形状是等腰三角形 时，分三种情况： ①当DA=DO时，∠OAD= ∠AOD=30°， 所以∠ADO=180°-∠OAD- ∠AOD=120°. 所以∠BDO=180°-∠ADO=60°. ②当OA=OD时，∠OAD= zXI80°-∠A0D)= 1 ∠ODA= 75°， 所以∠BDO=180°-75°=105°. ③当AD=AO时，∠ADO= ∠AOD=30°， 所以∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=120. 因为∠BAC=120°， 所以∠OAD=∠BAC,此时点O与 点C重合，不合题意. 综上所述，∠BDO的度数为60 或105. 2.(1)因为△ABC,△ADE都是等 边三角形， 所以AB=AC,AD=AE,∠BCA= ∠CBA=∠BAC=∠DAE=60°. 所以易得∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD-AE, 所以△BAD≌△CAE. 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE 因为AB⊥I, 所以∠ACE=∠ABD=90°. 所以∠FCB=180°-∠BCA ∠ACE=30°. 因为∠DBC=∠ABD-∠CBA=30°， 所以∠DBC=∠FCB. 所以BF=CF. 所以DF=BD一BF=CE一CF (2)当点F在线段BD的延长线上 时，DF=CF一CE;当点F在线段 DB的延长线上时，DF=CE+CF. (3)2或6.解析：在(1)的条件下， 如题图①，因为BD=2BF,所以设 BF=DF=CF=x.因为EF=6, BD=CE,所以3x=6,解得x=2,即 C℉=2.在(2)的条件下，如题图③，同 (I)可得BF=CF,BD=CE,设 BF=CF=y,则BD=2y.因为BD= CE,EF=6,所以6+y=2y,解得 y=6,即CF=6.综上所述，CF=2 或6. 考向五图象中信息的 获取与应用 1.B解析：由题图，可知两车经过 18min相遇，继续行驶30一18= 12(min),两车的距离为24km,可得 两车速度和为24÷12=2(km/min). 快车到B地停留3min,两车的距离增 加(b一24)km,所以慢车的速度为 24km/min.根据题意，可知慢车 3 行驶33min的路程是bkm,所以慢车 的速度为名kn/min所以4 号解得6=2级4所以慢车的速度为 26.4-24=0.8(km/mim),快车的速 3 度为2-0.8=1.2(km/min).因为快 车返回追至两车距离为24km的时间 为(26.4-24)÷(1.2-0.8)= 6(min),所以a=33+6=39. 2.(1)5;10.5:4. (2)当0t5时，y=2t: 当5t10.5时，y=10+4(t一5)= 4t-10. (3)设点P到AB的距离为hcm 所以2×6M=20,解得h=29 3 当点P在AD上时，AP=9。 3 cm. 所以易得1=5十（份-4）÷4=号 20 当点P在BC上时，BP=3cm, 所以1=10.5÷4= 易得点P不在AB,CD上. 综上所述，当点P出发号。或号 后，△ABP的面积为20cm2. 3.(1)由题图，可得大巴的速度为 60-20=40(km/h). 1 所以s=20+40t 当s=100时，100=20+401，解得 t=2. 所以a=2. 所以大巴离营地的路程s(km)与所用 时间t(h)之间的关系式为s=20十 40t,a的值为2. (2)由题图，可得军车的速度为60÷ 1=60(km/h). 设部队官兵在仓库领取研学物资所用 的时间为xh. 根据题意，得60(2-x)=100,解得 1 x3 所以部队官兵在仓库领取研学物资所 用的时间为了k 44 拔尖测评 第一章拔尖测评 -、1.B2.C3.A4.B5.C 6.C7.C8.C9.D 10.C解析：设正方形A的边长为 a,正方形B的边长为b.由题图①，得 a2-b2-2b(a-b)=1,即a2-b2- 2ab+2b2=1.所以a2+b2-2ab= 1①.由题图②，得(a十b)2-a2-b2= 12,即a2+2ab+b2-a2-b2=12.所 以2ab=12②.①+②，得a2+b2= 13,即正方形A,B的面积之和为13. 二、11.912.3413.-3 14.2解析：(x2+ax+2)(2x一 4)=2.x3+2a.x2+4x-4.x2-4a.x 8=2x3+(-4+2a)x2+(-4a十 4).x-8.因为(x2十a.x+2)(2x-4) 的结果中不含x2项，所以一4十2a= 0,解得a=2. 15.2解析：因为(x+y)2=3,(x y)=7,所以x2+2xy+y2=3,x2 2xy+y2=7.所以4xy=-4,即 xy=-1.[(xy+2)(xy-2)- 2x2y2+4]÷(3xw）=[(x2y2 4)-2xy2+4]÷（2xy） -y÷(分y）=-2.将y -1代人，得原式=-2×(-1)=2. 三、16.(1)原式=4. (2)原式=20018. (3)原式=4x2-4xy+y2+12x 6y+9. (4)原式=m2+2m+1-4n2. 17.(1)因为x=4,xb=8, 所以x-必=x3u÷x助=(x“)3÷ (x0)2=43÷82=64÷64=1. (2)原式=2m×20×(号)= 2×(分）=2×(2x2)=8